CHAPITRE PREMIER
Lois générâtes de la Réfraction simple.
N o u s venons d’examiner ce qui arrive à la portion de lumière incidente qui se réfléchit sur la première surface des corps. Suivons maintenant celle qui pénètre dans leur intérieur.
Celle-ci, lorsque l’incidence est oblique, ne continue pas sa route en ligne droite ; elle se dévie de sa direction , et ce phénomène s’appelle la réfraction de la lumière.
Dans tous les corps non cristallisés , le rayon réfracté est simple et suit le prolongement du plan d’incidence. Quant à l’étendue de la déviation , elle dépend de la différence qui existe entre la densité et la nature du milieu que la lumière quitte, et de celui où elle entre.
Si les deux milieux sont homogènes et de densité égale , la réfraction est nulle , et le rayon continue sa route en ligne droite. S’ils sont de même nature , mais différens par la densité , le rayon lumineux, en entrant dans le plus dense, s’approche de la normale à leur surface commune. Enfin , si la nature et la densité des milieux diffèrent , ces deux élémens concourent au phénomène , et le rayon se rapproche de la normale dans le. milieu dont l’action sur la lumière est plus forte. Etablissons d’abord ces faits par l’expérience.
Lorsque l’on place une pièce de monnaie M au fond d’un vase A B , flg. 2C) , dont les parois sont opaques , on ne peut apercevoir cette pièce que lorsqu’on se place dans le cône de rayons directs R R' qui en émane, et qui est limité en A et B par les bords du vase. Mais si l’on remplit le vase de liquide, la pièce M devient visible dans un cône beaucoup plus ouvert, tel, par
exemple , que O S O'. Cependant le cône de rayons qui émane du point M est toujours le même que précédemment. Ces rayons se courbent donc en dehors du vase en entrant dans l’air; par conséquent ils s’éloignent de la normale AN menée à la surface commune du liquide et de l’air ; mais ils restent toujours dans le même plan vertical qui contient le rayon incident AM et la normale AN.
Voici un autre exemple non moins familier. Lorsque l’on plonge obliquement un bâton droit T T' dans une eau tranquille dont la surface est A B , fig. 3o , ce bâton paraît brisé au point I, où il pénètre le liquide ; et la partie plongée , quoique comprise dans le meme plan vertical que celle qui est au-dehors , semble se rapprocher davantage de l’horizontalité. Pour développer les conséquences de cette observation, supposons que l’œil soit placé au point T , c’est-à-dire à l’extrémité même du bâton dans l’air. Si les rayons qui partent du liquide lui parvenaient en ligne droite, il devrait voir l’autre bout T' sur le prolongement de T ; au lieu qu’il le voit relevé , par exemple , en T". Or , nous avons déjà remarqué que nous rapportons les objets sur le prolongement des rayons lumineux qu’ils nous envoient ; puis donc que nous voyons le point T' plus haut qu’il n’est réellement , il faut que le rayon T' I' qui nous le rend visible passe au-dessus de T'I, et suive une direction brisée telle que T'I' T. Par conséquent , si l’on mène du point d’incidence I' la normale N'I' à la surface AB, on voit que le rayon lumineux T'I* , en sortant du liquide pour entrer dans l’air, s’est éloigné de cette normale comme dans l’exemple précédent ; mais il est resté dans le même plan vertical qui contenait l’angle d’incidence.
La déviation aurait lieu en sens contraire , si le rayon passait de l’air dans l’eau ; alors il se rapprocherait de la normale. Pour le prouver, prenez une cuve de forme rectangulaire, dont les parois soient en verre , et dont ABCD, fig. 3i , représente une coupe horizontale ; puis, après l’avoir remplie d’eau , faites tomber obliquement sur la paroi AB un rayon de lumière horizontal SI dirigé par un héliostat. Alors, si vous fermez ks volets pour rendre la chambre obscure , il vous sera facile
LOIS PE LA. RÉFRACTION SIMPLE. 2o3
de trouver la direction du rayon réfracté I R. Car il suffit pour cela de promener sur la paroi C D , opposée au point d’incidence , un petit cercle de carton ou de verre dépoli , jusqu’à ce que vous interceptiez le rayon émergent. Quand vous aurez trouvé ce point R , si vous menez RI au point d’incidence, ce sera la direction du rayon réfracté; et en la comparant à celle du rayon incident SI, vous verrez aussitôt que la réfraction l’a rapproché de la perpendiculaire IN' menée du point I à la surface d’incidence AB.
