Ligne d'évolution représentée par réquation

p'»(»«=zconst. — Etudions, d'une manière générale, l'évolution d'un gaz permanent suivant la courbe dont l'équation est j^m^n nramconst., etquicomprend, comme nous l'avons vu (574), les principales évolutions.

Quand le gaz n'est pas soumis à d'autre force extérieure que la force expansive, le travail extérieur élémentaire est

D'après l'équation de la courbe d'évolution, on a pour la pression p à un moment quelconque

1 II n n II n

y -.— a m V ni =r p^ V ^x V~ »« d*OÙ JL = /^< ^4 "» V^ '« ^^,

p^ et v^ étant la pression et le volume pour un élat déterminé. En substituant et intégrant depuis /;, et v^ jusqu'à p^ et v^

■■=^".'.-('.'""-"'"")=;;^''.'.[fe)'""-]

et comme p'^v^ = const.

P'2^2^2 =Pi^i^i ^^^\V, j ~/V\~T,'

Tj et T^ étant les températures absolues correspondant aux pressions P2 et p^ ; on met sous la forme

D'un autre côté, le travail intérieur U est (sas)

La quantité de chaleur fournie Q est en conséquence

Q=A(U + L)=A[;jjiîL-R+£](T,-T.);

et comme AR = C — c, on trouve

En posant =X. En différenciant

dQ = UT. (28)

La chaleur cédée à chaque instant, quand révolution se fait suivant la courbe /j^V^: constante, est proportionnelle à la variation de température.

591. On peut démontrer qu'à Tinverse, lorsque la chaleur se communique, à chaque instant, proportionnellement à la variation de température, c'est-à-dire quand rfQ = XrfT, l'évolution se fait suivant la loi ;;'"ç'"— constante.

En effet, pour les gaz parfaits (585),

dQ =z cdT + Kpds^ .

D'un autre côté en différenciant l'équation (4), pv=RT

RdT=pds^'hs^dp et remplaçant dQ par XrfT et AR par C — c (19), il vient

(X — c) [pdv H- vdp) = ( C —c) pds^^ qu'on met sous la forme

et en intégrant, on retombe sur l'équation /^"V^const., en

. m X — c j, . . , . mC — ne

posant — =r r-t» d où, comme ci-dessus, X— .

Ces formules ont été données par M. Zeuner.

Le terme X=: prend des valeurs particulières suivant

la courbe d'évolution.

Pour une évolution à pression constante, w=o, et

X est alors la chaleur spécifique à pression constante, he travail est

L=Po(^2-^i) ou L = R(T,~T,).

La quantité de chaleur fournie

Pour une évolution à volume constant m=io, et

'k=Cy

X est la chaleur spécifique à volume constant.

On trouve pour le travail et la quantité de chaleur

L=:o, et Q = c(T2 — Tj).

Pour une évolution à température constante, on a m=zn. La valeur de X devient infinie et T^ — T^ = o. Le travail et la quantité de chaleur prennent la forme indéterminée.

L'équation dL=pdv=p^i>^'*' v"''' dv donne pour m=^n

et, en intégrant,

L=Pi^ilog. nép. ^,

et, comme U = Y ("^2 — "Ï^J = o, on a pour la quantité de chaleur

Q = ART log. nép.i^.

Pour une évolution suivant une ligne adiabatique, — =:^:=r-^ c'est le rapport des chaleurs spécifiques et a=o. On trouve L=:— Î-tR(T3 — T,) et Q = o.

§ ni

592. Dans un ouvrage publié en 1824 et intitulé : Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance, Sadi Carnot pose le principe suivant :

Toutes les fois qu'il y a travail produit par révolution d'un corps, il se fait un passage de chaleur d'un corps chaud à un corps froid et la quantité de travail produit correspond à la quantité de chaleur transportée ; cette quantité ne dépend pas de la matière du corps intermédiaire évoluant., mais seulement des températures du corps chaud et du corps froid entre lesquels se fait l'évolution.

Sadi Carnot ajoute, suivant les idées de l'époque, que dans ce transport il n'y a pas de chaleur perdue, c'est-à-dire que la chaleur prise au corps chaud se retrouve tout entière dans le corps froid, ce qui est inexact et en contradiction avec le principe de l'équivalence de la chaleur et du travail ; mais la première partie de Ténoncé de Carnot est juste et constitue le second principe de la théorie mécanique de la chaleur.

