FLUIDES EN MOUVEMENT
94. Étudions la transmission de la chaleur à travers une paroi, séparant deux fluides circulant chacun le long d'une des faces; l'un s'échauffe tandis que l'autre se refroidit, et la température varie sur chacune des faces d'une extrémité à l'autre.
C'est ainsi que, dans un calorifère à air chaud, les gaz de la combustion circulant dans les tuyaux se refroidissent en allant du foyer à la cheminée, tandis que l'air s'échauffe dans la chambre du calorifère en circulant de l'autre côté de la paroi.
Considérons d'une manière générale deux conduits juxtaposés, parcourus par deux fluides, Tun chaud, l'autre froid.
Nous distinguerons deux cas :
1* Les fluides circulent dans le même sens;
a* Les fluides circulent en sens contraire.
Nous allons les examiner successivement.
i"" CIRCULATION DANS LE MÊME SENS.
96. La transmission de la chaleur s'effectue à travers la paroi MN (fig. 33). Le fluide chaud circule de Aj en A| et se refroidit de T^ à T^, tandis que le fluide froid passe de a^ en a^ et s'échauffe de ^0 ^ ^1*
Soient P le poids du fluide chaud qui passe dans une heure, C sa chaleur spécifique, p et c les mêmes quantités pour le fluide froid, T et / les températures correspondantes des deux fluides à une distance quelconque Â^ A de l'entrée pour une surface parcourue de la paroi égale à S.
La quantité de chaleur abandonnée par le
Seu.
Fig. 32.
fluide chaud dans ce
parcours estPC(Tj, — T), celle reçue par le fluide froid de Taulre côté de la paroi est pc [t—Q, et s'il n'y avait pas de chaleur perdue, ces deux quantités seraient égales.
Mais, en général, une fraction seulement de la chaleur abandonnée par le fluide chaud est transmise à travers la paroi, parce qu'il y a pertes à l'extérieur par les autres côtés du conduit; en désignant par a le rapport de la chaleur transmise M à la chaleur totale abandonnée par le fluide chaud, on a
M = aPC{To-T) (i)
a étant plus petit que l'unité.
De même, une portion seulement de cette chaleur transmise est employée à élever la température du fluide froid, et on a
}\^^pc[t-Q (2)
P étant plus grand que l'unité; la diflerence (g— i)pc[t~tQ) est perdue à travers les autres parois du conduit du fluide chaufl*é. En désignant par M^ la chaleur transmise par la surface totale Sp de A(, en A^, on a
Posons
«PC ,^v
on tire des équations précédentes
To-T To-T,
et par suite
^-f-/T = /o+'To = /4-f-/'T| = A Const. (5)
C'est la relation qui lie les deux températures correspondantes des deux côtés de la paroi.
Considérons maintenant la transmission sur un élément de surface d S, en un point A de la paroi oii la diff'érence de tempéra-
ture est T—/; la quantité do chaleur transmise à travers cet élément est
rfM = Q{T-^)rfS (6)
Q étant le coefficient de transmission, tel que nous l'avons défini ci-dessus (2) au n° so.
Pendant que les fluides parcourent rélémentrfS,run se refroidit de rfT et l'autre s'échauffe de dt, et on a
Remplaçons rfM par cette valeur et t par A--/'T(5); il vient
-aPCrfT = Q(T-A + /T)rfS d'où, en isolant les variables
aPC^T
(H-/-)T— A et en intégrant de T^ à T
= QrfS
aPG 1 , (i+r)To-A ^^
ri:7'"g^^P(i4-r)T-A^Q^
et enfin en remplaçant A par une des valeurs (5), on trouve
7^1ognép^=QS. (7)
C'est la relation entre les températures T et ^ et la surface de chauffe S correspondante.
On peut mettre sous la forme
en posant
a PC ^^'
Lorsque la surface S de transmission augmente en progression arithmétique, la chaleur transmise, qui est proportionnelle à T — f, décroît en progression géométrique.
En portant dans Téquation (i) les valeurs de PC et de r tirées des équations précédentes (7) et (4), on trouve la quantité de chaleur transmise par la surface S
QS[To-/o-(T-/)J ,
logiiép-^^— ^
Pour avoir la chaleur M^ transmise par la surface totale S^, il suffît de faire dans les équations précédentes T=T^ et /=/^.