Le phénomène étant ainsi bien constaté, il importe de savoir quel rapport existe sous chaque incidence entre l’obliquité du rayon incident sur la normale et celle du rayon réfracté , afin que l’on puisse calculer l’une de ces directions , l’autre étant connue. Pour cela , il faut nécessairement mesurer les angles dont il s’agit. En conséquence, on prendra sur la direction du rayon incident une longueur arbitraire IS ou a , à partir du point d’incidence; puis, menant IN perpendiculaire à la surface réfringente, et S N perpendiculaire à IN, on mesurera la
distance S N, que nous nommerons Alors le rapport - expn-
niera le sinus de l’angle S IN, que l’on appelle V angle cC incidence , et que nous désignerons par I. En opérant de même sur le rayon réfracté , on connaîtra I R , que nous nommerons a! , et
R N', que nous nommerons h ' ; alors le rapport —, exprimera le
sinus de l’angle RIN', que l’on nomme V angle de réfraction , et que nous désignerons par R. Cela posé , on trouve que le rayon incident et le rayon réfracté sont toujours compris dans un meme plan normal à la surface dy incidence; de plus , si le milieu réfringent et le milieu ambiant ne changent point , le sinus de V angle d' incidence et le sinus de V angle de réfraction sont entre eux dans un rapport constant , c’est-à-dire que l’on a toujours
sin I ~ n sin R ,
n étant une constante qui dépend de la nature des deux milieux et de leur densité : on la nomme le rapport de réfraction. Lorsque le rayon , en entrant dans le second milieu , doit s’appro-
cher de la perpendiculaire à leur surface commune , l’angle d’incidence I est plus grand que l’angle de réfraction R. Alors n est plus grand que l’unité. Ceci a lieu, par exemple, quand la lumière passe de l’air dans l’eau; mais si le rayon doit s’écarter de la perpendiculaire, l’angle de réfraction devient plus grand que l’angle d’incidence, et n est moindre que i. Cela a lieu , par exemple, quand la lumière passe de l’eau dans l’air.
La découverte de cette belle propriété est due à Descartes. C’est le principe fondamental de toute la dioptrique. En effet , lorsque la direction des rayons incidens sera donnée, ainsi que la position de la surface réfringente , on en pourra toujours déduire la direction des rayons réfractés , soit immédiatement , si la surface est plane, soit lorsqu'elle sera courbe , en considérant l’incidence comme ayant lieu sur son plan tangent. Après quoi , si la forme du milieu réfringent est donnée , on pourra , en suivant le rayon dans son intérieur , déterminer le point où il se présentera pour en sortir, ainsi que l’angle qu’il formera alors avec le plan tangent; d’où l’on conclura de nouveau l’angle d’émergence et la direction du rayon après sa sortie.
La fécondité de ce principe exige donc que nous cherchions à le constater avec la dernière exactitude , et c’est ce que nous allons faire. Mais auparavant nous devons signaler un phénomène remarquable qui accompagne toujours l’acte de la réfraction.
Ce phénomène consiste en ce que le rayon réfracté se dilate dans le plan de réfraction , et s’y disperse dans un espace angulaire dont le sommet est au point d’incidence. Cet angle est alors rempli de rayons de diverses couleurs ; car en y plaçant un carton blanc ou un verre dépoli , qui intercepte toute la lumière réfractée , on voit se peindre sur leur surface un spectre oblong , où l’on distingue principalement le violet et le rouge sur les extrémités , le vert et le jaune au milieu , de même que dans les iris qui se forment sur les nuées. Les rayons violets subissent la plus grande réfraction , les rouges la plus petite , et les verts une réfraction intermédiaire. Pour abréger, je désigne ici ces rayons par les couleurs dont ils teignent les corps. Il est évident d’ailleurs qu’ils ne sont en eux-mêmes ni
violets, ni verts , ni rouges, et que ces dénominations expriment seulement les impressions particulières qu’ils produisent en nous.
Ce phénomène se nomme la dispersion de la lumière ; il est d’autant plus sensible dans un même milieu , que l’angle de réfraction y est plus grand ; et dans les différens milieux , il est d’autant plus grand , à incidence égale , que la réfraction y est plus forte. On ne peut pas faire d’expérience sur la réfraction , sans qu’il se produise, et c’est pourquoi j’ai voulu dès à présent l’indiquer Mais nous remettrons plus loin à l’étudier en détail , et dans tout ce qui va suivre , je supposerai que l’on se borne à observer la réfraction des rayons jaunes ou des rayons verts , qui sont à peu près intermédiaires entre tous les autres.