Dans l'exposé de son principe, Carnot fait subir au corps une évolution suivant un cycle particulier remarquable qui est connu sous le nom de cycle de Carnot. Ce cycle se compose de deux lignes isothermes et de deux lignes adiabatiques.

Soit A (fig. 353) l'état initial d'un corps déterminé par son volume spécifique (^q = OA' et sa pression p^ — AA'; sa température est T^. On fait dilater le corps en lui fournissant une

quantité de chaleur Q^, au moyen d'une source indéfinie à température T^, et il vient occuper le point B en décrivant une courbe isotherme AB. Son volume est alors v^ = OB'; sa pression p^ =:BB' et sa température est restée Tq.

A ce moment, on éloigne la source chaude, et le corps continue à se dilater de B en C suivant la courbe adiabatique BC, sans gain ni perte de chaleur de Textérieur. En C son volume est i^^— OC, sa pression /^j— CC, et sa température est devenue T,.

On comprime ensuite le corps, en le maintenant à température constante T^, au moyen d'une source indéfinie à cette température qui absorbe une quantité de chaleur Q^. Il parcourt la courbe isotherme CD, jusqu'à la rencontre, en D, de la ligne adiabatique AD, menée par le point A. Il passe ainsi au volume ♦'j^ OD', à la pression ;;3 = DD'.

Enfin on le comprime, suivant la courbe adiabatique AD, jusqu'à ce qu'il ait repris, en A, sa pression p^, son volume i^^ et sa température T^.

Le cycle ainsi parcouru est le cycle imaginé par Carnot ; il se compose de deux lignes isothermes AB et CD, aux températures Tq etT^, pendant lesquelles le corps reçoit, sur la première, la chaleur Qo et rend, sur la seconde, la chaleur Q^, et des deux lignes adiabatiques BC et DA, sur lesquelles il n'y a ni chaleur reçue ni chaleur perdue.

Le principe de Carnot peut maintenant s'énoncer avec plus de précision comme il suit :

Quand révolution cTun corps se fait suivant un cycle de Carnot, les quantités de chaleur Q^ prise à la source chaude et Q, cédée à la source froide sont respectivement proportionnelles aux températures absolues T^ et Tj de ces sources, et le travail produit est proportionnel à la chute de température T^ — T,.

On le démontre comme il suit pour les gaz parfaits.

Dans le cas où le gaz n'est soumis à aucune force extérieure autre qu'une pression égale à la force expansive, on a Téquation (20)

dQ=zcdT-hApds>,

RT et comme p = — pour les gaz parfaits, il vient

t/Q = crfT -h ART — .

Appliquons cette formule successivement aux quatre parties du cycle.

Sur la ligne isotherme AB, la température est constante et

égale àT^. On a rfT=o, /rfQ = Q^, et, en intégrant de v^ à ^j,

Q,=:ARTolognépJ' (29)

Sur la ligne adiabatique BC, la chaleur fournie est nulle: rfQ^oet

(Il , ^ dv — <?-sr = AR — ; T V

en intégrant de T^ à Ti et de v^ à v^j

clogl«=:ARlogJ. (3o)

Sur la ligne isotherme CD on trouve de même, en changeant les signes

Q,==ART,lognép^, (3i)

et enfin sur la ligne adiabatique DA

clogI«.= ARlog J. (32)

La combinaison des équations (3o) et (32) donne

-i=:-i doù — ==-^:

en divisant les équations (29) et(3i) membre à membre et utilisant cette dernière égalité de rapports, il vient

§o^Io ou bien 2o-2i=:o. (33)

Les quantités de chaleur prise ou cédée aux sources chaude ou froide sont proportionnelles aux températures absolues de ces sources, ce qui démontre la première partie du théorème de Carnot, qui se déduit, comme on voit, pour les gaz parfaits, du principe de l'équivalence .

693. Dans révolution, le travail produit est représenté par Taire ABCD du cycle; en le désignant par G, on a, d'après le principe de l'équivalence, la chaleur dépensée étant Qq — Q,

Or l'équation (33) donne

Qo-Q,^Q,Qo

et, en remplaçant Q^ — Qi par sa valeur tirée de cette relation,

C'est l'expression du travail en fonction des températures et de la quantité de chaleur prise ou cédée à l'une des sources. Le travail produit est proportionnel à la chute de température entre les deux sources; c'est la seconde partie du principe de Carnot.

Carnot admettait en outre queQo = Q,, ce qui ne peut être; ce serait contraire au principe de l'équivalence de la chaleur et du travail .

