CHAPITRE IV

De la double Réfraction.

N ou s avons déjà annoncé que les rayons lumineux , en tra~ -versant la plupart des corps cristallisés , s’y divisent généralement en deux faisceaux , dont l’un , que l’on nomme faisceau ordinaire , suit les lois ordinaires de réfraction que nous avons exposées, tandis que l’autre, que l’on nomme faisceau extraordinaire , obéit à des lois très- différentes.

Ce phénomène se produit dans tous les cristaux transparens dont la forme primitive n’est ni un cube , ni un octaèdre régulier. La division du rayon est plus ou moins forte , selon la nature du cristal et le sens dans lequel on le taille ; mais de toutes les substances connues , celle qui produit ce phénomène de la manière la plus énergique , est la chaux carbonatée rhomboïdale , vulgairement appelée spath d’Islande. Comme d’ailleurs elle se rencontre fréquemment dans le commerce et dans les collections des naturalistes , nous l’emploierons la première pour reconnaître et déterminer la marche des rayons.

Les cristaux de cette substance ont , comme leur nom l’indique , la forme d’un rhomboïde, représenté fîg. 87. Ce rhomboïde a six angles solides aigus , et deux obtus : ces derniers sont formés de trois angles plans égaux , et également inclinés : dans les angles dièdres aigus , l’inclinaison des faces est de 740 5b' , et elle est, par conséquent, de io5° 5' dans les autres. Malus a mesuré les inclinaisons par la réflexion de la lumière, selon la méthode expliquée page 160. M. Wollaston était aussi parvenu , de son côté , au même résultat.

Si l’on pose un pareil rhomboïde sur les caractères d’un livre imprimé , ou sur un papier où l’on ait tracé des lignes et des points , et que l’on regarde ensuite à travers son épaisseur , tout paraît doublé ; en sorte que chaque point rayonnant placé sous le cristal envoie deux images à l’œil , et par conséquent

DE LA DOUBLE RÉFRACTION

lui fait parvenir deux rayons. Réciproquement , un rayon simple qui partirait de l’œil , et traverserait le rhomboïde , se diviserait en deux faisceaux. Quoique cette réciprocité semble évidente, il est nécessaire de la constater ; pour cela, il suffit de faire passer à travers le rhomboïde un trait de lumière solaire , dirigé par un héliostat ; car on obtient ainsi deux rayons émergens distincts. Mais, faute de ces instrumens, voici un autre moyen de s’en assurer. Sur le papier où vous posez le rhomboïde , tracez avec de l’encre bien noire un triangle rectangle ABC, fig. 88 , dont le petit côté B G soit , par exemple , un dixième de A C. En regardant ce triangle à travers le rhomboïde, vous le verrez double, de quelque manière que vous placiez l’œil ; et pour chaque position , il se trouvera un point F, dans lequel la ligne A'C', image extraordinaire de AC, coupera la ligne A B , que je suppose appartenir à l’image ordinaire. Prenez donc , sur le triangle même , A — A' F , le point F' sera celui dont l’image extraordinaire coïncide avec l’image ordinaire du point F. Le rayon ordinaire parti de F et le rayon extraordinaire parti de F/ se confondent donc après leur sortie , et ne donnent qu’un seul rayon émergent dirigé vers l’œil : ainsi réciproquement, un rayon qui partirait, suivant cette direction, du lieu où est l’œil , et qui se dirigerait vers le cristal , s’y réfracterait en deux faisceaux, dont l’un irait aboutir au point F , et l’autre au point F' du triangle tracé sous la base du rhomboïde ; car c’est une propriété générale de toutes les actions des corps sur la lumière, que, si à un point quelconque de sa route, on fait rebrousser un rayon sur lui-même sans changer aucune de ses modifications physiques , il éprouvera de nouveau , en sens contraire , les mêmes forces qui ont agi sur lui , et il retournera exactement par le même chemin.

Le procédé que nous venons d’indiquer, et qui a été imaginé par Malus , ne sert pas seulement à prouver le fait de la division des rayons , il sert encore à en mesurer rétendue ; car si les lignes AB, AC sont divisées chacune, je suppose , en mille parties égales , avec les nombres de divisions marqués de dix en dix, l’inspection de ces nombres indiquera toujours quels sont

