En différenciant l'équation (12), on trouve
dQ^KdX^-^kpdv. (i3)
Nous savons que U est une fonction de l'état du corps et peut par conséquent être déterminé par deux des trois quantités /?, V et T. En prenant T et v comme variables indépendantes, on a
et en substituant
rfQ=A[^rfT + (^+;,)rf.]. (.5)
Si l'on chauffe le corps sans lui permettre de se dilater, c'està-dire & volume constant, dv=o
rfQ £U ^ rfT'
-7- dans ce cas est la chaleur spécifique à volume constant ; en la désignant par c
dl
Si on chaufTe le corps en le laissant dilater, à température constante, dt = o
pdi^ est le travail élémentaire externe de la pression superficielle, -j-dv est le travail interne employé à vaincre, à température constante, l'agrégation des molécules.
En désignant par /le rapport -j- qu'on peut définir la tension d'agrégation des molécules à température constante,
la chaleur interne élémentaire prend la forme
\dV = cdT-{-Afdy (16)
et Téquation 10 devient
dQ = cdT-i-X(f-ï'p)dv. (17)
Si nous rapprochons de Téquation générale (11), on reconnaît, en identifiant les termes, que
AI= / cdT est la variation de chaleur sensible,
J = I fds^ est le travail interne pour modifier les forces moléculaires d'agrégation, L= 1 pds^ est le travail externe qui, dans le cas actuel, se réduit
à celui de la tension superficielle.
Pour les gaz parfaits, ces relations prennent des formes simples et conduisent à des résultats importants.
580. Évolution suivant un cyole fermé. — L'évolution s'étant faite suivant le cycle MKM' (fig. 348), on peut ramener le corps à son état initial en lui faisant parcourir le même chemin en sens inverse M'KM ; dans ce cas le travail de
la pression, à chaque instant, est égal
et de signe contraire à celui produit
h^ — N dans la voie directe, de sorte que le
^ ' travail total externe est nul. Comme le
travail interne Test aussi, il s'ensuit que
la chaleur rendue Q, dans révolution
. , , de retour est égale à celle Q^, fournie
ftl ! ! • .. dans l'évolution directe et que la somme
p. 3, g algébrique est nulle Q^, — Q, = o.
Mais on peut ramener le corps à Tétat initial par un autre chemin tel que M'HM. Dans ce cas, pendant l'évolution de retour, la pression effectue un travail représenté par Taire NMIIM'N'. Lorsque le corps est revenu à son état initial, après avoir parcouru le cycle fermé MKM'HM, le travail externe effectué est représenté par la différence des deux aires NMKM'N' et NMHM'N', c'est-à-dire précisément par Taire comprise dans le cycle fermé MKM'HM.
Q^, étant la chaleur fournie suivant MKM' et Q, celle rendue suivant M'HM, le travail interne U étant nul, Téquation (12) donne
U étant Taire du cycle MKM'HM qui représente le travail.
Dans Tévolution d'un corps, la température, la pression, le volume, ainsi que les quantités de chaleur reçues et rendues, peuvent varier à chaque instant, mais pour un cycle fermé, ces quantités restent toujours comprises entre certaines limites qu'il est facile de déterminer.
Pour avoir les pressions limites p^ et p^ il suffit de mener au cycle (fig. 349) deux tangentes A^B^ et A^B| parallèles à Taxe
Fig. 3i9.
des x\ Tune au-dessus donne la limite maximum des pressions, Tautre au-dessous la limite minimum.
De même, si on mène au cycle deux tangentes parallèles CoDo et C,D, à l'axe des y, on aura les limites maximum et minimum des volumes.
Pour avoir les températures limites, il faut mener deux lignes isothermes E^,F^ et E,F, tangentes au cycle en f et en b. Elles correspondent aux températures limites T^^ et T, ; la température augmente de Tq à T^ dans le parcours bcdej et décroît de T, à T^ dans le parcours y^^/iai.
Enfin si on mène au cycle deux lignes adiabatiques tangentes Gogllg et GjcHp le corps reçoit de la chaleur des corps extérieurs dans le parcours cdefg et leur en rend dans le parcours ghabc.
581. Cycles réversibles et non réversibles. — Dans révolution suivant un cycle déterminé, le corps évoluant est mis à chaque instant en communication avec des corps extérieurs qui ont des pressions et des températures difTérentes. Si la pression p du corps est plus forte que celle p' des corps extérieurs, il augmente de volume; il se comprime au contraire, si la pression extérieure est plus forte.
De même si la température T du corps évoluant est plus élevée que celle T' des corps extérieurs en contact, ceux-ci reçoivent dans révolution une certaine quantité de chaleur; ils en cèdent au contraire si T' est plus grand que T.
