Tome III

DE LA DOUBLE REFRACTION

De la Réflexion a la seconde surface des cristaux ,

La théorie que nous venons d’exposer n’est pas bornée aux rayons réfractés extraordinairement par les cristaux; elle s’applique aussi à ceux qui sont réfléchis intérieurement à leur seconde surface. Mais avant d’entrer dans le détail des conséquences qu’elle indique , il faut établir par l’expérience les principaux caractères de ce genre de phénomènes.

Lorsqu’un rayon de lumière tombe sur la première surface d’un cristal en sortant du vide , ou de tout autre milieu non cristallisé , il se réfléchit partiellement en un seul faisceau , de manière que l’angle de réflexion compté de la normale est égal a l’angle d’incidence. La force attractive ou répulsive qui émane de l’axe du cristal n’a absolument aucune influence sur ce phénomène ; car on peut tourner le cristal sur son plan dans toutes les directions possibles, sans que l’intensité ou la direction du rayon réfléchi en soit altérée. Mais il n’en est pas ainsi dans la réflexion intérieure qui s’opère à la seconde surface du cristal. Chaque rayon, en se réfléchissant sur cette surface, se divise généralement en deux faisceaux qui reviennent dans le cristal en subissant, l’un la réfraction ordinaire, l’autre l’extraordinaire.

Pour concevoir la cause de cette division , il faut savoir que les rayons réfractés, soit ordinairement, soit extraordinairement par un cristal, lorsqu’ils ont pénétré dans son intérieur à une profondeur sensible , ont acquis un certain mode d’arrangement de leurs particules, tel qu’en continuant leur route dans ce même cristal , ils ne peuvent plus se diviser; et l’expérience prouve qu’ils ne se diviseraient pas davantage en traversant un second cristal contigu au premier , et qui aurait sa section principale dirigée dans le prolongement de la sienne. Ce mode particulier d’arrangement constitue ce que Malus a appelé la polarisation de la lumière. Nous le prouverons bientôt par l’expérience : pour le moment, je me borne à l’annoncer comme un fait. Maintenant, lorsque les molécules qui composent un même rayon réfracté , soit ordinaire , soit extraordinaire , s’approchent de la seconde surface d’un cristal à une distance assez petite

DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 555

pour ressentir l’influence des forces réfléchissantes qui en émanent , il arrive en général qu’un certain nombre de molécules sont tournées par ces forces dans des directions différentes de celles que la réfraction leur avait données ; de sorte qu’en revenant dans le cristal par l’effet de la réflexion partielle ou totale , elles deviennent susceptibles de se diviser entre les deux réfractions , ordinaire , extraordinaire. Je dis que cela a lieu en général ; car il y a certaines positions particulières dans lesquelles les forces réfléchissantes ne troublent pas l’arrangement primitivement imprimé par la réfraction aux molécules lumineuses , et alors le rayon se réfléchit sans sé diviser, ou même il échappe entièrement à la réflexion. Nous examinerons plus loin avec détail toutes ces particularités ; mais nous en pouvons faire abstraction ici, car elles influent seulement sur l’intensité du faisceau réfléchi , et non pas sur la direction qu’il prend en se réfléchissant. Un rayon qui se réfléchit simple , ou même qui sort du cristal sans se réfléchir, subirait la réflexion double , si les molécules qui le composent étaient disposées autrement , et par conséquent la direction de la réflexion est d’abord la première chose qu’il nous est nécessaire de déterminer.

Or , elle est évidemment indiquée par cette remarque que le rayon réfléchi, en rentrant dans le cristal, se comporte comme ferait un rayon venu du dehors. Soit , fig. i o5 , l' le point d’incidence intérieure , et O'I' le rayon incident. S’il a subi la réfraction ordinaire , construisez le rayon réfléchi ordinaire V OfJ qui fait l’angle de réflexion égal à l’angle d’incidence de l’autre côté de la normale V N'; puis calculez par les formules de la page 348, direction du rayon extraordinaire t' £" qui lui correspond en partant du point de réflexion , c’est à-dire qui serait provenu d’un même rayon incident extérieur ; vous aurez ainsi les deux rayons réfléchis qui résultent de la division du rayon incident après la réflexion. Au contraire , ce rayon est-il extraordinaire , fig. 106 , conduisez-le jusqu’au point d’incidence I' ; puis calculez par les formules de la page 848 le rayon ordinaire V O' qui lui correspond du même côté de la normale, et celui-ci étant donné, recommencez le calcul comme précédemment ; vous

556 DE LA DOUBLE REFRACTION

aurez les deux rayons réfléchis V O", I'E", dans lequel se divisera le rayon donné. Généralement voici la règle : un rayon ordinaire et un rayon extraordinaire qui s’accompagnent dans leur incidence intérieure s’accompagnent encore après la réflexion.