DE LA DOUBLE RÉFRACTION, 327

les points de AB et de AC dont les images ordinaires et extraordinaires coïncident ; par conséquent , si la position de ces lignes et du triangle est connue, relativement aux arêtes de la base du rhomboïde, on saura toujours, dans chaque cas , à quel endroit de cette base répond le point F , à quel autre répond le point Fh Ainsi , pour construire les rayons réfractés , il ne restera plus qu’à marquer la position de leur point commun d’émergence. On y parviendrait en marquant sur la surface supérieure du cristal, fig. 89, l’endroit où se croisent les images des côtés AB, AC du triangle qui sert de mire; mais comme il faut aussi connaître la direction du rayon émergent qui en résulte , il vaut mieux faire cette observation avec un cercle gradué, dont on maintient le limbe vertical, et dirigé dans le plan d’émergence IO Y. On dirige la lunette de ce cercle sur le point d’émergence I où le croisement s’opère; et si l’on a pris le soin de rendre la base du rhomboïde horizontale au moyen d’un niveau , la même observation détermine à la fois l’angle d’émergence IOV ou NI O, compté de la normale, et la position du point d’émergence I sur le rhomboïde. On connait aussi à priori les positions des deux points FF', dont les images coïncident ; on pourra donc construire les directions des rayons réfractés ordinaire, extraordinaire, FI, F'I, correspondans à la direction observée du rayon émergent; sur quoi il faut remar- „ quer que , dans beaucoup de cas , le rayon F' I , qui subit la réfraction extraordinaire , ne se trouve pas compris dans le plan d’émergence ION. Tel est le moyen qu’a employé Malus. En l’admettant, nous pouvons admettre toutes ses observations, et les regarder comme des données auxquelles il faut satisfaire.

Parmi toutes les positions que l’on peut donner au rhomboïde sur son plan , il en est une qui mérite surtout d’être remarquée , parce que la réfraction extraordinaire s’exerce alors , comme la réfraction ordinaire , dans le plan d’émergence même. Pour la découvrir, il faut, par l’un des côtés du triangle ABC, tel que B C , par exemple , concevoir un plan perpendiculaire aux surfaces supérieure et inférieure du rhomboïde, puis placer l’œil dans ce plan , et tourner peu à peu le cristal sur sa base , jusqu’à ce que les deux images de la ligne droite B C se superposent ;

DE LA DOUBLE RÉFRACTION

alors , comme on sait que l’image ordinaire reste toujours dans le plan d’émergence , il faut nécessairement que l’image extraordinaire s’y trouve aussi. Cela arrive lorsque la droite , qui sert de mire , divise en deux parties égales un des angles plans obtus du rhomboïde , ou est parallèle à la direction qui jouit de cette propriété. Alors l’écart des deux images, perpendiculairement au plan d’incidence , devient nul ; et par conséquent, quelles que soient les forces qui produisent la réfraction extraordinaire, il est sûr que leur résultante est comprise toute entière dans ce plan. Aussi lui a-t-on donné un nom particulier; on l’appelle la section principale du rhomboïde . Si l’on suppose que le cristal sur lequel on fait ces expériences a précisément la forme primitive qui convient à la chaux carbonatée, les bases du rhomboïde seront des rhombes parfaits ; et alors la section principale conliendra les deux diagonales menées sur chaque base par les sommets des angles obtus. Le plan de cette section coupera donc le rhomboïde suivant un parallélogramme A B, A' B' , fïg. 90 , dans lequel les côtés AB, A B' sont les diagonales ellesmêmes , et AB', A7B les arêtes qui les joignent dans le rhomboïde. La ligne AA' menée par les deux angles solides obtus A, A', s’appelle Y axe du cristal; elle est également inclinée sur toutes les faces, et forme avec elles un angle de 45° 23' 25 \ C’est à elle que se rapportent tous les phénomènes de la réfraction extraordinaire.

Examinons d’abord comment s’opère cette réfraction dans le plan de la section principale. On en voit tous les phénomènes généraux dans la fîg. gi , où LI représente le rayon incident, IO le rayon réfracté ordinaire, et IEle rayon réfracté extraordinaire. IN est la direction de la normale au point d’incidence. Lorsque l’incidence est perpendiculaire , le rayon ordinaire se confond avec la normale , et traverse le cristal sans se réfracter : mais le rayon extraordinaire se brise au point d’incidence, et est rejeté vers le petit angle solide B‘ . Cet effet est général sous toutes les autres incidences, et il détermine toujours la position du rayon extraordinaire par rapport à l’autre.

La conséquence que nous en devons déduire , c’est qu’il existe dans le cristal une force particulière qui enlève au rayon

DE LA DOUBLE REFRACTION. 5 29

ordinaire une partie de ses molécules, et les repousse vers B'. Mais quelle est cette force? Nous verrons bientôt qu’elle émane de l’axe même du cristal , c’est-à-dire que , si par chaque point d’incidence on mène une ligne I A' parallèle à cet axe , et représentant sa position dans les premières couches où le rayon se divise , tous les phénomènes se passent comme s’il émanait de cette ligne une force répulsive qui agirait seulement sur un certain nombre de particules lumineuses , et tendrait à les écarter de sa direction. Cette force rejette toujours les rayons vers B' , parce qu’ils se trouvent toujours de ce côté de l’axe sous quelque incidence qu’il soient entrés.