Je dois aussi annoncer qu’il existe des substances dans lesquelles la lumière ne se réfracte pas en un seul faisceau , mais en deux , dont un seul suit la loi découverte par Descartes. La marche de l’autre faisceau est assujettie à une loi beaucoup plus compliquée , qui a été déterminée par Huyghens : nous l’exposerons plus tard. Pour le moment , nous nous bornerons à considérer la première espèce de réfraction qui s’opère dans tous les corps, et que l’on nomme réfraction ordinaire. L’autre , que l’on appelle réfraction extraordinaire , ne s’observe que dans les corps cristallisés, et encore dans ceux dont la forme primitive n’est ni un cube , ni un octaèdre régulier.
Détermination exacte du rapport de Réfraction dans les
substances solides .
La manière dont nous avons tout-à-l’heure mesuré le rapport de réfraction et reconnu sa constance ne peut être considérée que comme une approximation propre à indiquer la loi générale du phénomène. Il faut maintenant l’établir avec exactitude. Le moyen le plus simple d’y parvenir, c’est de construire un prisme droit triangulaire avec la substance diaphane que l’on veut observer, de mesurer ensuite les déviations qu’un rayon lumineux éprouve en traversant ce prisme sous diverses incidences , et de voir si elles peuvent toutes se calculer d’après un rapport constant de réfraction.
2o (3 LOIS DE LA RÉFRACTION SIMPLE.
Soit ABC, fig. 32 , une section faite dans le prisme par un plan perpendiculaire à ses arêtes. Dans ce pian concevons un rayon lumineux S I qui tombe sur la suriace du prisme au point I, et se réfracte suivant 1 1'. D’après la première loi de la réfraction, les deux droites SI, I T doivent être dans un même plan perpendiculaire a la surface réfringente; elles lesteront donc clans le plan de la section ABC qui remplit ces conditions. Le rayon réfracté , après avoir traversé la substance du prisme , rencontrera en I' la seconde surface , et s’y réfractera de nouveau en repassant dans l’air suivant une direction I O qui sera encore comprise dans le plan de la section ABC. Alors un observateur qui serait placé sur un point quelconque de cette direction , tel que O , recevrait à la fois le rayon réfracté l'O et le rayon direct OS mené à l’objet lumineux. Si la lumière n’éprouvait aucune déviation en traversant le prisme , ces deux rayons se confondraient en un seul. Leur écart SOI' est donc causé par la réfraction que le premier a éprouvée; ainsi , dans chaque position donnée de l’objet lumineux du prisme et de l’observateur, la déviation SOI' dépendra directement de la loi de la réfraction ; de sorte que , pour éprouver celle qu’a indiquée Descartes , il n’y a qu’à l’employer pour le calcul , et en comparer les résultats à l’observation.
Désignons par l’angle que le rayon incident forme avec la surface du prisme vers sa base , et par 1 angle opposé , formé par le rayon réfracté sur la même surface ; puis , employant la même notation pour la seconde surface , désignons de meme par l’angle que le rayon réfracté forme avec elle vers la base du prisme, et par <^>3 l’angle opposé , formé sur la meme surface par le rayon émergent; de cette manière, les angles seront , comptés alternativement, à partir de la base du prisme , ou a i partir du sommet ; et la même notation pourrait sei vir poui un nombre quelconque de surfaces réfringentes planes , disposées à la suite les unes des autres.