Ce sont là les lois générales de la réflexion dans l’intérieur

des cristaux , soit qu’une partie seulement des molécules lumi-

neuses se réfléchisse intérieurement , et que le reste se réfracte au dehors , soit que l’attraction intérieure étant plus forte , toutes les molécules incidentes soient ramenées en dedans par les forces qui produisent la réfraction.

Ici , comme dans la réfraction ordinaire , l’incidence où cette réflexion totale commence à se produire dépend de la nature plus ou moins réfringente du milieu extérieur ; mais nous ne pouvons pas de même en calculer la limite par la théorie , parce que nous ignorons comment la force attractive ou répulsive, qui émane de l’axe du cristal , varie près de sa surface. Il faut donc recourir à l’expérience , et déterminer le commencement de la réflexion totale par l’impossibilité d’obtenir un rayon émergent.

Effectuons d’abord ce calcul pour le cas où la surface d’émergence serait contiguë au vide, et pour rendre plus simple Texposé des résultats , commençons par considérer seulement les rayons compris dans la section principale. Dans ce cas , on a ts-z=zo } d’où résulte ^rro, et nos équations générales

a a b2 sin ê B

donnent tang 0, = - ■ ■ - — ;

A |/ A — a2 b2 sina è ^

où il faut se rappeler que l’on a toujours

A ~ a2 sin A -f- b2 cosa A B ~ ( b 2 — a2) sin A cos A .

Cela posé , pour avoir la plus grande et la plus petite valeur de l’émergence ê , fîg. 1 07 , il faut faire successivement ê = -f- go°; et 6 = — 90° , ce qui comprend toutes les émergences possibles, on aura ainsi les deux limites

tangOj = — — - — — ; tang0t = —

DE LA DOUBLE RÉFRACTION

Ces deux valeurs de ê/ ne sont point égales entre elles , ce qui est tout simple ; car Taxe du cristal étant en général oblique sur la face d’incidence la force répulsive ou attractive qui en émane ne s’exerce pas également des deux côtés de la normale. Aussi l’inégalité disparaît-elle quand la position de cet axe , relativement à la normale , est symétrique ; ce qui a lieu quand

on a Am o , ou Am qo° ; car dans l’un et 1 autre cas , le terme —

devient nul : c’est le cas des faces perpendiculaires ou parallèles à l’axe. Généralement, sur ces faces, la réflexion extraordinaire s’opère comme la réflexion ordinaire ; l’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence.

Déterminons ces limites pour les faces naturelles des rhomboïdes de spath d’Islande ; alors on a

«m 0,6741717; b m 0,604487! ? A m 44° 36' 3/|7. et l’on trouve pour les deux limites

ce qui donne des rayons incidens I'E, I* E', disposés comme le représente la flg. 108. La force répulsive qui agit sur FE est moindre que celle qui agit sur I'E'. Voilà pourquoi un rayon extraordinaire tel que E' I', tombant intérieurement sur la face d’émergence A' B' , est rejeté par la réflexion plus loin de la normale qu’il n’était d’abord , et inversement.

Pour les rayons ordinaires, la limite de leur émergence s’obtiendra d’après le rapport constant des sinus qui donnent en général sin ê' m b sin ê

sin 6' m ± ô,

d’où l’on tire

ê' m37° 11' 3i\ ou d'm— 37°ii'3r.

Un rayon ordinaire qui rencontrera la surface d’émergence d’un côté ou de l’autre de la normale , sous des incidences plus grandes que ces limites, ne pourra donc pas fournir de rayons émergens ordinaires. Il se réfléchira intérieurement ; mais un rayon extraordinaire qui serait compris entre ces limites et la plus grande de 6/ pourrait encore sortir du cristal.