Suivons cette idée qui ne répugne point au peu d’observations que nous avons faites ; et pour la vérifier par une épreuve directe , coupons le cristal par deux plans perpendiculaires à son axe, fig. 92 , de manière à former ainsi deux nouvelles faces abc , a'b'c Maintenant, si nous dirigeons un rayon perpendiculairement à ces faces , il pénétrera leurs couches parallèlement à l’axe du cristal primitif. Ainsi , en supposant que la force répulsive émane de cet axe , elle se trouvera nulle , et le rayon ne devra pas se diviser. C’est , en effet , ce qui a lieu , et l’on n’observe ainsi qu’une seule image.

On trouve même, en faisant l’expérience, que l’image reste simple lorsque la seconde face de la plaque est inclinée sur l’axe , la première étant toujours perpendiculaire à cet axe et au rayon incident. Cela arriverait , par exemple, si l’on n’enlevait qu’un des deux angles solides A ou A' du rhomboïde primitif. Le rayon incident LI continuerait sa route parallèlement à l’axe, comme tout-à-l’heure , et en sortant par la seconde face , il se réfracterait dans l’air en une seule direction , suivant la loi de la réfraction ordinaire , c’est-à-dire suivant la proportion constante des sinus. De là , on doit conclure que réciproquement un rayon incident R I' qui passerait avec le même angle d’incidence de T air dans un pareil prisme , s’y réfracterait parallèlement à l’axe en un seul rayon , et en sortirait de la même manière. C’est aussi ce que l’expérience confirme. Si , ayant taillé un pareil prisme , on met contre l’œil sa face perpendiculaire à l’axe , de manière à ne recevoir que les rayons qui arrivent dans cette

35o DE LA DOUBLE RÉFRACTION,

direction , toutes les images des objets extérieurs sont simples * elles éprouvent seulement sur leurs bords cette diffusion que j’ai indiquée , et qui tient au phénomène général de ïa décomposition de la lumière par des prismes.

Mais si la force répulsive qui produit la réfraction extraordinaire émane réellement de Taxe, comme les phénomènes l’annoncent, elle ne peut devenir nulle que lorsque le rayon réfracté lui est parallèle. La coupe que nous venons de déterminer est donc la seule dans laquelle un prisme cristallisé puisse donner des images simples ; c’est aussi ce que l’expérience confirme , et on se sert de ce moyen pour reconnaître l’axe des cristaux.

Reprenons notre plaque à faces parallèles , taillées perpendiculairement à l’axe. Nous asvons vu que le rayon ne s’y divise point sous l’incidence perpendiculaire , mais , sous les incidences obliques, il doit se diviser, puisqu’alors il forme un certain angle avec l’axe duquel la force répulsive émane. C’est, en effet , ce qui a lieu ; et de plus, à incidence égale, la réfraction extraordinaire est la même tout autour de l’axe ; ce qui nous montre que la force répulsive agit , à partir de l’axe, de tous les côtés également.

Dans tout cristal doué de la double réfraction , il existe une direction qui donne des phénomènes semblables , c’est-à-dire que les rayons qui traversent le cristal dans ce sens ne se divisent point , même lorsqu’ils sortent par une face prismatique. Nous devons donc , par analogie , appeler cette direction Y axe de réfraction extraordinaire. En effet , c’est toujours de cet axe qu’émane la force qui divise les rayons ; mais elle n”est pas toujours répulsive. J’ai découvert qu’il existe des cristaux où le rayon extraordinaire est attiré vers l’axe , au lieu d’être repoussé. Nous en verrons bientôt de nombreux exemples. En attendant, la seule observation du fait nous autorise à diviser les cristaux doués de la double réfraction en deux classes , les cristaux à double réfraction attractive et à double réfraction répulsive .

Ayant reconnu ainsi les circonstances générales de ce mode d’achon , il faut en mesurer les effets , et tâcher d’en découvrir les lois. Pour cela , il n’y a pas d’autre parti à prendre que de

DE LA DOUBLE REFRACTION

tailler des plaques dans divers sens, relativement à l’axe, d’y observer les réfractions extraordinaires sous diverses incidences, d’en chercher les lois particulières, et de tâcher de les composer en une seule plus générale : c’est ce qu’a fait Huygheos pour le spath d’Islande ; et nous allons le prendre pour guide , en nous bornant d’abord à considérer particulièrement ce cristal.

