Mouvement relatif dans les canaux mobiles

Appliquons maintenant à un filet fluide le théorème de reffet du travail (i) dans le mouvement relatif à un système tournant avec la vitesse angulaire tù.

(i) Les théorèmes généraux de la dynamique (Delaunay,§233), avec toutes leurs conséquences, peuvent s'appliquer aux mouvements relatifs, à la condition de joindre aux forces réelles les forces apparentes qui permettent de traiter le mouvement relatif de chacun des points du système comme un mouvement absolu. Ces forces apparentes sont, comme on sait, au nombre de deux pour chaque point; Tune est la force d'inertie correspondant au mouvement d'entraînement, l'autre est la force centrifuge composée.

La force d'inertie d'un point matériel en mouvement étant égale et contraire à la force qui devrait agir sur ce point matériel supposé libre pour lui faire prendre le mouvement qu'il possède, on peut la regarder comme la résultante de deux forces égales et contraires aux composantes tangentielle^ et normales de cette dernière force. La composante tangentielle de la force d'inertie qu'on désigne souvent sous le nom de force ifinirtie tangentielle a

donc pour valeur m -r- • La composante normale est égale à /« — et est

toujours dirigée en sens contraire du rayon de courbure p de la trajectoire; ce n'est autre chose que la force centrifuge.

Dans le cas du théorème des forces vives, la force centrifuge composée disparaîtra toujours d'elle-même, et on pourra raisonner sans en tenir compte, parce que cette force étant dirigée perpendiculairement à la vitesse relative du point mobile, son travail sera toujours nul.

Dans le cas particulier du mouvement de l'air dans un ventilateur, les forces réelles sont :

i<^ La pression exercée par les ailettes sur la molécule; en négligeant les frottements, sa direction est normale à la palette, c'est-à-dire au chemin relatif parcouru par le filet fluide qui glisse au contact, et par conséquent le travail de cette pression est nul dans le mouvement relatif;

2*^ La pression pQ à l'entrée des ailettes;

3<* La pression p^ à la sortie ;

4^ La pesanteur.

Le mouvement d'entraînement est un mouvement uniforme de rotation; les forces apparentes sont :

1° La force centriFuge composée dont le travail est toujours nul;

2<^ La force d'inertie du mouvement d'entraînement qui se décompose en deux.

La force centrifuge = mta'x pour une molécule située à la distance x

du centre.

La force d'inertie tangentielle d'entraînement, le mouvement de rotation

Décomposons le filet en un très grand nombre de masses successives et égales m et considérons le temps très court pendant lequel Tune d'elles vient prendre la place de la suivante ; pendant ce temps, l'accroissement de puissance vive du filet est, en désignant par Wi la vitesse relative à l'extrémité des ailes,

"mlwl — wl).

Le travail de la pression d'amont p^ est

Le travail de la pression d'aval /^, La somme de ces travaux

Le travail de la force centrifuge sur une des masses m est mtù^xdxy en appelante la distance à l'axe au commencement du temps, et x-f-rfx la distance de la masse suivante dont elle prend la place; donc, pour tout le filet fluide, ce travail est

/'i étant le rayon extrême des ailettes.

Le travail de la pesanteur est négligeable. En faisant la somme, on a

étant supposé uniforme, l'accélération -p ^st nulle, et par suite aussi la

force tansentielle.

Si on ne tient pas compte de la pesanteur, il reste donc seulement le travail des pressions et de la force centrifuge mt^^x.

OU

W/i — wo — ag' — -7 — -hu) ^/i — foj-

Nous avons fait abstraction dans ce calcul du frottement et des remous qui se produisent toujours dans les canaux mobiles. Pour en tenir compte, il suffit de remarquer que c'est une résistance au mouvement qui se manifeste par une perte de charge. En désignant cette perte par/, en hauteur d'eau, ce travail résistant est

et réquation est alors

ce qui revient à substituer p^-h/k pi dans Téquation précédente. La pression à l'extrémité des ailes est diminuée de f,

501. Sortie des canaux mobiles. — A l'extrémité des ailes, l'air sort avec une vitesse absolue v^j qui est la résultante de la vitesse relative Wy et de la vitesse d'entraînement wr^. En désignant par y (fig- 3o6) l'angle que la direction des ailettes fait avec la tangente à la circonférence extérieure, on a

i;J=:M;j4-(i>'rî— awr^t^i COS y. (19)

Le volume écoulé étant le même dans toutes les sections, on trouve pour un ventilateur à deux ouïes, en désignant par i, la demi-largeur des ailes à l'extrémité^ et en supposant l'écoulement à gueule bée,

Q^z^Tir^b^w^ sin Y- (20)

602. Mouvement dans l'enveloppe. — En quittant les ailettes, l'air se meut dans une enveloppe qui l'amène à la buse de sortie se raccordant avec la conduite de refoulement. Il importe, pour éviter les pertes de puissance vive, que la vitesse

dans cette enveloppe reste constante ou du moins varie très peu, et il faut pour cela lui donner une forme en spirale telle qu'en chaque point et sur chaque rayon prolongé la section soit en rapport avec le volume débité, c'est-à-dire avec la portion de circonférence qui donne issue à Tair. On déduit de là, comme nous le verrons, le tracé de l'enveloppe.

Au moment où l'air arrive à la buse de sortie, si on a maintenu constante la vitesse i^u comme la section Qi de sortie en CC doit débiter le volume Qi , on a

503. Buse de sortie. — La section CC doit être raccordée avec la section DD', origine de la conduite de refoulement, par une partie tronc-conique très allongée afin de conserver l'écoulement à pleine section. En négligeant la différence de hauteur des centres de gravité des doux sections, et désignant par yi la perte de charge en hauteur d'eau produite par les frottements et remous depuis la sortie des ailettes jusqu*en DD', on a

et Q" étant la section en DD',

Q=ûV.

L'accroissement progressif de section a pour effet de produire un accroissement de pression p' — px par la diminution de vitesse i'j — /'. Comme en général, à la sortie des ventilateurs, la vitesse s^^ est beaucoup plus grande que celle v" qu'il convient de conserver, on réalise, par ce moyen fort simple, un accroissement notable d'effet utile.

C'est M. Guibal qui a imaginé et appliqué avec succès cette disposition et l'expérience a fait constater, de la manière la plus précise, la réalité de l'accroissement de pression comme conséquence de la diminution de vitesse quand on évite les remous.