V COS
t — - — — - — zt — 1/ ea cos2 0 -f- 2 g e .
11 ne faut prendre que le signe supérieur du radical , parce que le temps t doit être positif, ainsi que la vitesse r, dans le cas que nous examinons. Cette valeur de t dorme
gt -j- v cos 6 z=z \/ v* cos2 0 -f- 2 ge y
et par conséquent les expressions des vitesses de la particule , à son arrivée en f, seront
parallèlement à a b v sin 0
parallèlement à I N' \/ e2 cos2 0 + 2^e.
On voit donc que le carré de cette dernière , qui était primitivement e2 cos2 0, s’est trouvé augmenté de la quantité 2 ge par l’action de la force accélératrice, et cet accroissement ne
DE LA REFRACTIONS 2 03
contenant ni 0 , ni v , est indépendant de l’inclinaison du rayon , ainsi que de la vitesse initiale des particules lumineuses.
Rien ne nous empêche d’étendre tout de suite ce résultat au mouvement du rayon dans la seconde zone ; car il s’y trouvera sollicité par une autre force accélératrice gx différente de la précédente , mais qui sera constante comme elle dans l’étendue de cette seconde zone. De plus, nous connaissons les vitesses initiales du rayon en entrant dans cette zone ; ce sont là les seules données dont nous ayons besoin. La vitesse v sin 0, étant toujours perpendiculaire à la direction de la force accélératrice, restera encore constante. Quant à l’autre , qui a pour valeur
\/ e2 cos2 0 -j- 2ge f nous savons que son carré sera augmenté d’une quantité 2 gx ex par l’action de la force accélératrice gt. Ainsi , en sortant de la seconde zone , les vitesses des molécules lumineuses seront
parallèlement à a b. . . . v sin 0
parallèlement à I N' . . . \/ e2 cos2 0 4" 2 g e 'h 2 g-! e\ •
Ces résultats s’étendront de même à un nombre quelconque ? -f- i de zones consécutives , dont les épaisseurs seront e2e3...ev, et les forces attractives gng3gy', les vitesses de la molécule lumineuse , après les avoir traversées , seront parallèlement à a b. . v sin 0
parallèlement à IN' . \/ ea cos2 0 -}- 2 ge -{- 2 glel -j-... 2 gy ey. Par exemple , si ces v -f- i zones embrassent tout l’intervalle compris entre la limite extérieure des forces attractives et la surface réfringente AB , les expressions précédentes représenteront les vitesses de la molécule lumineuse en arrivant à cette surface.
De là , en s’avançant vers la limite intérieure at bi3 la molécule lumineuse éprouve la même série d’actions que de l’autre côté de la surface, c’est-à-dire d’abord la force gv , puis g* t, et ainsi de suite ; de sorte qu’en arrivant à cette seconde limite, le carré de sa vitesse perpendiculaire à sa surface se trouve encor© augmenté de 2ge ~|~ 2gx et -f-. . . igy ev j
et ainsi à cet instant l’on a
vitesse parallèle à A B, . v sin ê
perpendiculaire à AB. . {/ e'- cos2 è -R l±ge y 4gx et y... ^gv ev.
Nous voilà maintenant en état de calculer la direction du rayon réfracté I' R , fig. 66 , lorsqu’il a traversé la limite intérieure des forces attractives; car, puisqu’à partir» de cette époque , il n’est plus sollicité par aucune nouvelle force, il continuera de se mouvoir avec les vitesses que nous venons de calculer. Ainsi, en nommant x y les coordonnées de la particule lumineuse après le temps t' compté depuis son arrivée en I' 9 nous aurons
x — t v sin 0
y — t y cos2 ô y 4ge y . . . 4 g; <?v ; expressions dans lesquelles nous ferons, pour abréger,
2ge y 2glei y . . . 2g ey
ce qui donnera
x — t' v sin ê
y " t' \/ e2 cos2 ô y 2 u2 .
Avant ainsi l’équation de ce rayon , nous pouvons calculer l’angle de réfraction ô' qu’il forme avec la normale l' N' menée â la seconde limite des forces ; car on aura évidemment
sm 6
v*'2 +yQ
ou en mettant pour x' et r' leurs valeurs
e sin ô
sin ê'
{/ ea y 2 u*
Re temps t disparaît donc de cette expression, ce qui est tout simple, puisque le rayon poursuit sa route en ligne droite.