Pour arriver au but de la manière la plus simple, il faut d’abord se servir d’une plaque taillée parallèlement à l’axe de réfraction extraordinaire , telle que serait, par exemple, le parallélipipède AB, A' B' , fîg. q3 , dans lequel l’are' e AÀ' représente la direction de l’axe. Nous allons mesurer les réfractions extraordinaires dans cette plaque , suivant les deux sens rectangulaires AB, AA', en rendant d’abord le plan d’incidence perpendiculaire et ensuite parallèle à l’axe A A' .

Dans la première position, les rayons réfractés ordinaire et extraordinaire ne sortent pas du plan d’incidence AB a b : l’un, et l’autre se réfractent suivant des lois semblables ; de manière que le sinus de réfraction et le sinus d’incidence , comptés de la normale IN, sont entre eux dans un rapport constant : mais ce rapport n’est pas le même pour les deux réfractions ; il est plus grand dans la réfraction extraordinaire que dans l'ordinaire. Soit 0 l’angle d’incidence , 0/ l’angle de réfraction, pour le rayon extraordinaire , è' l’angle de réfraction du rayon ordinaire , on a toujours

pour le premier , sin 0/ — a sin 0 ; pour le second , sin 0' ™ b sin 0 ; et dans le spath d’Islande, qui seul à présent nous occupe, on trouve a plus grand que b.

Ce résultat peut , comme nous le verrons tout-à-l’heure , se conclure de l’écartement que les deux faisceaux réfractés éprouvent en traversant notre plaque dans le sens que nous venons d’assigner ; mais il vaut mieux tout de suite le constater par la conséquence qui en découle immédiatement ; et cette conséquence est. que , si la réfraction extraordinaire , suivant celte direction , est réellement soumise à une proportion constante de sinus , on peut déterminer cette constante comme celle de la

3jE LA DOUBLE RÉFRACTION.

réfraction ordinaire, en taillant un prisme ABDAfB'Dr, fig. q4» dont les arêtes soient parallèles à l’axe, et observant la déviation qu’il produit entre les deux images. De plus , puisque le sens de ïa coupe est indifférent pour la réfraction ordinaire , on voit que ce seul prisme pourra servir à trouver les constantes des deux réfractions. Pour l’une comme pour l’autre, la constance des rapports sera démontrée, si toutes les incidences lui assignent la même valeur. Ce résultat remarquable s’étend à tous les cristaux jusqu’à présent observés. En l’appliquant au spath d’Islande , Malus a trouvé

Le seul inconvénient que ce procédé présente, est celui de la dispersion de la lumière par le prisme ; et il est commun aux deux réfractions , quoiqu’il ne s’y opère pas suivant les mêmes lois.

Maintenant , reprenons notre plaque , fig. g3 , et , conservant toujours le même plan d’incidence, calculons l’écartement qu’elle doit produire entre les deux faisceaux. Comme nous avons donné plus haut le moyen de mesurer ces écarts , la comparaison du calcul avec l’expérience servira de preuve à notre théorie. Soit donc , fig. q5, L I le rayon incident, formant un angle LIN ou ô avec la normale IN, et désignons par 10, I E les divisions des deux rayons réfractés ordinaire , extraordinaire. Soit e l’épaisseur I N' de la plaque; alors l’angle OIN' sera 0', et le produit e tang 0' exprimera la distance O N' de l’extrémité du rayon ordinaire au pied de la normale IN'; de même e tang 0/ sera la quantité analogue pour le rayon extraordinaire , c’est-àdire EN'; l’amplitude EO aura donc pour valeus

. , , esin(0/ — 0')

e (tang 6t tang— fl), ou bien —

Pour vérifier ce résultat , je l’appliquerai à des mesures d’amplitude faites par Malus , sur une plaque taillée dans ce sens , et dont l’épaisseur, en parties du mètre, était om,o338. J’ai calculé les valeurs de 0' et 0/ pour les diverses incidences qu’il a mesurées ; j’en ai déduit l’amplitude par notre formule , et je l’ai comparée à ses observations. J’ai ainsi obtenu le tableau suivant :

DE LA DOUBLE REFR ACTION

Angle

Angle de réfraction

Amplitudes en millimètres ,

Excès

extraordin.

ordinaire

observées.

calculées.

du calcul.

io°

mm

mm

mm

— o,oi3

-f-o,oi5

Les erreurs, ne portant que sur les millièmes de millimètres , peuvent être négligées , et l’on doit être surpris d’un si grand accord.