Ces phénomènes sont évidemment liés à l’existence de la

DE LA DOUBLE REFRACTION

force répulsive et à la manière dont elle exerce son action. Lorsqu’un rayon ordinaire , tel que O If , arrive à la seconde face d’un cristal , sous l’incidence intérieure 6' que nous venons de calculer, on sait que les molécules qui le composent sortent de la surface réfringente jusqu’à la limite extérieure des forces attractives ; ensuite l’attraction les ramène. Si leur tendance à s’échapper était un peu plus forte , elles échapperaient à cet effort. C’est ce qui arrive aux rayons ordinaires qui se dirigent vers la surface d’émergence, en se rapprochant davantage de la perpendiculaire. Mais en même-temps qu’ils s’en rapprochent , concevez qu’ils deviennent sensibles à l’action de quelque force étrangère , qui modifie leur vitesse indépendamment de l’attraction ; alors la possibilité ou l’impossibilité de l’émergence résultera de la combinaison de ces deux genres de forces, et par conséquent changera selon le mode et l’intensité de leur action. Voilà justement ce qui arrive aux rayons extraordinaires, qui sont à la fois sollicités par l’attraction ordinaire du cristal et la force répulsive ou attractive extraordinaire. De sorte que , sans pouvoir assigner la manière dont cette dernière espèce de force varie près des surfaces, nous pouvons au moins concevoir qu’elle doit y modifier les conditions d’émergence, et les rendre différentes des deux côtés de la normale , lorsque de ces deux côtés elle agit inégalement.

Maintenant, lorsqu’un rayon, soit ordinaire, soit extraordinaire , arrivera intérieurement sur la face du cristal avec une incidence plus grande que ces limites, il ne donne plus de rayons émergens dans le vide, et par conséquent on ne peut plus calculer ainsi les rayons réfléchis qui leur correspondent. Mais on les obtiendra en supposant le cristal contigu à quelque autre milieu plus réfringent ; ou , ce qui revient au même , on les déduira des formules suivantes , dans lesquelles l’émergence ô est éliminée :

, . a2 sin &' sin zr

tang sin zr, ™ • — — — — — ~

[A b2 — a 2 sin2 6' [b2 cos2 zr -f- A sin2 zr) ]2

a 2 b2 sin ô' cos zr B

tang 0/ cos ztj — — — —.

A[Aôa«— «3 sin2 0'(62 cos2 w-j- A sin2zr)] 3

DE LA DOUBLE REFRACTION. 55g

Ce sont les mêmes que nous avons trouvées page 348. Si Ton s’est donné ô' et vr , c’est-à-dire l’incidence intérieure et la direction d’un rayon ordinaire , on déterminera d’abord le rayon réfléchi qui y correspond , ce qui changera 6' en— ô , sr restant le même ; puis substituant ces nouveaux angles dans les deux formules , on en déduira 9/ et ar, , c’est-à-dire l’angle de réflexion intérieure, et la direction de réflexion du rayon réfléchi extraordinairement. Si , au contraire, on s’est donné 9/ et zrx , c’est-à-dire l’incidence intérieure, et la direction d’incidence d’un rayon extraordinaire , les deux formules feront connaître 9' et 73- , c’est-à-dire la direction du rayon ordinaire qui l’accompagne. Alors, changeant 9' en — 9', et laissant toujours à ■sr la même valeur , on aura le rayon réfléchi ordinaire qui en dérive; et enfin, remettant ces valeurs — ô' et ar dans les deux formules, on en déduira 9/ et'zr,, c’est-à-dire les coordonnées angulaires du rayon réfléchi extraordinairement.