Cela posé , puisque nous voulons vérifier la loi de Descartes , il faut admettre que les sinus des angles d’incidence et de réfraction comptés de la normale à chaque surface ont entre eux un
rapport constant qne nous pouvons désigner par n. Relativement à la première surface, ces angles seront go° — <p, et qo0 — <pl ,
cos P
en supposant <p moindre qu’un angle droit; alors on aura
cos <pt
pour le rapport de leurs sinus. Dans le cas où<£ serait plus grand qu’un angle droit, l’angle d’incidence compté de la normale serait 9 — 9°° j mais aussi l’angle de réfraction aurait pour valeur
— 90°. De sorte qu’on aurait encore
cos (p
pour le rapport
cos <pt
de leurs sinus. La même chose arrivera pour la seconde surface , et le rapport des sinus d’incidence et de réfraction y sera tou-*» cos <p2
jours
cos O,
, en mettant toujours au numérateur du rapport
celui des deux angles qui a lieu dans l’air. Or , puisque ce rapport doit être constant dans toutes les incidences , et le même à l’entrée de la lumière dans le prisme qu’à sa sortie , on devra avoir également
cos (p COS
cos cp,
cos <pQ
Jusqu’ici nous n’avons pas encore introduit l’angle réfringent du prisme, c’est-à-dire B A C , que nous désignerons par aa Cependant il est clair qu’il influe sur la déviation du rayon par l’inclinaison qu’il donne à la seconde surface sur le rayon réfracté; aussi est-il lié avec les angles (p t et <pa. Car, dans le triangle IAI' , l’angle <pa est extérieur, et l’on a par conséquent
condition que nous réunirons aux deux autres en cette forme cos p =: n cos <p x <pa « -j- cos <p2 = n cos <pa. (i)
La première fera connaître çt , quand l’incidence <p sera don»» née , ainsi que le rapport de réfraction n ; (pv étant connu , comme l’angle a du prisme est donné, la seconde fera connaître <p2 ; et enfin <pa étant connu, la dernière déterminera l’angle d’émergence <p2.
Il faut maintenant lier ce dernier angle avec la déviation SOL qui en résulte ; car celle-ci , pouvant s’observer , servira
de condition pour déterminer 11. Or, cette liaison se présente d’elle— même ; car la figure S I 1' O étant un quadrilatère, la somme de ses angles intérieurs doit être égale à quatre angles droits. Nommons donc A la déviation SOI', et $ l’angle ISO. Ce dernier étant formé par le rayon direct S O avec le rayon incident SI, est donné d’après la position de l’objet , de l’observateur et du point d’incidence. Les deux autres angles du quadrilatère sont <£-*{- i8o° — -f- i8o° — <p3. On aura donc
^ 4~ 4~ 1 8o° — <Pi 4“ “f* 1 8° — “ Çs 4“ A = 36o°.
Effaçant 36o° de part et d’autre , et mettant pour <pa — - sa
valeur a? il vient
ce qui donne Ç3 ~ <p A -X- ê" a (2).
Au moyen de cette équation , <p3 sera entièrement connu en fonction des données du problème et de la déviation observée A. Il ne restera donc plus qu’à connoître (p2 pour avoir n , qui est , , cos (p3
égal a . Or, la détermination de s’obtiendra de la ma-
cos <pa
nière suivante.
Substituons dans la première des équations (1) pour <pi sa valeur tirée de îa seconde , et combinons~la avec la troisième, nous aurons
cos <p = n eos ( — — a ) ,
cos <p3 — n cos <pa.
Retranchant et ajoutant tour à tour ces équations , il viendra cos (p3 — cos <p n [cos — cos (<pÊ — a) ] , cos <p2 ~f“ cos — n [ cos ^2 4~ cos ( Ç* — a ) ] •
Divisant ces dernières membres à membres , n disparaît , et il reste
cos <p3 — - cos <p cos <p2 — cos (<p2 — a )
cos ç>3 -{- cos <p cos <pa cos (<pa — a)
Or , on a en général cos p — cos q
cos p 4- cos q
ta"g I (P + ?) tang I O — ?)-
Ainsi l’équation précédente étant transformée de cette manière, deviendra
tan& l 0 h + 0) tang ^ (03 — 0) = tang (0* — f «) tang !
Le premier membre ne renferme plus que des quantités connues. Le second ne contient d’inconnue que tang <pa. Il déterminera donc cette quantité ; mais auparavant remarquons que, d’après la valeur de <p3 donnée par l’équation (2) , on a
Substituant ces valeurs dans l’équation qui donne , tous les résultats du problème seront renfermés dans les formules
tang [4» -ff (A 4- <5s+a)] tang|(A 4-^+«)
tang(<pa — \a)
tang | a
cp3 — $ A -j- J a ; n —
cos <p3
cos <pa
La première fera connaître Ç>2 — | a , d’après les données de l’observation; et en y ajoutant | a , on aura <p2. Le seconde fera connaître <p3. Quand ces deux angles seront déterminés, la troisième donnera le rapport de réfraction n. Ces formules ont l’avantage d’être disposées pour le calcul par logarithmes. En les employant , il faut se rappeler que l’angle <p est compté , à partir de la base du prisme , de zéro à 180° ; du reste , il n’y a d’autre précaution à prendre que d’appliquer exactement les signes des lignes trigonométriques, et surtout de se souvenir que la tangente d’un angle est égale à celle de son supplément , prise avec un signe contraire.