. -, , . sin e y v* y 2 U2
Mais de plus, le rapport — ;, étant égal a— -, se
sm ê
trouve indépendant de ê et de ê' ; il est donc consta nt sous toutes les incidences , ce qui est la propriété découverte par Descartes*
DE LA. RÉFRACTION. ?J55
Il est également facile de connaître la vitesse de translation des molécules lumineuses dans le rayon réfracté; car le carré de cette vitesse est égal à la somme des carrés de ses composantes rectangulaires , c'est-à-dire à
v2 sin2 ô -f- v2 cos2 ê 2 u* , ou simplement -f- 2 u2 ,
et par conséquent sa valeur est
Cette vitesse Y sera donc constante et indépendante de l’inci—
sin ô
dence. Si l’on veut y introduire le rapport de réfraction —
J sin ê'
ou n 3 il n’y a qu’à remarquer que nous avons trouvé plus liaut
ce qui donnera Y nv ;
d’où l’on voit que le rapport de réfraction est égal au rapport des vitesses des particules avant et après leur entrée dans le corps réfringent.
Cette théorie ne nous montre pas seulement les causes intimes des lois que nous avions observées ; elle nous permet d’aller beaucoup plus avant, et de remonter jusqu’à la comparaison des forces attractives elles - mêmes , en nous permettant de déterminer l’accroissement u2 du carré de la vitesse qui en dépend immédiatement. En effet, supposons que l’on ait observé dans une substance donnée la valeur du rapport de réfraction n ,
on aura aussitôt n = }
d’où l’on tire
2 uA .,2
En considérant la succession complète des forces attractives depuis leur limite extrême jusqu’à la surface , nous avons trouvé u2 = 2ge -f- 2g,ex -f ... 2 gvev.
Nous pouvons encore suivre telle loi que nous voudrons dans les épaisseurs e ex ea . . . ev des zones successives. Nous ne sommes astreints qu’à la seule condition de les rendre extrêmement
petites, et rindétermination des forces ggt . . ,gv , suffira pour représenter tous ïes progrès de l’attraction. Supposons donc toutes ces épaisseurs égales entre elles et à la première ; il viendra
et par conséquent le nombre n2 •— i que l’on pourra calculer d’après les observations , sera proportionnel à la somme des forces attractives exercées par la substance réfringente pendant que le rayon y pénètre. Ce nombre pourra donc servir de mesure pour comparer l’intensité de cette somme de forces dans différens corps.
Mais auparavant il faut séparer dans les effets d’un même corps ce qui tient à sa nature , ce qui tient à sa densité. Cela est bien facile, maintenant que nous raisonnons sur les forces elles-mêmes; et il est clair que, tant qu’on négligera l’action réciproque des particules du corps les unes sur les autres , l’attraction sera proportionnelle au nombre des particules qui peuvent agir sur la molécule lumineuse dans une sphère d’une étendue donnée; par conséquent, elle sera proportionnelle à la densité du corps. Soit donc ç cette densité , et G un coefficient constant pour chaque corps , lequel représente la somme de ses forces attractives ggi^- pour une densité égale à î. On pourra supposer en général g -|- gx . . .
ce qui donnera
et par conséquent
Alors la quantité - , étant égale à '—g~ f ne dépendra plu
site des forces attractives et de la vitesse de I lumière incidente; car l’épaisseur e des zones élémentaires, étar absolument arbitraire , peut être supposée la même pour toi
les corps. Cette quantité
, étant proportionnelle à l’inten-
DE LA RÉFRACTION
sité des forces attractives, pourra leur servir de mesure; c’est ce que Newton a nommé le pouvoir réfringent des corps , et l’on voit par son expression même comment on peut le calculer.
Considérons maintenant ce qui arrive à la molécule lumineuse lorsqu’elle approche de la seconde surface du milieu , que pour plus de simplicité nous supposerons d’abord parallèle à la première : fig. 67. Les forces attractives exercées par le corps près de ces deux surfaces auront la même étendue d’action , et nous représenterons de même par les parallèles a 2 bz , a3 b3 , les limites où elles cessent d’être sensibles. Cela posé , tant que la molécule lumineuse n’atteindra pas la limite intérieure au bz , elle continuera de se mouvoir en ligne droite avec la
vitesse constante Y = yV + î»’; mais quand elle aura dépassé cette limite, elle commencera à être sollicitée successivement par les forces ggx, . .gv, selon les zones successives qu’elle traversera. Pour calculer les effets que ces forces produiront sur elle , il n’y a qu’à décomposer sa vitesse Y en deux autres , l’une parallèle à la surface d’émergence A2 Ba , l’autre perpendiculaire. Si l’on nomme 6 " l’angle d’incidence du rayon réfracté sur la seconde face , la première de ces composantes aura pour valeur Y sin 6" , et la seconde V cos êz ; mais à cause du parallélisme des surfaces, l’angle ô " sera le même que l’angle de réfraction ê' , et ces expressions se réduiront à V sin 6' , V cos Maintenant il est clair que l’action des forces attractives ne changera rien à la première vitesse qui est perpendiculaire à leur direction ; mais elles tendront sans cesse à diminuer la seconde , à laquelle elles sont parallèles et opposées , puisque cette vitesse tend à faire sortir la molécule lumineuse hors du corps , tandis que les forces attractives tendent à l’y faire rentrer. D’après cela, on aura dans une couche quelconque,
vitesse parallèle à Aa Ba. . . Y sin 6'
perpendiculaire à AaBa. . \/ V2 cos2 ê' — 2ge — 2gle( — .