Le sens de l'évolution dépend du sens de la différence des pressions et des températures.
On peut concevoir que les pressions p et p' soient égales à chaque instant ou du moins infiniment peu différentes et qu'il
en soit de même des températures T et P; dans ces conditions, révolution pourra se faire indifféremment dans un sens ou dans l'autre ; il suffira d'une variation infiniment petite^ pour rendre la pression ou la température du corps évoluant inférieure ou supérieure à celle du corps extérieur et déterminer par conséquent révolution dans un sens ou dans l'autre ; on dit alors que le cycle est parcouru d'unematiière réversible on simplement qu'il est réversible.
582. Pour un cycle MN (fig-. 35o) parcouru d'une manière réversible, la pression ;7=AB du corps évoluant, en un point quelconque A, est égale à celle du corps extérieur en contact et, pour
un accroissement de volume dv^ le
travail élémentaire externe est pd%^;
la chaleur fournie correspondante
est (i3)
dQ = ArfU -f- kpdv .
Fig. 35o.
Si le cycle était parcouru, par rapport à là pression, d'une manière non réversible dans le sens MN, la pression p' du corps externe serait plus petite que celle p du corps évoluant d'une quantité finie et le travail élémentaire de compression extérieure serait seulement p^dvKpdvj et par suite la chaleur fournie d{y serait
dQ' = kd\} -'f kp dv ,
plus petite que ^Q puisque d\] est le même dans les deux cas, l'état final étant le même.
Ainsi quand le corps évoluant augmente de volume, la chaleur à fournir est plus grande pour un cycle réversible que pour le même cycle parcouru d'une manière non réversible par suite d'une différence finie de pression.
Il n'en est plus ainsi quand le cycle est parcouru en sens inverse NM, avec diminution de volume ; le corps évoluant est
comprimé et, quel que soit p^'^py le travail élémentaire est toujours pdv. Dans la compression, les chaleurs rendues Q et Q' sont les mêmes pour un cycle réversible et un cycle non réversible. Lorsque l'évolution se fait suivant un cycle fermé, une partie est nécessairement parcourue avec dilatation du corps évoluant et l'autre avec compression; dans la première partie, la chaleur i/Q, cédée au corps, est plus grande sur un élément du cycle réversible que celle dQ' cédée sur le même élément du cycle non réversible, tandis que, dans la compression, la chaleur rendue est la même pour les deux cycles; on en conclut que, pour un cycle fermé complet, la chaleur totale dépensée Q^ pour un cycle non réversible, est plus faible que celle Q pour un cycle réversible
Nous utiliserons cette inégalité dans Tétude du rendement des machines.
Quand le cycle est réversible par rapport à la pression, mais non réversible par rapport à la température, par suite d'une différence finie entre le corps évoluant et le corps extérieur, les quantités de chaleur cédées et rendues sont les mêmes que pour un cycle réversible. Cela résulte de Téquation (i3).
Les cycles étant les mêmes, d{] est le même, et, les cycles étant tous deux réversibles par rapport à la pression, le travail pdi^ est le même, de sorte que la chaleur ^Q est aussi la même.
La non réversibilité du cycle, par rapport à la température, a
de rinfluence sur une fonction particulière / ~=, qu'on appelle
Tentropie et qui joue un grand rôle dans la thermo-dynamique. Nous reviendrons plus loin sur celte question.
794 THERMO-DYNâMIQUE.
583. On désigne sous le nom de gaz parfaits les gaz arrivés à un état limite tel qu'ils suivent rigoureusement les lois de Mariotte et de Gay-Lussac.
Le principe de Téquivalence de la chaleur et du travail, pour
les gaz parfaits, se déduit de ces deux lois ; voici comment M. Bourget Ta démontré.
Soit (fig. 35i) Mq Tétat d'un gaz parfait caractérisé par son volume v^^ = 0 A et sa pression Pq=zM^Al. La température absolue est Ta. Faisons-le dilater
p. 3^j à pression constante de M,, en M, ; le
volume passe de OA=«'o àOB^i»,, la température de T^ à T^ ; la pression restant constante, BM|=;?4 est égal à AMf^=p^] la ligne décrite est une droite M^M, parallèle à Taxe des x; la chaleur absorbée Qq est
G étant la chaleur spécifique à pression constante.