Au lieu d’éliminer entre les formules primitives , on aurait pu éliminer <p2. Alors, en opérant exactement de la même manière, on trouve
, X s tang[<? + ï(A + «r+a)]tangî(A4-^+a)
tang(4>, + 3a) = ;
tang ~ a
cos <p
COS <pi
Ce résultat est évident de lui-même ; car on le déduit du précédent, en mettant au beu de <p2 sa valeur «- f <Pi. Mais il est Tome KL J 4
cependant nécessaire de le mettre en évidence, parce que les formules (3) cessent d’être applicables , lorsque l’angle d’émergence <£>3 est droit. Alors étant aussi droit , n se présente sous o
la forme -. Dans ce cas , les équations (4) feront connaître <pt , o
et ensuite n . Ces dernières, à leur tour, cessent d’être applicables, lorsque Q est droit; mais alors on peut se servir des équations (3).
Examinons d’abord, d’après ces formules , ce qui arriverait si a était nul. C’est le cas de la réfraction à travers une lame plane dont les deux surfaces sont parallèles ; car une pareille lame peut être considérée comme un prisme dont l’angle réfringent est nul. Il faudra donc supposer a z= o dans la première des équations (3) ; mais la manière dont ‘elles sont disposées introduirait, dans ce cas, des racines inutiles dont il faudrait se débarrasser par des considérations particulières. Il est plus simple d’employer immédiatement les équations (i) et (2). La supposition de a — o dans les premières , donne d’abord — <p j ; de sorte que les deux équations en $ et <p3 deviennent cos <p — n cos <p, , cos <p3 zrr n cos <pt.
De là on tire <p3~<p, ou <p2 ~ 36o° — <p.
La seconde racine n’est pas admissible , parce qu’elle ferait rentrer le rayon émergent dans l’intérieur du verre, au lieu qu’il doit en sortir : bornons-nous donc à la première , et introduisons-la dans l’équation <p3 ~ <p -j- A -j- J' a, en y faisant de plus a nul : il viendra alors
o = A-j- d; d’où A =: — 2>.
L’interprétation de ces résultats devient évidente par leur construction même , fîg. 33. D’abord, puisque <p3 — <p, le rayon émergent EO et le rayon incident SI font des angles égaux avec les faces d’incidence et d’émergence , ces rayons sont donc parallèles. D’après cela, leur inclinaison sur la ligne O S est égale, mais opposée, cette ligne passant entre les deux rayons. C’est ce qu’indiquent nos formules , en nous donnant A — — A. Généralement la déviation A se trouvera négative toutes les fois que le rayon émergent EO passera au-dessous du rayon direct O S ,
parce que nous l’avons employée comme positive dans le cas contraire , lorsque nous avons établi les formules.
L’angle £ devient nul quand l’objet est assez éloigné pour que les rayons qu’il envoie à l’observateur et au point d’incidence puissent être censés parallèles. Alors A devient aussi nul, c’està-dire que le rayon émergent TO coïncide sensiblement avec le rayon direct S O.
Il résulte de cette discussion que , lorsqu’on regarde un point lumineux à travers une glace dont les deux surfaces sont parallèles , l’image de ce point est toujours déviée par la réfraction , et la déviation est égale à l’angle ^ , formé par les deux rayons menés de l’objet à l’observateur et au point d’incidence. Si le point lumineux est très-éloigné , cet angle devient nul, et la déviation est insensible.
