XX. A

y ' «— a2 sin 0 sin -sr.

Ce sont les trois coordonnées du point de contact. En résolvant l’équation qui donne z\ je n’ai pris que le signe négatif du radical , parce que, dans la construction que nous avons adoptée , le point de tangence est nécessairement situé du côté des z négatifs. Maintenant soit r" la longueur du rayon mené de ce point au centre de l’ellipsoïde , on aura , d’après nos notations précédentes ,

t / If A /

z ~ r cosÔ£ æ r sin 0 t cos *ïïx y m: r sin B r sin ;

de là on tire

tang 6 , ' cos zr x

tang Ô / sin zz1

et en mettant pour x , y' , z" , leurs valeurs, il vient

a 2 sin 0 sin zz

tang 9/ sin srt =

ïang 0/ cos ’zzl

\/ A — a 2 sin2 0 ( A sin2 zs - -p b2 cos2 zz ) a2 b 2 sin 0 cos zz

A y A - — a 2 sin2 ô (A sin2 3- -p b2 cos2 zz)

DE LA DOUBLE REFB ACTION. 3/|3

sur quoi il faut se rappeler qu’on a

A rrr a? sin2 A -{- b2, eos2 A ,

B ( b2 — a 2) sinA cos A ,

b étant la constante de la réfraction ordinaire , et a celle de la réfraction extraordinaire , observées l’une et l’autre sur une face d’incidence parallèle à l’axe du cristal , et dans un plan d’incidence perpendiculaire à cet axe.

Pour vérifier ces formules , cherchons d’abord à en déduire les résultats particuliers que nous avons obtenus immédiatement. Faisons, par exemple, A— go0, l’axe sera dans le plan de la face , et nous aurons À a2 , B =; o. C’est le cas de notre plaque parallèle à l’axe. Les formules générales étant particularisées par ces suppositions , donnent

. , . a sin 9 sin 73 -

tan g 9 , sin zr[ = - — —

[/ 1 — sin2 6 (b2 cos^ sr <2“ sin* zr)

tang 9/ COS rr:

b 2 sin ê cos •zr

a 1 — sin2 9 [b% cos2 -sr -f- a2 sin2 zr) *

En divisant ces équations l’une par l’autre, on en tire

tang srx = — tang ar.

Quand sr — o , zs-, r=r o ; quand zr c)o° , •sr, ~ qo° : mais , dans toute autre position du plan d’incidence , les valeurs de •sr et -aï-J diffèrent. Aussi avons-nous remarqué que, dans les deux premières directions, le rayon réfracté extraordinairement ne sort pasdu plan d’incidence, tandis qu’il en sort pour toutes les autres.

Si l’on fait -sr — qo0 , nous aurons le plan d’incidence perpendiculaire à la section principale, et parconséquent aussi à l’axe du cristal, puisque nous avons fait A — go. Cette supposition rend cos zsqnul, et donne srt~g o° ; après quoi, la première équation

a sin 9

se réduit à tang 0/ — - ;

\/ 1 — #2sin2ô

d’où l’on tire sin 6/ = a sin 6 ,

comme nous l’avons déduit de l’expérience. Si, au contraire, nous

DE LA DOUBLE REFRACTION

faisons wrro, il viendra a-, nr: o, et la seconde équation donnera

b b sin 9

tang 0 — .

a \/ ! — sin2 9

Or , dans le rayon ordinaire , on a

sin 0' — b sin 0 ;

par conséquent

tan 9'

b sin 9

\/ 1 — b2 sin2 9

et cette valeur substituée dans notre formule nous donne

tang 0/ = - tang 0' , a

comme nous l’avions aussi trouvé.

Veut-on, au contraire, que l’axe devienne perpendiculaire aux faces du cristal , il n’y a qu’à faire A = o j ce qui donne

et avec ces valeurs , on aura

, . a2 sin 9 sin 23-

tang 9t sm^rr: - ■

b [/ 1 — a2 sin2 9

a2 sin 9 cos w

tang 8/ cos ■ar, ■ ■ .

b V 1 — a2 sin2 9

En divisant ces équations l’une par l’autre , on en tire

tang 7srl — tang vr ;

et par conséquent «rf ~ •ar , c’est-à-dire que le rayon réfracté extraordinairement ne sort pas du plan d’incidence. C’est un résultat tout simple , puisque la force répulsive émane de cet axe. D’après cela , les deux équations précédentes s’accordent

f a2 sin 0

pour donner tang 0t = — — .

b V 1 — <za sin2 0

Pour bien analyser ce cas , soit , fig. 101 , K IL le plan d’incidence, et IK la section faite par ce plan dans la face par laquelle la lumière pénètre ; l’axe A À' de l’ellipsoïde, toujours parallèle à l’axe du cristal, sera perpendiculaire à IK. Alors les deux réfractions seront données par les tangentes KO, KE, menées du point K au cercle CAC' et à l’ellipse B AB', situés

1)E LA DOUBLE REFRACTION. 3/F5

l’un et l’autre dans le plan d’incidence, et décrits, l’un avec le rayon b , l’autre sur les axes 2 b et 2 a. Il est facile de vérifier cette construction par la formule même. En effet , considérons

un angle auxiliaire tel qu’on ait

. a sin 0

sin ôa = a sin 0 , on en tirera tang ôa — — — ,

V i-—a* sin2 d

et par conséquent,

tang 6/ — - tang 0a.

Or, pour construire , il n’y a qu’à décrire du point I, comme centre , un cercle B N' B' avec le rayon I B = a , et du point K mener à ce cercle une tangente Ke; alors l’ordonnée correspondante de l’ellipse donnera le point E qui convient à 0/ : mais il est évident qu’on l’obtiendrait de même en menant du point K la tangente K E à l’ellipse j ce qui réalise encore la construction de Huyghens.

Ce résultat peut se vérifier comme celui de la page 33a , par des observations d’amplitude , en mesurant l’écart des deux rayons ordinaire , extraordinaire , après qu’ils ont traversé une plaque de l’épaisseur e. Soit, fig. 102 , IN' la normale au point d’incidence , et I O , X E les deux rayons , les deux surfaces de la plaque étant supposées parallèles , on aura

esin(0.'— 6')