La première reste donc constante , ce qui est tout simple ; la seconde diminue sans cesse. En déterminant sa valeur à la surface
d’émergence , et voyant si elle est réelle , nous saurons sî la molécule lumineuse doit ou ne doit pas sortir du milieu réfringent. Pour cela, il ne faut que continuer la série des forces jusqu’à gv ; ce qui donne , pour la vitesse perpendiculaire ,
V V2 cos2 0' — 2 g e — 2 g( e , — 2
ou simplement \/ Y2 cos2 0' — uz ,
en mettant pour u2 la valeur que nous lui avons assignée plus haut. Or, Y étant la vitesse du rayon réfracté dans l’intérieur du corps , et 6' l’angle de réfraction sur la première, surface , nous avons trouvé
V = e2 ~j sin êr
v sin 0
y e2 -f- 2uÀ
d’où l’on tire
, e2 cos3 0 + 2 na
cos2 0 — et Y2 cos2 0 =r v% cos2 0 4- 2 u* ;
ce qui donne , pour la vitesse perpendiculaire à la surface d’émergence ,
V e2 cos2 0 -f-
Elle se trouve ainsi être la même qu’elle était à la surface d’incidence. Comme elle est encore réelle , il n’y a aucun doute qu’elle aura son effet, et que la molécule lumineuse sortira du corps. De là, jusqu’à la limite extérieure des forces attractives, le carré de la vitesse perpendiculaire diminuera encore de la quantité
2ge-j-2gl et + et ainsi on aura à cette limite vitesse parallèle à Aa Ba .
vitesse perpendiculaire
V ou ;
Y sin 0%
\/ V2 cos2 0' — 2 u2 ,
qui, en mettant pour V et 0' , leurs valeurs , se réduisent à
s> sin 0 , v cos 0.
On voit donc qu’après que ces molécules lumineuses ont entièrement traversé la limite extérieure des forces attractives , leurs vitesses se retrouvent exactement les mêmes qu’à l’instant où elles ont commencé à subir l’action de ces forces en s’approchant
DE LA RÉFRACTION. a.69
de la surface d’incidence. A partir de cette seconde époque , le mouvement de la molécule étant devenu désormais constant, sera donc aussi le même, en s'éloignant de la seconde surface, qu’il était en s’approchant de la première, c’est-à-dire que le rayon émergent sera parallèle au rayon incident et aura la. même vitesse ; ce qui est conforme à l’observation. A la vérité, on observe aussi qu’une partie des molécules lumineuses dont le rayon se compose , au lieu de sortir comme les autres , se réfléchissent intérieurement à la surface d’émergence , et rentrent dans le milieu ; mais il sera prouvé plus loin que ces molécules ne sont pas dans le même état physique ou dans les mêmes circonstances de mouvement que celles qui sortent ; ce qui justifie l’exception qu’elles présentent.
Examinons maintenant ce qui arriverait si la face d’émergence, au lieu d’être parallèle à la surface d’incidence , formait avec elle un angle e. Le calcul sera encore le même que tout-àl’heure ; seulement l’angle d’incidence ô" sur les limites de la seconde surface ne sera plus égal à 6f , mais à 0'~f -e, g étant supposé positif lorsque le rayon réfracté s’éloigne de l’intersection commune des deux surfaces, comme dans la fig. 68. Ainsi les vitesses d’incidence de la particule lumineuse , décomposées parallèlement et perpendiculairement à cette face , seront
parallèlement à AC........ V sin ê" ou Y sin ( êf -f- e ) ,
perpendiculairement à A C . » V cos 6* Y cos (ê' -{- g J.
Lorsque la particule sera entrée dans les limites des forces attractives , elles deviendront
parallèlement Y sin ( 0' -j- s)
perpendiculairement \/ V2 cos2 (0' -f - «) — 2 g- e — 2 gl et . . . .