Voici maintenant un exemple numérique qui servira de guide pour tous les autres cas. Le ïo avril i8ii,nous observâmes, M. Cauchoix et moi , la réfraction d’un prisme de flintglass français , de la fabrique de M. d’Artigues. L’angle réfringent de ce prisme, mesuré par la réflexion de la lumière, était de 24° 257 3o". L’angle du rayon incident avec la première face du prisme , compté de sa base , était 96° 17' 10". Le point lumineux était assez éloigné pour que les rayons menés de ce point à l’observateur et au prisme fussent sensiblement parallèles. Enfin la déviation fut observée de 17°45 ÿ' pour les rayons verts. D’après ces données , on a
et le calcul s’achève comme on le voit ici :
| (A 2i° 5' 20" log tang = 1,6861878
= 1 170 22' 3o". log tang == 0,2858402 — -
| a = 12° 12' 45" log tang ï,3353295
îog tang (<pa — - \ a) = 0,5386985 — — | a = î8o° — ^3° 47' 45"
Ç z=z 96° I 7" io" \ar=: 12°I2'45//
4> 3= 1 38° 27' 49” Qi 1 1 8° 25' o"
log cos <p3 — 7/8742138 — log cos <pa = 7,6774975 —
log 72 =r 0,1967163
Rapport de réfraction n ~ 1,67296
Pour vérification, on peut aussi calculer n par les angles d’incidence et de réfraction sur la première face , qui donnent
cos (p
cos <pt
En effet , on a <pT = <p2 — a.
Or nous venons de trouver
Par conséquent
0t~ q3° 5 g' 3o" log cos ~ 2,8426808 — »
Ç> = 96° 1 7' 1 o" log cos 1,0393878 —
log n rrr 0,1967075
Rapport de réfraction n = 1,57292.
La petite différence de quatre unités sur la cinquième décimale vient de l’incertitude des parties proportionnelles dans le calcul des logarithmes. Dans le cas actuel , cette seconde manière de calculer est moins sûre que la première ; parce qu’elle emploie de plus petites incidences , et par conséquent de plus petits sinus.
Si l’on répète l’expérience en variant l’incidence <p du rayon sur la surface antérieure du prisme , le calcul donnera toujours pour n des valeurs exactement égales , ou du moins entre lesquelles il n’existera que des différences très -petites et irrégulières , telles qu’on doit les attendre des erreurs inévitables des observations. Cet accord prouve donc , de la manière la moins douteuse, que le rapport de réfraction n est en effet constant y sous toutes les incidences dans la réfraction ordinaire , et par
conséquent la règle annoncée par Descartes se trouve pleinement confirmée.
On peut encore obtenir directement n , ou plutôt ri1 — i par une formule très-élégante , qui m’a été communiquée par deux jeunes élèves d’une grande espérance, MM Lévy et Rodriguez, lesquels y étaient l’un et l’autre parvenus séparément. A cet effet , reprenons les deux équations fondamentales
cos <$~n cos ( <pa — a ) , cos <p3 = n cos <p2.
Développons la première , et chassons cos <p2 et sin (p2 au moyen de la seconde , il vient
cos cp — cos a cos Ç3 - n sin a
cos2 <p3
TV
Cette équation ne contient plus que n d’inconnue. En faisant disparaître le radical , on en lire
ri1 sin2 a = cos2 ç — 2 cos a cos ç cos <p3 -f- cos2 <p3.
Substituez dans le second membre, au lieu des puissances de cosinus leurs valeurs en produits d’arcs différens , le résultat prendra cette forme
( n* — 1 )sin2 a — cos2 a -f- cos (<£ -J- <p3) cos ( <p — <p3 )
— costf [cos(<p-f<p3)-f cos(4> — <p3)] , ou , ce qui revient au même ,
( n 2 — - 1 ) sin2 a ~ [cos a — cos (<p Ç 3)] [cos a — cos ($—■ $s)]* Chacun des facteurs du second membre peut être lui-même transformé en un produit de deux sinus , et cette transformation donne
(«a — 1) sin2«=4 sin| («~i-p-f-<p3) sin^ <p3)sinï(^-j-ç — Ç2)
sinj(a—<p+<p3).
Le second membre est tout entier composé de quantités connues ; car d’abord l’incidence est donnée , ainsi que l’angle a du prisme; ensuite, avec ces données et la déviation observée , on a <p3 par la formule
Si , pour plus de simplicité , on suppose
r w . tt
j 1 f - 1 ■ il <*
il viendra
et ces substitutions étant introduites dans la formule , il en résulte
4 sin H sin ( a -f- H ) sin ( (p H ) sin ( a 4- <p -j- H)
sin2 a
Connaissant ainsi n’2 - — ■ i , on en déduira n*. Pour les usages ordinaires, le calcul de cette formule n’est pas plus court que celui des premières formules que j’ai données ; mais elle peut , dans certains cas, avoir des applications utiles, et d’ailleurs elle est remarquable par son élégance.