Ce calcul s’accorde évidemment avec la construction géométrique que nous avons d’abord indiquée. Mais on peut l’abréger en éliminant le rayon ordinaire qui sert d’intermédiaire. En effet , si l’on nomme 8/', ■sr x" les valeurs que prennent 9 / et sr9 lorsqu’on a changé ô' en — 9' , on aura évidemment tang 0/' sîn zrt" — — tang 9{* sin srt

tang 9/' cos -j- — ~ — - tang 9/ cos ■zr[ ;

ce qui déterminera directement ôtw et , lorsque 0/ et vrl r seront donnés. On voit par -là que tang 8/ infinie donne tang 9/' pareillement infinie; c’est-à-dire que , si un rayon extraordinaire tombe sur la surface intérieure d’un cristal sous une incidence de qo° comptée de la normale , le rayon réfléchi extraordinaire qui en résulte fait aussi avec cette même normale un angle de go°.

Les relations directes que nous venons d’établir deviennent indispensablement nécessaires lorsque les rayons incidens s’approchent beaucoup d’être parallèles à la surface réfléchissante ; car au-delà de certaines limites d’incidences , il arrive qu’un rayon incident ordinaire n’a plus de rayon extraordinaire qui

DE LA DOUBLE RÉFRACTION

lui corresponde ou réciproquement ; de sorte que la réflexion est toujours simple , et de même espèce que l’incidence.

Pour en donner la preuve , cherchons par les équations de la page précédente quelle valeur il faudrait donner à l’incidence ordinaire 6' pour que l’angle de réflexion extraordinaire 6/ fût de 90°. Dans ce cas , ê/ sera aussi de 90°. La condition sera donc que tang 9 / devienne infinie , c’est-à-dire qu’on ait

Ab2 — a2 sin2 ê' ( b 2 cos2 zr - f- A, sin2 sr) = o, d’où l’on tire

sin ô' —

a \b 2 cos2 ■ar A sin2 <zs~\A

ïl est facile de voir qu’en faisant sinD' plus grand que cette valeur, l’expression de tang 9/ deviendra imaginaire; ainsi toutes les fois que l’incidence ordinaire ô' sera comprise entre cette limite et la surface réfléchissante , il n’y aura plus de rayon incident extraordinaire qui puisse correspondre au rayon ordinaire ; et par conséquent il ne se formera point de rayon extraordinaire réfléchi.

Pour que le phénomène se réalise , il faut que sin 0e soit moindre que l’unité; car sans cela ô' serait imaginaire. Or, en mettant à la place de À sa valeur a 2 sin2 A -f- b2 cos2 A , on voit que siô"<2, c’est-à-dire si les deux réfractions sont égales, sin â' sera constamment égal à 1 ; si b surpasse a , comme cela a lieu dans les cristaux attractifs, sin 9' sera plus grand que 1 ; enfin, si a surpasse û, comme cela a lieu dans les cristaux répulsifs , sin 6' sera moindre que 1 , et ô' sera réel. Cette dernière espèce de cristaux est donc la seule dans laquelle un rayon incident ordinaire puisse se réfléchir simple et ordinaire sous certaines incidences intérieures.

Mais , par une réciprocité remarquable , cette propriété dans les cristaux attractifs passe aux rayons extraordinaires; c’est-àdire qu’il y a certaines limites d’incidence intérieures au-delà desquelles un rayon extraordinaire se réfléchit simple et extraordinaire. Ce phénomène commence à se produire lorsque le rayon ordinaire correspondant devient parallèle à la surface

DE LA. DOUBLE REFRACTION. 36l

d’émergence , c’est-à-dire lorsqu’on a ô' z=dt: 90°; ce qui donne sin 9' = dz 1 , et par suite

tang 0('sin,z3-ï:

tang 0/cos?3-lr=:±

a * sin zr

[A b 2 — a 2 (è2cos2-sr ~}~ A. sin2 w) J2 a2 b 2 cos zr

A [A 62 — - <22 (62 cos2 zr -J- A sin2 w) ] :

Pour prendre un exemple simple , supposons que la réflexion s’opère sur une face parallèle à l’axe et dans un plan d’incidence perpendiculaire à l’axe : dans ce cas , les deux réfractions suivent la loi simple de Descartes , et l’on a

A = go°, zr~ç)o°j ce qui donne A. = a2 , B = o. Alors les limites où la réflexion commence à être simple seront,

cristaux répulsifs cristaux attractifs

sin 0' dz — rayon ordinaire ,

zr j =90° ; tang0/ = dz

dz - rayon extraordinaire.

d’où sin 0/ :

Pour comprendre nettement la signification de ces résultats, rappelons-nous que — , — sont les rapports du sinus d’incidence

au sinus de réfraction , tant ordinaire qu’extraordinaire , quand la lumière tombe du vide sur la face que nous considérons ici. De sorte qu’en nommant ces rapports n, n\ comme nous l’avons fait dans la théorie physique de la réfraction des corps non cristallisés, nous aurons

et, par suite , nos limites deviendront ,

cristaux répulsifs . . . sin 0'

, rayon ordinaire ;

cristaux attractifs.. . sin 0/ — — , rayon extraordinaire.