Et si l’on pousse le calcul jusqu’à la surface d’émergence , où 2 § e 4“ 2 g\ e\ • * • = 5 on aura
vitesse parallèle à A C . . . . Y sin ( 0' -f- g ) , vitesse perpendiculaire.. . . \/ \ 2 cos2 [ô1 -j- e) — u%.
Ici, il est bien possible que la molécule lumineuse ne puisse
pas sortir du corps. En effet, nous avons trouvé tout-à-l’heur® Y2 cos2 ùf plus grand que n2, ce qui rendait la vitesse perpendiculaire constamment réelle; mais l’angle 6'- f- 1 étant plus grand que û' , selon la disposition adoptée dans la fig. 68 . cos2 (0'-{- g) sera moindre que cos2 ê' ; et par conséquent V2 cos2 ( ô' -f- e ) pourra être assez affaibli par ce facteur pour devenir égal à u% , ou même moindre que cette quantité. Si le premier cas arrive , on aura Ya cos2 ( -f- t ) — m2 — o ;
et lorsque la molécule sera arrivée à la surface d’émergence , sa vitesse perpendiculaire deviendra nulle. Dans le second cas, elle sera imaginaire , et , dans l’un comme dans l’autre , la molécule ne pourra pas aller plus loin.
En effet , si la molécule , en arrivant à la surface d’émergence , a perdu , par l’attraction du corps , toute la vitesse qui tend à l’en faire sortir , elle se mouvra pendant un instant avec la seule vitesse V sin (O'-f- e) , parallèlement à la surface d’émergence. Or , comme , dans cette position , elle est continuellement attirée en dedans par les forces attractives du milieu que rien ne contrebalance , il est nécessaire qu’elle y obéisse , et qu’elle rentre dans le milieu , où les mêmes forces qui avaient retardé sa marche agissent alors pour l’accélérer ; et comme sa vitesse parallèle à la surface est toujours la même , elle décrira , en rentrant dans le milieu , et s’éloignant de la surface d’émergence , une courbe exactement pareille à celle qu’elle avait décrite en s’en approchant. Mais cette courbe étant trop petite pour être aperçue , le rayon semblera se réfléchir brusquement sur la surface intérieure , en faisant l’angle de réflexion égal à l’angle d’incidence.
Cela aura lieu ainsi lorsque Y2 cos2 (0' -f- e) égalera w2 ; mais s’il est moindre , il y aura nécessairement dans les couches antérieures un point où l’effet accumulé des forces attractives suffira pour l’égaler ; car la somme des termes 2g-,e,.... , qui dépendent de ces forces, augmente depuis la limite intérieure où elle est nulle, jusqu’à la surface d’émergence où elle est égale à «3. Ainsi , dans la couche où cette égalité aùra lieu , la marche de la molécule lumineuse deviendra parallèle à la direction des couches ; elle ne pourra
DE LA RÉFRACTION. 271
donc aller plus loin, puisque les attractions des couches tendent toujours à la ramener dans le corps ; et voilà pourquoi , dans ce cas , la vitesse perpendiculaire aux couches devient imaginaire quand on veut calculer sa valeur à la surface d’émergence. Alors le rayon se réfléchit intérieurement, en faisant l’angle de réflexion égal à l’angle d'incidence ; et sa réflexion s’opère avant que les molécules lumineuses soient arrivées à la surface d’émergence , quoiqu’à cause de la petite distance où s’étendent les forces , ce rayon semble se réfléchir sur la surface même.
Les angles sous lesquels ces phénomènes se produisent , sont donc compris entre les limites
cos ( 6 ' ‘«j- £ ) o , qui donne Ô° = qo®
cos2 ( ê -f- e ) = , qui donne cos2 6 ~
La première suppose que le rayon réfracté est , dans son incidence intérieure , parallèle à la surface d’émergence ; la seconde détermine l’angle qu’il doit faire avec cette surface pour parvenir jusqu’à elle et s’y réfléchir entièrement. Cette seconde limite peut se calculer d’avance, quand on connaît le rapport de réfraction n pour la substance dont on fait le prisme. En effet , en. nommant e la vitesse primitive de la lumière dans le vide , nous avons trouvé
e2 4 -‘lu1
— n* Va = r2 -f- 2 u* ;
de là on tire
uÀ r=r — ■
valeurs qui , étant substituées dans la dernière des équations précédentes , donneront
cosa 6" ~ , d’où cos 2()" = — — - .