Refroidissons le gaz à volume constant de M^ à M^ de sorte que V2=^i] la température tombe de T^ àT^, et la pression de M^B=:;?o à M.fi=p2\ la ligne décrite dans l'évolution est une droite M^Mj parallèle à l'axe desjr; la chaleur absorbée Q, est
elle est négative; c est la chaleur spécifique à volume constant. Réduisons le volume de ç'^=:OB à sf^=OX tel que v^^v^ volume initial, en maintenant la pression constante de sorte que AM^=p^ est égal à BM^^/^^» ^^ température passe de T, à T,
et le cycle décrit est une droite M^M, parallèle à Taxe des x : la chaleur absorbée est
ËnFin ramenons le gaz à son état initial, en le chauffant de manière à le comprimer de p^=AM^ à ;7q= AMo, sans changer son volume 0A=w3=v»^; le gaz, retrouvant son étatprimilif de pression Pq et de volume v^, reprend également sa température initiale T^. La quantité de chaleur Q, fournie par cette dernière évolution est
En ajoutant algébriquement ces quantités de chaleur positives et négatives, on trouve la quantité totale Q de chaleur fournie
mais on a, pour un gaz parfait, dans les divers états,
En retranchant la i"* équation de la 2"^ et la 4"^ de la 3' et remarquant ({ue p^=pQ, p^~p,^ et aussi que i'j=^i et t'3=«'o» on a les deux relations
et par conséquent R(T, — To-f-T3-T2)=:(;;,— />2)(ç'j — ^J; en substituant on trouve
Le travail C effectué par le gaz, dans révolution composée des quatre périodes successives, est représenté par Taire du cycle décrit, c'est-à-dire du rectangle MqMjMjMj, aire qui est égale à {p^ — p^) (*'| — ^o)> ^^ sorte que
ce qui démontre que la quantité de chaleur fournie est proportionnelle au travail effectué et que l'équivalent calorifique du kilogrammètre est
En prenant d'après les résultats des expériences les plus précises, pour Tair
C = o, 28751 - = 1,409 R=29,*î72. On trouve pour l'équivalent mécanique de la chaleur
le même nombre que celui qui résulte des expériences directes de Joule.
584. Le principe de l'équivalence, démontré pour un gaz parfait parcourant un cycle déterminé, s'étend à un corps quelconque parcourant un cycle quelconque. On fait pour cela le raisonnement suivant.
Supposons que pour un corps X, produisant dans une évolution un certain travail S, la quantité de chaleur dépensée Q' soit différente de celle Q, employée avec un gaz parfait pour produire le même travail G.
Accouplons les deux corps et faisons parcourir au corps X son cycle en sens inverse et au gaz son cycle en sens direct. Après cette double évolution, le travail produit— ^ et-hG sera nul et il y aura une quantité de chaleur Q—Q' créée ou perdue suivant que Q sera plus grand ou plus petit que Q' et cela sans compensation, les deux corps étant revenus à l'état initial. Cette conséquence est inadmissible, il faut nécessairement que, si les travaux sont les mêmes, les quantités de chaleur Q et Q' soient égales.
585. Dans les gaz parfaits, la force d'agrégation est nulle. — Une des propriétés les plus importantes des gaz par-
faits, c'est que la force d'agrégation /est nulle et que par conséquent, dans une évolution, le travail, que nous avons représenté par J, est constamment nul. Cette propriété des gaz parfaits, qui avait été énoncée par Clausius, a été démontrée d'une manière précise par la célèbre expérience de Joule.
Joule place dans un calorimètre deux récipients égaux, l'un renfermant de l'air comprimé à 22 atmosphères, l'autre dans lequel on a fait le vide. Les deux récipients communiquent entre eux par un tuyau muni d'un robinet. Quand la température se maintient constante dans le calorimètre, on ouvre le robinet; l'air comprimé s'écoule rapidement dans le vase vide, et, au bout de peu de temps, la pression est la même et égale à 1 1 atmosphères dans les deux récipients; on constate qu'un thermomètre des plus sensibles n'accuse aucune variation de température dans le calorimètre.
Appliquons à cette expérience la formule générale (11).
Il n'y a aucune chaleur fournie ou absorbée de l'extérieur puisque la température du calorimètre reste invariable, Q=o.
Cette invariabilité démontre en outre que la variation de chaleur sensible AI est nulle, donc I = o. Enfin le volume extérieur n'ayant pas changé, le travail externe est nul, L=o.
D'où on conclut nécessairement J=o ou y*=o; c^est-à-dire que, pour les gaz parfaits, le travail et la tension de désagrégation sont nuls.
La chaleur interne (16 du n"* 570), pour les gaz parfaits, est en conséquence
ArfU = crfT d'où AU=AI = c(Ta-Ti) (20)
pour une évolution quelconque entre Tj et T^. La formule (17) se réduit alors en faisant /=o
dQ=zc(Vï + kpdv. (20)
C'est la formule qui donne, pour les gaz parfaits, la chaleur dépensée dans une évolution où la pression superficielle est la seule force extérieure.