Il me reste à donner sur les détails de l’expérience toutes les indications nécessaires pour la faire avec précision et facilité.
D'abord nous avons supposé que le plan d’incidence était perpendiculaire aux arêtes du prisme ; il faut remplir cette condition. Pour cela, on taillera le prisme bien rectangulaire sur sa base , et on posera cette base sur un plan de verre dépoli que l’on aura dirigé de manière que le point lumineux se trouve dans son prolongement. Cela se fera très-commodément si l’on plante dans le lieu de l’observation un poteau solide, tel que T , fig. 34 » portant à son sommet trois vis calantes V Y Y, qui soutiendront le plateau de verre , et qui permettront de diriger celui-ci sur le point lumineux, après quoi on les serrera invariablement.
Il faut maintenant connaître l’incidence ç>. Pour cela , on placera le prisme sur le plateau dans la position que l’on voudra choisir. Je suppose que S I soit le rayon incident venu d’un objet infiniment éloigné, et que B AC soit la section faite dans le prisme par le plan d’incidence parallèlement à sa base , il s’agit de déterminer l’angle S IB. Pour cela , on se placera en. un point quelconque O sur la direction du rayon réfléchi IO , et on mesurera l’angle IOS formé par ce rayon avec le rayon direct , mené au point lumineux. On prendra cetle mesure avec un cercle répétiteur ou tout autre instrument propre à mesurer les angles , dont on placera le centre au point O et le limbe dans
le plan I O S. Pour remplir cette condition indispensable , on dirigera d’abord approximativement le plan de ce limbe , de manière que le point lumineux S et l’image réfléchie I se trouvent dans son prolongement , et on achèvera de les y mettre en le haussant ou le baissant d’un côté ou d’un autre, jusqu’à ce que la lunette, en tournant sur le limbe, puiss® passer de l’objet à son image, sans que ni l’un ni l’autre quittent le fil horizontal tendu dans son intérieur. Pour voir maintenant les conséquences qu’on peut tirer de celte mesure , supposons d’abord le point lumineux assez éloigné pour que les deux rayons menés à l’observateur et au point d’incidence puissent être censés parallèles, comme le représente la figure. Alors, ayant mesuré l’angle I OS que je nommerai R, on connaîtra son supplément SI O, qui sera 180 — -R. Or, en élevant au point d’incidence la normale IN sur la surface du prisme, la loi de la réflexion donne les angles S IN, OIN égaux entre eux; par conséquent chacun d’eux est la moitié de 180 — R ou 9° — f.R ; si donc à cette valeur qui représente S IN nous ajoutons NI B, c’est-à-dire 90° , nous aurons J 80 — \ R pour la valeur de l’angle S IB , compté à partir de la base du prisme» C’est cet angle que nous avons nommé (p. On aura donc
<P = 180 — îR;
de sorte que tout se réduit à mesurer l’angle R, compris entre l’image réfléchie et l’image directe.
Si l’objet lumineux n’était pas assez éloigné pour que les deux rayons O S, IS pussent être censés parallèles, il faudrait calculer l’angle ISO, fig. 35, que nous nommerons ç. Nous verrons tout-à-l’heure comment on peut l’obtenir. Puis représentant toujours par R l’angle IOS, compris entre l’image réfléchie et l’image directe, menons OS' parallèle à IS, et désignons l’angle inconnu I O S' par R', nous aurons alors
Maintenant nous pouvons raisonner sur R' , comme nous l’avons fait tout-à-l’heure sur R, et nous en déduirons de même la valeur de l’angle SIB , que nous avons nommé Ç. Ouaura ainsi ^™i8o° — ^ R',
ou , en mettant pour R' sa valeur ,
Si le point lumineux s’éloigne assez pour que g puisse être censé nul , on retombe sur la première formule. 11 y a toujours de l’avantage que cela soit ainsi, parce que l’opération en devient plus facile et le pointé plus exact ; mais si on ne peut obtenir cet avantage , il faut du moins que l’objet soit assez éloigné pour que l’angle ç soit fort petit. Alors il faudra mesurer la distance O S par une opération trigonométrique ou de toute autre manière ; puis , quand on aura observé l’angle I O S ou R , on tendra un fil à partir du point I dans la direction 1 S , et on mesurera la plus courte distance O P du point O à ce fil. O P sera donc perpendiculaire sur IS , et l’on aura
OP
Sin p rm .