Les valeurs de a et de g dépendent des précautions prises contre le refroidissement; elles doivent être déterminées ou
évaluées dans chaque cas particulier.
Si le tuyau A, qui renferme le fluide chaud, est complètement entouré par le courant du fluide froid circulant dans l'espace annulaire a (fîg. 33), toute la chaleur du fluide chaud est transmise
Fig. 33. et a=i.
C'est au contraire 3 qui est égal à Tunité si c'est le fluide froid qui circule dans le tuyau central.
96. Examinons quelques problèmes relatifs à la transmission de la chaleur à travers une paroi, entre deux fluides circulant dans le même sens.
Connaissant le poids et la nature des fluides, cest-à-dire PC et pcy les températures d'entrée T^ et ^^, déterminer la surface de transmission S, de manière que le fluide chaud sorte refroidi à une température donnée T.
Les inconnues sont S, / et M. On évalue d'abord les pertes a et jâ par analogie avec des appareils du même genre, et on dé-
a PC
termine r par la relation (3) /•=:- — \
L'équation (5) donne ensuite t, soit : t=tQ-\-r(T^—T); et de l'équation (7), on tire S
enfin la valeur de M se calcule par une des équations ( i ) ou (2)
M-aPC(To-T)-3/>c(/-0.
Un problème qui se présente fréquemment est le suivant : On connaît le poids et la nature des fluides (PC et pc), leurs températures initiales (T^ et t^ et la surface de transmission S ; il faut déterminer les températures T et t à l'extrémité de la surface S et la quantité M de chaleur transmise,
aPC On calcule d'abord r par la relation (3) ''==t — -; puis avec
les deux équations (4) et (8)
/•= 2. et ^-mS —
To-T T0-/0
(m détermine les deux inconnues T et /. On trouve facilement les expressions
mS
— mS
et pour la différence La chaleur transmise à travers la paroi est
M=:aPG{To-T) = aPGÎîî— ^(i-e-'"^) (i4)
et la chaleur reçue par le fluide froid
|=pc(^-0=|PC^f^»(.~.—S). (.5)
97. Rendement. — Quelles que soient les dispositions prises, il n'est pas possible d'abaisser la température du fluide chaud au-dessous de t^, température du fluide froid à l'entrée; la
chaleur maximum que Ton peut transmettre est en conséquence
pc{ïo-0;
le rendement p, c'est-à-dire le rapport de la chaleur communiquée au fluide froid à cette chaleur maximum, est donc
Le rendement sera d'autant plus grand que /• sera plus petit, c'est-à-dire que le poids du fluide froid sera plus grand par rapport à celui du fluide chaud.
A la limite, pour une surface S infinie, e""*^ devient nul et les deux valeurs de T et / sont égales
On conçoit qu'il doit en être ainsi ; d'après le mode de transmission, les deux températures se rapprochent indéfiniment. La chaleur transmise est alors
M^aPcï^î— ^^ (i8)
c'est le maximum qu'il n'est pas possible d'atteindre, et qui correspond à un rendement maximum
Cette formule fait voir que le rendement, même avec une surface infinie, ne saurait jamais devenir égal à l'unité.
Quand ^Qa=pc, on a r='-, et la valeur maximum du rende-
h' ment prend la forme
S'il n'y a pas de perte par refroidissement a=i, p=:i et le rendement maximum est p=:o,5o. Ainsi, dans le cas où PC=/?c, on ne peut, quelles que soient les précautions prises contre le refroidissement, obtenir plus de 5o ^j^ de rendement.
TRANSMISSION DE LA GflALEUR A TRAVERS UNE PAROI. 483
Si a=:o,8o et 3=1,20, le rendement limite se réduit à 4o Vo-
n PC I la.
Pour — =-, on a r =- - et p = ^
pc 2, 2 p *^ 2^
• Si on fait a=i etp=:i,
on trouve p= ^. Le rendement peut atteindre les 2/3. Pour a=o,8o et 3= 1,20, p se réduit à o,5o.