Dans toutes ces observations , 6/ est plus grand que èr , et le rayon extraordinaire s’écarte plus de la normale que l’autre ; c’est une suite de l’excès de a sur h. Mais on peut lier aussi ce résultat à l’idée d’une force répulsive émanée de l’axe ; car, dans le cas dont nous parlons, le rayon réfracté extraordinaire, dans tout son trajet à travers le cristal , est toujours perpendiculaire à cet axe ; et ainsi la force répulsive n’a aucune tendance à l’écarter du plan d’incidence ; elle ne fait que s’opposer au mouvement des molécules lumineuses , et retarder leur vitesse, à mesure qu’elles commencent à pénétrer le cristal. Son action, dans ce sens, est donc toujours directement opposée aux forces attractives ordinaires , qu’elle ne fait que diminuer ; et comme ce sont ces forces qui plient le rayon ordinaire, leur effet étant moindre sur le rayon extraordinaire , elles doivent y produire une moindre réfraction; ce qui s’accorde avec le résultat observé.

La proportionnalité des sinus des deux réfractions dans les expériences précédentes peut être représentée par une construction géométrique qui est très-simple , mais qui , en se généralisant , nous donnera la loi des deux réfractions dans

334 DE LÀ DOUBLE REFRACTtOîU

tous les sens possibles. Reprenons la construction précédente; mais autour du point d’incidence I , et dans le plan d’incidence même, décrivons un cercle d’un rayon quelconque r, lig. 96 ; menons ensuite le rayon incident L I et le rayon réfracté ordinaire I O , qui coupera quelque part en O la circonférence que nous avons décrite. Pour déterminer le lieu de cette intersection , menons la tangente O K et l’ordonnée O P ; l’angle P K O sera égal à OIN', c’est-à-dire à 0' : de plus , le rayon du cercle étant r, l’abscisse I P est égale à r sin 0', et l’ordonnée OP à r cos 0' ; par conséquent ,

OP r cos2 0'

PK= =

tang 0 sin 0

Ainsi , en l’ajoutant à IP , on aura

IP-fPK, ou I K = r sin 0' -f

r cos2 0' sin 0'

sin 0

et enfin , en mettant pour sin 0' sa valeur , I K = — ; .

1 b sin 0

On voit donc que , si l’on faisait le rayon r égal k b , on aurait

aussitôt IK = — — - ;

sin 0

de sorte qu’en prenant effectivement ÏK égal à cette valeur, la tangente menée du point R au cercle indiquera sur son contour l’extrémité du rayon réfracté ordinairement. Mais alors cette valeur de IK, étant devenue indépendante de b , peut servir aussi pour le rayon extraordinaire; c’est-à-dire que, si autour du point d’incidence on décrit un autre cercle avec un rayon IE égal à la constante a , la tangente menée du point R à ce second cercle indiquera sur son contour l’extrémité E du rayon réfracté extraordinaire.

Reprenons maintenant notre plaque , fig. q3, et mettons le plan d’incidence dans l’axe AA'; alors la réfraction ordinaire suit toujours le même rapport constant des sinus , et l’on a , comme tout-à-l’heure ,

sin 0* b sin 0 ;

I>E LA DOUBLE RÉFRACTION. 535

mais cette constance n’a plus lieu dans le rayon extraordinaire j car pour celui-ci on trouve

tang - tang 6 ;

de sorte que, dans ce cas, l’angle de réfraction extraordinaire ê/ est moindre que l’angle de réfraction ordinaire 0'. Ceci est encore un effet très-simple de la force répulsive émanée de Taxe ; car, en figurant à part la section de notre plaque par le nouveau plan d’incidence , fig. 97 , on voit que A A' étant l’axe , la force répulsive qui en émane tend à augmenter l’angle aigu O I A , qu’il forme avec la direction des molécules lumineuses réfractées ordinairement, ce qui repousse le rayon extraordinaire vers la normale IN'.

La loi que donnent ici les expériences peut encore être représentée par une construction analogue à celle dont nous avons fait tout-à-l’heure usage. D’abord , pour déterminer le rayon ordinaire , traçons autour du point d’incidence un cercle d’un rayon égal à b . Puis ayant pris , comme précédemment , une

distance I K égale à — , menons à ce cercle la tangente K O :

sin ê

O I sera le rayon ordinaire cherché, et ainsi l’angle OIN sera Maintenant la relation de 0' à 0/ , peut se mettre sous cette forme

tang 0/ b tang ô' ?

alors — - et — 7- sont les tangentes des angles E I P ,

tang 0, tang 0 D b ?