Il suit de là que , lorsqu’un rayon réfracté se réfléchit ainsi ,
exactement à la surface d’émergence , son incidence è" sur cette
surface , comptée de la perpendiculaire , est toujours plus
grande que /»5° , puisque cos 2 0" est négatif.
Supposons Ô" moindre que cette limite ; alors le rayon serap-
%rj2 THEORIE PHYSIQUE
prochant davantage de la perpendiculaire à la surface diémer* gence , sa vitesse de sortie ne sera plus complètement détruite quand il y parviendra. V2 cos2 0" surpassera «2 , et la molécule sortira du corps. Les forces attractives continuant d’agir sur elle , les composantes de ses vitesses deviendront
parallèlement à la surface d’émergence Y sin (0' -j- g) ,
perpendiculairement . \/ V2cos
En poussant le calcul jusqu’à la limite extérieure des forces attractives, la somme des termes 2 ge -f- 2 gz et.... deviendra de nouveau égale à n2 , et l’on aura
parallèlemeut à la surface d’émergence Y sin (0' -{- g)
perpendiculairement à cette surface. \/ Y2 cos2(0'-f-e) — 2u 2. Puisque la molécule est sortie de la surface , l’angle 0' -J- g ou ê" doit être tel que Y2 cos2 (0* -J- e) ait surpassé u 2 ; mais il est possible qu’il ne surpasse pas 2 «2 , et qu’au contraire il soit égal à celte quantité , ou moindre qu’elle. Dans l’un et l’autre cas , la vitesse perpendiculaire à la surface d’émergence devenant nulle ou imaginaire , on voit que la molécule lumineuse ne pourra pas s’éloigner hors de cette surface indéfiniment. Lorsque l’on aura
V2 cos2 ( 0' — ~ 2 u* — o ,
la vitesse ne deviendra nulle qu’à la limite extérieure des forces attractives. La molécule lumineuse s’avancera donc jusque-là ; mais une fois qu’elle y sera arrivée , elle sera ramenée par les forces attractives , comme dans le cas précédent , et elle rentrera de nouveau dans le corps , en décrivant une courbe pareille à celle qu’elle avait suivie pour en sortir. Comme toutes ces inflexions se passent à une très-petite distance de la surface d’émergence , dans les limites des forces attractives , la réflexion semblera se faire à cette surface même.
La valeur de l’incidence nécessaire pour ce phénomène est donnée par l’équation même qui exprime l’évanouissement de la vitesse ; on en tire
cos2 (t + 0 = —
cos3 0'
tv
c’est-à-dire ,
DE LA REFRACTION. 37$
L’angle ô" est donc moindre que celui qui produisoit la réflexion sur la surface d’émergence même, puisque le carré de son cosinus est deux fois plus grand. Cela signifie que le rayon réfracté s’approche davantage de la perpendiculaire à la surface d’émergence ; et en effet , il faut bien qu’il en soit ainsi , puisqu’ayant toujours la même vitesse dans l’intérieur du corps, sa tendance à sortir devient plus forte. Si le produit Y2 cos2 (ô'-f- e), que nous supposons toujours plus grand que «2 , est moindre que 2 u2 , il se trouvera nécessairement, entre la surface réfringente et la limite extérieure des forces, une couche où l’accumulation des quantités — 2 g e • — 2 el . . . , ajoutée à — - u 2 , égalera Y2 cos2 (0' -f- e ). Alors la vitesse perpendiculaire devenant nulle , le rayon retournera dans l’intérieur du corps avant d’avoir atteint la limite extérieure des forces attractives ; mais, à cause du peu d’étendue de ces limites , il paraîtra encore se réfléchir brusquement à la surface même.
En rassemblant ces résultats , nous aurons
7i2 — 1 ( Réflexion intér.
Depuis C0S2 è" ~ O jusqu’à COS2 0" = — < avant la surface
2/2 d’émergence.
n 2 — 1 j Réflexion sur la
COS2 ô" j surface d’émer-
2 n2 geuce même.
iRéfl. entre la surface d’émerg. et la limite extér. des forces attractives.
n* j f Réflexion à la
COSa0w~ — limite extérieur
n 2 I, re des forces.
Ainsi, généralement, toutes les fois que l’angle 6", compté de la normale à la surface d’émergence , sera plus grand que cette dernière limite, le rayon se réfléchira intérieurement j et, au contraire , quand il sera moindre , la molécule lumineuse sortira des limites des forces attractives du corps avant d’avoir perdu sa vitesse perpendiculaire ; et désormais , abandonnée à elle-même , elle continuera de se mouvoir en ligne droite avec une vitesse constante.