Ces expressions sont identiques avec celles que nous avons

DE LA DOUBLE REFRACTION

trouvées page 284 , pour la réflexion intérieure au contact de deux milieux inégalement réfringens , lorsque les molécules lumineuses pénètrent jusqu’à la limite des forces attractives du second milieu. Ainsi, dans les cristaux répulsifs, fig. 10g, la surface extérieure étant A B , les phénomènes de réflexion intérieure que nous considérons ici se passent comme si le milieu extraordinaire , dont le rapport de réfraction est ri , s’étendait depuis la surface du cristal jusques à une certaine profondeur dans sa substance , et était suivi par le milieu ordinaire dont le rapport de réfraction est n. En effet , ri étant moindre que n, les rayons mus dans le milieu ordinaire commenceraient à y être ramenés par la réfraction , lorsque le sinus de l’incidence inté-

rieure serait — , auquel cas ils pénétreraient jusqu’à la limite

des forces attractives du second milieu. Alors le rayon ordinaire O F se diviserait encore dans la partie courbe de sa trajectoire , et produirait un rayon extraordinaire FE parallèle au milieu extraordinaire; mais pour des incidences plus considérables, l’attraction intérieure du milieu ordinaire devenant plus forte , les molécules lumineuses seraient toutes ramenées en dedans par la réfraction, et le rayon extraordinaire ne se formerait pas. Des considérations exactement pareilles s’appliquent , dans les cristaux attractifs, aux réflexions intérieures des rayons extraordinaires, fig. 1 10 ; seulement la formule indique qu’il faut alors placer près de la surface du cristal le milieu ordinaire dont le rapport de réfraction n se trouve plus faible que ri .

La même construction s’appliquerait également à toute autre face d’incidence que celle que nous avons considérée ici; seulement il faudrait, dans chaque cas, donner une valeur différente à la force réfringente du milieu extraordinaire , et il faudrait la faire agir dans son contact avec l’autre, conformément à la loi d’Huyghens. Dans l’exemple que nous avons choisi d’abord, il se trouvait que les deux réfractions s’opéraient suivant des lois pareilles ; mais c’est là une circonstance particulière , et il 11’y a que le principe qui soit général.

Cette succession de milieux n’est pas seulement une concep-

DE LA DOUBLE REFRACTION

tion géométrique propre à représenter les résultats du calcul ; elle indique réellement le mode physique des phénomènes , et la véritable série d’actions que les molécules lumineuses éprouvent. Pour concevoir cette vérité importante , il faut se rappeler ce que j’ai annoncé au commencement de ce chapitre sur les perturbations que les molécules lumineuses éprouvent de la part des surfaces réfléchissantes dont elles s’approchent. J’ai dit que l’action de ces surfaces troublait l’arrangement régulier, ou en général la modification particulière que le rayon avait reçue dans l’intérieur du cristal, et en vertu de laquelle il ne se divisait pas. Supposons que cet effet commence à être sensible à une certaine distance de la surface que nous désignerons par la ligne À' B' , pararallèle à À B ; alors , dans un cristal répulsif, tel que celui de la fig. 109, les molécules lumineuses qui composent le rayon ordinaire Of 11e se diviseront point tant qu’elles n’atteindront pas cette limite. Mais une fois qu’elles y seront arrivées , et qu’elles se seront avancées un peu plus près de la surface d’émergence, elles commenceront à ressentir son influence; et si un certain nombre d’entre elles s’y laissant entraîner, perdent la modification extraordinaire qu’elles avaient acquise , elles deviendront dès-lors sensibles à l’action répulsive qui émane de l’axe du cristal , et leur mouvement s’en trouvera modifié. Mais comme l’intervention de cette nouvelle force n’empêche pas l’attraction ordinaire des couches du cristal d’agir sur le centre de gravité des particules lumineuses , il s’ensuit qu’elles devront se réfracter exactement comme elles le feraient si elles passaient d’un premier milieu non cristallisé dans un autre qui serait doué de la double réfraction , les forces réfringentes de ces deux milieux étant les mêmes que les réfractions ordinaires et extraordinaires du cristal que l’on considère ; et tel est en effet le résultat auquel les formules nous ont conduit. Elles nous apprennent , en outre , que , pour acquérir la modification qui constitue l’état extraordinaire , les molécules lumineuses ont besoin de pénétrer le milieu extraordinaire jusqu’à une certaine profondeur , plus grande que la sphère d’activité de ses forces attractives; car,