01 P que le rayon extraordinaire et le rayon ordinaire forment

avec la surface d’incidence. Or, si l’on prolonge IE jusqu’à sa

rencontre avec le prolongement de l’ordonnée PO, on voit

que les tangentes dont il s’agit seront proportionnelles à PE et

à P O. Il faut donc faire en sorte que ces deux lignes soient entre

elles comme est a à b. Cette condition place le point E sur une

ellipse AEA' dont le demi petit axe AI, A' I est égal à b ou au

rayon du cercle , et le demi grand axe IN' est égal à a. Or , 011

sait que, lorsqu’un cercle et une ellipse sont déposés de cette

manière , les points situés sur la même ordonnée ont la même

536 DE LA DOUBLE RÉFRACTION

sous-tangente. Ainsi , quand on aura décrit l’ellipse et calculé le point K, on lui mènera de ce point une tangente comme au cercle , et le point de tangence E appartiendra au rayon réfracté.

En rapprochant ce résultat de celui que nous avions trouvé pour l’incidence perpendiculaire à l’axe , on voit que la réfraction ordinaire, qui reste toujours la même , sera toujours donnée par des cercles dont l’ensemble formera une sphère , au lieu que la réfraction extraordinaire sera donnée par un cercle ou par une ellipse , selon que le plan d’incidence sera perpendiculaire ou parallèle à l’axe du cristal.

En jetant les yeux sur la fîg. 98, où ces constructions sont représentées ensemble, on se trouve naturellement porté à essayer si le passage de la perpendicularité, au parallélisme ne se ferait pas par des ellipses intermédiaires entre le cercle B N' B' et l’ellipse A N' À', telles, par exemple, que les donnerait un ellipsoïde construit sur ees deux sections principales ; alors l’analogie entre les deux réfractions serait complète. C’est en effet ce qui a lieu, avec une légère modification que nous découvrirons bientôt.

Commençons d’abord par bien reconnaître notre ellipsoïde. Il a pour centre le point d’incidence. Sa section principale , parallèle à l’axe du cristal , est l’ellipse AN‘A;, dont le demi petit axe AI ou A'I est égal à b , tandis que l’autre IN' est égal à a. L’autre section , par un plan perpendiculaire à l’axe du cristal , donne le cercle B N* B', dont le rayon est aussi égal à a. Notre ellipsoïde 5 construit sur ces deux sections principales, sera nécessairement de révolution autour de la ligne A A', qui est son plus petit axe , et ainsi il est aplati à ses pôles A A'.

Si nous voulions appliquer littéralement à toutes les autres sections de cet ellipsoïde la construction dont nous avons fait usage pour les deux premières , il faudrait déterminer le point K de la même manière pour chaque plan d’incidence , et mener de ce point une tangente à l’ellipse contenue dans ce plan. Mais il est facile de voir que cela ne suffirait pas pour représenter les phénomènes ; car il s’ensuivrait que le rayon extraordinaire devrait rester toujours dans le plan d’incidence , au lieu que l’expérience nous apprend qu’il s’en écarte , quand la direc-

DE LA DOUBLE REFRACTION

tion de ce plan est intermédiaire entre celles que nous avons examinées ; néanmoins , par un accord surprenant de cette construction avec l’expérience , il ne faut qu’j faire une modification très-légère pour tout accorder ; il ne faut que tracer par le point K, sur la surface du cristal , une ligne perpendiculaire à I K, et par cette ligne mener un plan tangent à l’ellipsoïde. Dans les deux cas que nous avons examinés d’abord , le point de contact se trouvera compris dans le plan d’incidence même, et coïncidera avec celui qu’une simple tangente aurait donné. Mais dans les intermédiaires , il sortira du plan d’incidence, à droite ou à gauche , et toujours conformément à l’observation.

Non-seulement cette construction , soumise au calcul , satisfait aux phénomènes que présente une plaque taillée parallèlement à l’axe , mais elle donne encore tous ceux qui se produisent dans d’autres sections quelconques. Cette belle découverte est due à Huyghens.

Pour généraliser la construction qu’elle donne , et la réduire en principe général , choisissons une face quelconque du cris» tal , soit naturelle, soit artificielle M M', fig. qq, et représentons , par IR, la trace du plan d’incidence K IL. Par le point d’incidence I, menons une ligne droite AIA; , parallèle à l’axe du cristal , et prenons de part et d’autre , de ce point , deux longueurs 1 A , I A' égales entre elles, et au rapport constant b de la réfraction ordinaire. Puis sur cette droite, comme axe, décrivons un ellipsoïde de révolution qui ait les points A, AP pour pôles , et dont le jrayon de l’équateur soit égal à a ; c’est-à-dire , au rapport constant des sinus pour la réfraction extraordinaire. Cela fait, prenons le point K sur le prolongement de RI, dans le plan de la face , de manière que IK soit

égale à — , et par ce point, menons TT' perpendiculaire au

sin ô

plan d’incidence. Enfin, par cette droite , menons un plan qui soit tangent à l’ellipsoïde , le point de contact E se trouvera

sur le ravon réfracté extraordinairement ; et l’on obtiendra ce

rayon lui-même , en joignant I et E par une droite IE. Si, au lieu de l'ellipsoïde , on décrit une sphère sur le diamètre A A' , Tome III.