594. Clausius a étendu à un corps quelconque la démonstration du principe de Carnot établie pour les gaz parfaits.

Considérons, dit-il, un corps quelconque faisant une évolution suivant un cycle de Carnot, entre les températures T^^ et Tj ; il prend à la source chaude la chaleur Qi et cède Q\ à la source froide; le travail produit G est

Il s*agit de démontrer que

To~lV

Faisons évoluer un gaz parfait dans les mêmes limites de température de manière à produire le même travail 6, ce qui est toujours possible en prolongeant plus ou moins le déplacement sur la ligne isotherme.

Soient Qo et Q^ les quantités de chaleur fournies et cédées, nous avons ainsi

G=i-^— — î, et par conséquent Qi— QÎ = Qo — Qi-

Il s'agit de démontrer que QJ = Qq et par suite Q[ = Qj. Supposons qu'il n'en soit pas ainsi et soit

Qo>Qo d'où Q,>Q;.

Si on imagine un système composé d'un corps X évoluant dans le sensdirectetd'ungazparfaitévoluantdansle sens inverse, on voit que le corps X produit le travail positif (^ et prend Q'^ au corps chaud, tandis que le gaz dans l'évolution inverse produit le travail négatifs et cède Q^ au corps chaud.

Si Qq est > Q\y les deux travaux se compensant, on aura transporté sans compensation de la chaleur du corps froid au corps chaud, ce qui, dit Clausius, est contraire à toutes les lois physiques.

Si on supposait Q^ < Q'q, en faisant évoluer le gaz dans le sens direct et le corps dans le sens inverse, on arriverait au même résultat de transporter, sans compensation, de la chaleur d'un corps froid à un corps chaud.

11 faut donc que Q'jj = Qq d'où Q'i = Qi et par suite que, pour

tous les corps comme pour les gaz parfaits, ip =/fr.

Cette démonstration est basée sur ce que M. Clausius regarde comme un axiome : qu'il ne serait pas possible de transporter sans compensation de la chaleur d'un corps froid à un corps chaud ; cela ne parait pas d'une évidence indiscutable, mais toutes les censéquenceSy qu'on tire du principe de Carnot, sont vérifiées par les faits, et c'est la meilleure preuve de son exactitude.

595. Coefflcient économique. — La quantité de chaleur transformée en travail, pendant l'évolution suivant un cycle de Carnot, est Qq — Q^ la chaleur totale empruntée à la source

chaude étant Q^, le rapport de ces deux quantités — rr — ? est

le coefficient économique^ c'est le rapport de la chaleur utilisée à la chaleur totale transportée.

D'après l'équation (33), on a

Qo To '

c'est-à-dire que le coefficient économique d'une machine évoluant suivant le cycle de Carnot est égal au rapport de la chute de température à la température absolue initiale.

Pour la même température absolue, la fraction utilisée sera d'autant plus grande que l'évolution se fera entre deux limites Tq et T^ plus étendues.

C'est là pour les machines à feu la conséquence magistrale du principe de Carnot, et dont il faut se pénétrer dans toutes les recherches ayant pour objet la meilleure utilisation de la chaleur, l'amélioration du rendement.

Le principe de Carnot établit le rôle important de la qualité delà chaleur caractérisée par. la température, tandis que dans le principe de l'équivalence il n'intervient que la quantité de chaleur.

596. Le principe de Carnot, tel qu'il a été établi, suppose essentiellement que l'évolution du corps se fait suivant le cycle détcr-

miné par les deux lignes isothermes et les deux lignes adiabatiques. Que devient-il pour un cycle quelconque?

Comme dans ce cas la température peut varier à chaque instant, il n'est possible de prendre le rapport de la quantité de chaleur à la température absolue que pour un élément de cycle;

ce rapport -y^ varie à chaque instant et on est conduit à se demander ce qu'est pour tout le cycle l'intégrale / -rp.

Clausius a démontré que pour un cycle fermé réversible quelconque on a

Voici la démonstration.

Soit ABCDA le cycle décrit (fig. 354) ; coupons-le par des lignes adiabatiques mm\ un' infiniment voisines; en passant de m à /i le corps reçoit une quantité de chaleur dQ à la température T, tandis que de n à m' il cède une quantité rfQ' à la température T'. Entre deux lignes adiabatiques consécutives, on a

dQ T

rfQ'

=rr=0.