798 TaBRMO-DYNAMIQUE.
586. Si on chauffe un gaz, en maintenant sa pression constante, la formule ;7v=RT donne en différenciant pdv=KdT, et en substituant dans Téquation (20)
Or dans ce cas ^ est la chaleur spécifique C à pression constante;
on a donc
C — c = AR.
C'est la relation déjà établie (19). On déduit de cette for-
mule, comme nous l'avons vu, E = -T- = r; =4^*4-
A Li — c
587. Courbe adiabatlque des gaz parfaits. — Considérons un gaz parfait qui change d'état sans qu'on lui fournisse ou qu'on lui enlève de la chaleur de l'extérieur, l'évolution se fait suivant un cycle adiabatique et à chaque instant dQ=o.
Si le gaz surmonte dans son évolution une pression constamment égale à sa force expansive, sans autre force extérieure et sans variation de puissance vive, il faut appliquer réquation(2o} qui devient, en faisant rfQ= o,
o = cdT -h kpdv ,
mais pour un gaz parfait
RT pi^=RT, d'où p = — .
En substituant
cdT , ^ dv
;;r-=AR —
et en intégrant, pour les températures de T^ à T^ et pour les volumes de v^ à V2>
c log. nép -^ = AR log. nép -2 .
Comme AR=C — c, en posant A:=— , on met sous la forme
T. \vj
OU bien Iv =const. (ai)
C'est la relation qui lie les températures et les volumes dans révolution adiabatique.
Pour en déduire la relation entre p et v^ remplaçons T par sa valeur tirée de Téquation />(;=RT; on trouve
^ç»*-*:=const., d'où /^i'^^const. (22)
C'est l'équation de la courbe adiabatique.
La constante est déterminée quand on connaît la pression et le volume correspondant à un certain état p^v^=^con^i.
Enfin on obtient la relation entre la pression et la température
en remplaçant le volume par v'^rR - ; on a
const., d'où pT ~ =con8t. (a3)
qu'on peut mettre sous la forme
C'est la formule de Laplace.
588. Courbe Isotherme des gaz parfaits. — Lorsque, dans une évolution, un gaz parfait se maintient à la même température, le cycle décrit est une courbe isotherme dont l'équation est ;;^=:RT ; T étant constant, c'est une hyperbole équilatère.
Pour maintenir dans l'évolution la température constante, il faut fournir une certaine quantité de chaleur facile à calculer.
Dans l'équation (ao) dQ = cdT-hApdsfy faisons rfT = o; il vient
RT
dQ= \pd\^ et comme p= — , on trouve
rfQ=ART— .
800 THERMO-DYiNAMIQUE.
En intégrant de {^^ h v^
Q=rART log. nép.-2;
en remplaçant AR parC — c et — par— , on met sous la forme
^r Pi
Q=z(C-c)T log. nép. ^.
C'est la quantité de chaleur nécessaire pour faire passer I kilog. de gaz de la pression />, à la pression /?,, en maintenant la température constante à T.
Fig. 35a.
En faisant varier le volume d'un gaz parfait dans le rapport de I k 20, et calculant les pressions correspondantes : pour la courbe isothermique, par Téqualion /;p=RT=const. ; pour la courbe
adiabalique, par l'équation pv^'^consi,, on obtient le tableau suivant qui donne les résultats comparés.
COMPARAISON DES DÉTENTES ISOTHERMIQUE ET ADUBATIQUE.
▼0LUIIS8.
PBBMiORS SUIVANT LSS DftTBMTBt
isothermiqae. adiabatique.
TOLVMKS.
PHKtSlOnS SDITAMT LBS BÉTKim
isotbermiqne.
adiabatique
o,io35
i,ao
o,5oo
o,4oo
La figure 352 représente les deux courbes isothermique et adiabatique. On voit que la pression baisse plus rapidement dans la détente adiabatique.
589. Lignes de pression constante et de volume constant. — La ligne de pression constante est une parallèle à Tare des x dont Téquation est : /? = const.
La quantité de chaleur pour une évolution, dans ces conditions, est, en appliquant la formule dQ = cdT -h Apdi^y
Q = c(T3-Tj + A;;(v',-ç',),
Tj et T^ étant les températures et i>^ et i^^ les volumes limites, c ]a chaleur spécifique à volume constant. Comme pour les gaz parfaits
il vient
pv~RT et que C— c=rAR,
Q:=.c(T,-T,)4-AR(T,-Tj = C(T,-Tj, (25)
ce qu'on pouvait poser a priori.
La ligne de volume constant est une parallèle à Taxe des j^
v^=const. ,
Ser.
et la chaleur à fournir
Q = c(T,-TO. (26)