DE LA DOUBLE K ÉF fl ACTION.

et qu’on lui mène un plan tangent par la même droite TT' , le point de tangence O appartiendra au rayon ordinaire , et donnera de même ce rayon.

Pour vérifier cette construction d’une manière générale, il faut la réduire en calcul. C’est un simple problème de géométrie que nous allons résoudre ; mais , auparavant, il sera bon de remarquer que , quelle que soit la face, naturelle ou artificielle , sur laquelle l’incidence s’opère, il y a une direction dans laquelle le rayon réfracté extraordinairement ne sort pas du plan d'incidence , et cela a lieu quand ce plan contient l’axe du cristal , puisqu’alors la force répulsive n’a aucune tendance pour en faire sortir les molécules lumineuses. Dans nos premières observations sur le rhomboïde , nous avions reconnu cette propriété pour le plan d’incidence qui contenait les petites diagonales des bases , et nous avions désigné ce plan par le nom de section principale. A présent nous généraliserons cette dénomination , et nous appellerons section principale à" un cristal, celle qui résulte d’un plan mené par l’axe de double réfraction , perpendiculairement à la face que l’on considère.

L'intersection de ce plan avec la face sera une de nos coordonnées ; représentons-la par SS', fig. ioo. Pour déterminer la position de tout autre plan d’incidence, il suffira d’assigner l’angle dièdre SIR qu’il forme avec la section principale. Cet angle est le même que celui des traces S I , R I , et nous le nommerons^. Nous nommerons d’ailleurs ê l’incidence LIN, comptée de la normale IN, comme nous l’avons fait précédemment. Alors la direction du rayon incident sera complètement déterminée au moyen des deux angles zr et 0. En effet , soient z ,x, y , trois coordonnées rectangulaires , comptées à partir du point d’incidence I, la première sur la normale IN, la seconde sur îa trace I S de la section principale , et la troisième perpendiculairement aux deux précédentes. Choisissons sur la direction du rayon incident un point L situé à une distance r du point d’incidence, nous aurons généralement

z^.r cos Ô

x r sin ô cos w

j rr: r sin ê sin or.

DE LA. DOUBLE RÉFRACTION

La position du point L sera complètement déterminée par ces formules , quand r , ô et sr seront donnés.

La direction du rayon réfracté ordinaire I O se déterminera de même par l’angle ê' qu’il formera avec la normale , et par l’angle a-, ou plutôt i8o°-f- w, que sa projection sur le pian des xj forme avec l’axe des .x. Comme ce rayon reste toujours dans le plan d’incidence , l’angle -zr est le même pour lui que pour le rayon incident.

Cette coïncidence n’a plus lieu pour le rayon réfracté extraordinaire IE. Celui-ci pouvant s’écarter du plan d’incidence 5 nous désignerons par èt, l’angle que sa projection sur le plan des .xj forme avec l’axe des x, et par 0/ l’angle de réfraction qu’il forme avec la normale IN', prolongement de IN.

Enfin 9 il nous faut encore fixer une dernière donnée , c’est la position de l’axe AA du cristal relativement à la face d’incidence. Déjà nous avons désigné S S' comme représentant la projection de cet axe sur le plan des . tj ; il ne reste donc qu’à fixer l’angle qu’il forme avec la normale INC Nous le représenterons par A.

Maintenant , si nous voulons former l’équation de notre ellipsoïde en fonction des coordonnées x , j , z , il est clair qu’elle ne devra pas contenir les premières puissances de ces variables , puisque leur origine coïncide avec le centre de l’ellipsoïde ; elle ne devra pas non plus renfermer les produits xj, z j ; car l’axe de l’ellipsoïde étant situé dans le plan des xz , sa surface est symétrique des deux côtés de ce plan. La forme la plus générale que cette équation puisse avoir sera donc

Ax2 -f- t.'Bxz C z2 -f- Dp-2 — a2 b2 , (i)

A, B, C,D étant des coefficiens qu’il faudra déterminer d’après les conditions auxquelles la construction de l’ellipsoïde est assujettie.

D’abord il est bien facile de déterminer D ; car l’ellipsoïde étant de révolution autour de l’axe A A' , son intersection par l’axe desjK devra être égale au diamètre de son équateur ; c’est-<g

3/, O DE LA DOUBLE RÉFRACTION-

à-dire à la; faisant donc æ et z nuis, il faudra qu’on ait ±Là} ce qui donne

D a? a* b2 , et par conséquent D = b 2.