En effet, menons par les points m et n deux lignes isothermes mp et m'p' de manière à avoir en mpp'm un cycle de Carnot. Si on fait parcourir au corps le petit cycle triangulaire mnpj il reçoit, de m en /i, une quantité de chaleur rfQ, ne prend et ne perd rien de n en ;; sur la ligne adiabatique nn! et enfin, de p en m sur la ligne isotherme, cède une quantité dq ; de sorte que dans le petit cycle il a reçu la quantité rfQ — dq et produit le travail a représenté par Taire mnp\ on en conclut

dQ^dq=iXf5.

Comme a est un infiniment petit de deuxième ordre, on a

dQ = dq.

On verrait de même, avec le cycle mnp\ que Le cycle mppm! étant un cycle de Carnot, on a

dq dq* , ., r/Q dQ'

et en faisant la sommation pour tout le cycle

Cette relation est Texpression généralisée du principe de Carnot appliquée à un cycle quelconque.

M. Clausius à donné à cette fonction / -rjr , qui joue un rôle

important dans la thermo-dynamique, le nom à'eniropie. Le principe de Carnot dans le cas général peut alors s'énoncer simplement :

Pour tout cycle fermé réversible, Fentropie est nulle.

597. On démontre que, pour un cycle fermé non réversible, Tentropic est négative.

Le cycle peut être non réversible, dans une partie du parcours, par suite d'une différence finie soit de pression, soit de température, soit par ces deux causes simultanées.

I* Supposons le cycle non réversible par rapport aux pressions, mais réversible par rapport aux températures ; nous avons vu (582) que dans ce cas on avait pour certaines portions du cycle dQ' << rfQ, rfQ' et rfQ étant les quantités de chaleur fournies respectivement pour le cycle non réversible et pour le cycle réversible et qu'on n'avait jamais rfQ'>rfQ; comme les températures sont les mêmes pour les deux cycles aux mêmes points, on a

T "^ T et par suite pour le parcours complet du cycle

L'entropie d'un cycle non réversible par rapport à la pression est plus petite que celle d'un cycle réversible.

a® Si le cycle est parcouru d'une manière non réversible par suite d'une différence finie de température, soit T la température du corps évoluant et T' celle du corps extérieur en un certain point du cycle ; dans la période où le corps évoluant reçoit de la chaleur, on a T' > T; et comme rfQ est le même que pour le même cycle parcouru d'une manière réversible, puisque le travail extérieur est le même, les pressions étant les mêmes (592),

rp' ^*' fil

Dans la période où le corps évoluant cède de la chaleur, T est plus grand que T', mais comme ^Q doit être pris négativement, on a encore la même inégalité, de sorte qu'en faisant l'intégrale on retrouve pour tout le cycle, comme dans le premier cas,

fp<f-

3* Enfin si le cycle est non réversible à la fois par rapport à la pression et à la température, les deux effets s'ajoutent et a fortiori

CdQ' ^ rdQ

J r' ^JT'

Nous avons vu que pour un cycle réversible / -j^ ==0; on en conclut que pour un cycle non réversible

rfQ'

L'entropie pour un cycle non réversible est toujours négative.

598. Le coefficient économique d'une machine thermique est maximum quand l'évolution se fait suivant un cycle de Carnot, dans les mêmes limites de température.

Soit mnpq (fig. 355) le cycle parcouru par une machine thermique quelconque dans les limites de température T^ et T^.

Concevons un cycle de Carnot MNPQ tangent à ce cycle en quatre points m,/j,/;,y; les lignes MN et QP sont des lignes isothermes correspondant aux températures T^ et T,. Le cycle mnpq a, au point de tangence w, la température maximum T^, et, au point de tangence y, la température minimum T..

Menons une série de lignes adiabatiques ÂC, BD de manière à décomposer chacun des deux cycles en un même nombre de cycles élémentaires correspondants. Au cycle élémentaire ABCD du cycle de Carnot, correspond le cycle élémentaire abcd du cycle mnpq,

La température décroissant sur AC de A vers C, la température îq en a est plus petite que T^; en c la température /, est

plus grande que T, en C. On en conclut -^ < ?J et par suite

t, To

Ot-^ ' représente le coefficient économique du cycle élé-

mentaire abcd et — ^^p — - celui du cycle ABDC, et comme cette

inégalité, ou au plus Tégalité, existe pour tous les cycles élémentaires correspondants, on en conclut que le coefficient écono-

PRINCIPE DE CARNOT. Slo

mique du cycle quelconque mnpq est plus petit que celui du cycle de Carnot, dans les mêmes limites de température.