DE LA DÔUBLE RÉFRACTION

lorsqu’elles s’avancent seulement jusqu’à cette limite , elles reviennent dans le milieu ordinaire, sans posséder aucune nouvelle modification. A plus forte raison n’en acquièrent elles aucune , lorsque leur incidence, comptée de la normale, devient plus grande , puisqu’alors leur réflexion s’opère encore plus loin de la surface réfléchissante; et c’est pourquoi , dans tous ces cas, les rayons, en se réfléchissant, ne se divisent point. Des considérations absolument pareilles s’appliquent de même aux cristaux attractifs ; seulement , dans ce cas , le milieu extraordinaire étant plus réfringent que l’autre , doit être placé intérieurement , afin que les rayons puissent être ramenés en dedans par l’excès de son énergie ; c’est-à-dire que le phénomène de la réflexion simple et totale ne pourra avoir lieu que pour des rayons incidens extraordinaires , comme , en effet , les formules nous font indiqué.

De plus , l’alternative de réfraction que les rayons éprouvent étant uniquement déterminée par les modifications nouvelles que leur impriment les forces émanées des surfaces réfléchissantes , s’il arrivait que, dans certaines positions de ces surfaces, elles ne changeassent point l’état primitif des rayons , il est évident qu’ils devraient continuer leur route , soit ordinaire , soit extraordinaire, sans se diviser. C’est en effet ce que l’expérience confirme , comme nous le verrons plus loin.

Enfin , comme l’action des forces réfléchissantes paraît en général s’étendre beaucoup au-delà des forces attractives qui produisent la réfraction , il s’ensuit que les changemens de réfraction que nous venons d’examiner , se produiront à une distance de la surface d’émergence plus grande que la limite intérieure des forces attractives , puisqu’elle s’étend jusqu’à celle des forces réfléchissantes elles— mêmes. Nous verrons plus loin cette remarque confirmée par des phénomènes très-curieux.

La discussion dans laquelle nous venons d’entrer prouve avec évidence que la construction trouvée par Huyghens représente parfaitement tous les phénomènes de la double réfraction. C’est ce qu’il avait lui-même montré en l’appliquant à un grand nombre de coupes faites dans des morceaux de spath

DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 365

d Islande , et calculant numériquement la marche des rayons. Selon ses observations , le grand axe de l’ellipsoïde que nous avons nommé 2 a est au petit axe que nous avons nommé 2 è, comme io5o3a esta p34io; en outre, il assigne pour la constante de la réfraction ordinaire le rapport de 5 à 3 , ce qui donne b = ~ o.6oo, et par suite a = 0,6746. Ces nombres s’accordent parfaitement avec ceux de Malus , et il en est ainsi de tous les autres qu’a donnés Huyghens. On peut donc s’étonner que Newton ait méconnu la justesse de cette théorie. Mais c’est qu’Huyghens , quoique l’ayant probablement déduite de l’expé- Tience, l’avait liée a des idées hypothétiques qui répugnaient à la philosophie sévère de Newton. C’est M. Wollaston cjui le premier a senti l’importance de cette loi, et reconnu son exactitude. Malus a depuis confirmé cette importante remarque; et la découverte d’Huygliens, liée par M. Laplace aux principes de la mécanique, est aujourd’hui la base de toutes nos recherches sur la double réfraction.

MICROMÈTRES A DOUBLES IMAGES.