Maintenant, pour déterminer les autres coefficiens , il n’y a qu’à faire y nul , c’est-à-dire , considérer la section de l’ellipsoïde par le plan des x z, puis assujettir cette section à avoir pour longueur de ses axes , 2 a , 2 b, cette dernière étant dirigée sur la ligne À A'. Cela n’exige qu’une simple transformation de coordonnées , et l’on en tire

A z=z a2, sin2 A -f- b* cos2 A?

B = ( b 2 — #2) sinA cos A,

C =. a2 cos2 A -J- 6 2 sin2 A.

Il ne reste plus qu’à mener un plan tangent à cet ellipsoïde, conformément à la construction que nous avons adoptée. Pour cela , nommons x , y' les coordonnées du point K pris sur le prolongement de la trace B I du plan d’incidence , à une distance — — : — - de l’origine. Je lui donne le signe — - pour

montrer qu’elle est prise du côté opposé au rayon incident, Si cette distance était r , on aurait généralement

xf = rcoszr , y' = rsursT ,

puisqu’elle est T — , on aura

sm 6

t cos •ar f sin zr

sin ô 9 ^ sin ê

ce qui donne la condition

x' cos zr y 1 sin zr “ — — .

sm ê

Maintenant , par le point K ainsi déterminé , il faut mener, dans le plan des xy, une droite perpendiculaire à IK. Ce sera la trace de notre plan tangent sur le plan des xy , l’équation de cette droite sera

tan g zr

x ) COS •zsr

+ (y-y') sinar =

ou

DE LA DOUBLE RÉFRACTION

ainsi l’équation du plan tangent dont elle est la trace sera nécessairement de la forme

(x — x ) cos zr -{- (f — y') sin zr C’ zz=z o ; car elle doit redonner cette trace quand z est nul. Le coefficient C reste encore arbitraire ; mais il va se déterminer par là condition du contact. En effet , elle exige que les coefficient

dz dz

différentiels , partiels — — - — , soient les mêmes sur le plan

dx dy

et sur l’ellipsoïde, au point de contact. Nommant donc x\ y'\ z ", les coordonnées de ce point , il faudra qu’on ait

cos ■sr A x '+Bz"

C Bx' + Cz

d’où l’on tire

sin zr

Bx -f- C z"

( B x' 4* Cz") sinsr

; D y" cos zr z=z ( A.r"-f- B z") sin zr. (2)

La première de ces formules détermine C' ; la seconde , indépendante de Cr et de 6 , exprime le lieu de tous les contacts qui peuvent appartenir à des rayons pour lesquels zr est commun, c’est à-dire qui sont originairement contenus dans un même plan d’incidence ; et comme elle est linéaire en x" y° z", elle montre que ces rayons seront aussi réfractés extraordinairement dans un seul et même plan.

Si l’on met la valeur de C' dans l’équation du plan tangent > elle achève de la déterminer ; et en remplaçant , pour plus de

simplicité , r'cos zr -j- y sin^ par T — , il vient , relative-

sin 0

ment au point de contact,

Dy"(x° cos ^-\~y" sinzr')-\- (Bx° -\-Cz°)z° sin^r~ on a , de plus

T) y" cos zr rrr (Ax" 4* B z") sin zr ,

A x /£ 4" 2 Bx° z° 4~ C z2 4- B) y" 2 ■=. a2 b2 .

■ a 1 sin 8

Ces trois équations déterminent les trois coordonnées x°, y\ z° , du point de contact. Pour les obtenir simplement , et sans ambiguité , il faut , dans le premier membre de l’équation (3) ,

342 DE LA DOUBLE RÉFRACTION

substituer au facteur D /' cos zz sa valeur tirée de l'équation (2). I| vient alors

(A x" 2 -j" 2 B x" z" -j- C zn% -j- D y'J 2 ) sin zz — — 7^— ;

sin ô

ïe coefficient de sin^r se trouve égal à a2 b2 , d’après l’équation de l’ellipsoïde ; il reste donc

a 2 b 2 sinsr —

d’où l’on tire

sin ô a2 b2 sin 0 sin zz

On peut maintenant , sans difficulté , substituer cette valeur dans les équations (1) et (2) , et éliminer entre elles; il faut seulement remarquer que A C — B9 = a2 b2 , et que D ~ b2 ; on trouve ainsi

V A — a2 sin2 Ô ( A sin2 zz -\-b2 cos2 zz ) a2b2 sin 8 cos •ær B

j y A— «2sin2ô( A sïn2^-f“ù2cos2-5r),