Volume écoulé. — Le volume Q, en mètres cubes

écoulé par seconde, par un orifice de section Q percé sur la paroi du réservoir, est égal au produit de la section par la vitesse dans cette section

Q=ûv=396,ûy^g^l±iL'. (8)

Le volume est proportionnel à la section et à la racine carrée du rapport ^^g.

146. Poids écoulé. — Le poids écoulé par i" s*obtient en multipliant le volume par la densité. On aurait ainsi le poids en tonnes de i ooo kilogr. ; pour Tavoir en kilogr., il faut multiplier par 1 ooo ; on a

P*= îoooQ{fd= looo^Q^^gEd (9)

ou en remplaçant d par sa valeur

p'=49,5çay^fc^. (.0)

Les pressions sont évaluées en mètres de hauteur d'eau. Le poids écoulé est proportionnel à la section et à la racine carrée du produit E(E4-B).

146. Coefficients de contraction. — La valeur du coefficient 9 dépend de la forme de Torifice.

Pour un orifice en mince paroi {Rg. Si), ,^ «

c'est-à-dire tel que la veine fluide ne ren- ^ ^v \' \ ,

contre pas les bords extérieurs de la pa- ^ v ^; \>'^^a

roi, il résulte de très nombreuses expé- ^ ^ "^--

rîences faites par d'Aubuisson, Péclet et ^ ^ c '^^^àî;

autres physiciens que la valeur de 9 est* \ ' "^ X v^'l

La section co en ah au point où se manifeste le maximum de contraction, est liée à la section Û, en AB, de Torifice percé sur la paroi,

Fig. 5i.

par la relation

147. Pour un ajutage cylindrique (fig. Sa), la veine fluide se

contracte en ab à une certaine distance de rorifice, mais elle s'épanouit au delà. Si Tajutage est assez long pour qu'elle vienne rencontrer les parois en CD= AB, il se produit, autour de la section contractée ab, un vide relatif qu'on reconnaît facilement en faisant communiquer cet espace avec un manomètre ; l'eau remonte dans le tube d'une certaine hauteur mn. Il résulte de là que la vitesse est plus grande que pour un orifice en mince paroi et d'après les expériences de

Péclet

C'est-à-dire que la section w en abj point du maximum de contraction, est liée à la section Q de Tajutage en AB ou CD par la relation

VnV.xsW >\Àv.\«^»

Fig. 5a.

r^ Il

V'ig. 53.

148. Pour un ajutage conique convergent (fig. 53), disposé sur une paroi de grandes dimensions par rapport à l'orifice, le coefficient 9 dépend de l'angle a au sommet du cône. Péclet donne les chiffres suivants :

Valeurs de a. o* io° 3o° 4o° 5o° loo** iSo^ Valeurs de ç. o,83 0,98 1,00 0,90 0,80 0,72 o,65

Le coefficient o,83 correspondant à un angle a=o** est celui d'un ajutage cylindrique, tel que AB = CD (fig. Sa), et c'est en effet le cas. Le coefficient augmente ensuite jusqu'à Tangle a = 3o* qui donne le maximum 9= i. Au delà le coefficient se réduit de plus en plus jusqu'à l'angle «=: 180°, ce qui correspond àrorifice en mince paroi pour lequel ç = o,65.

Lorsque Tangle a est de 3o®, la contraction est nulle, c'est-àdire que c'est l'angle naturel delà veine fluide.

149. Pour un ajutage conique convergent placé à l'extrémité d'un tuyau, le coefficient de contraction varie depuis l'unité jusqu'à o,65. On trouve dans Péclet les nombres suivants :

Valeurs de a. o** lo** 20*» 3o" 60** loo** 180° Valeurs de o. 1,00 0,97 0,93 0^89 o,83 0,80 o,65

150. Quand l'écoulement d'un gaz se produit par un ajutage cylindrique ABab continué par un tronc de cône divergent abCD (fig. 54), il se produit, à la base du tronc \ ' i de cône en ab, un vide relatif qui dépend de l'angle de ce cône; et, on le constate au moyen "' ^ y /y./, d'un manomètre disposé comme dans la figure 52 ; il résulte de Fig. 54.

ce vide un accroissement

notable de vitesse et du coefficient©; voici les nombres donnés

par Péclet :

Valeurs de a. o" 5* f 10** 3o° 60" et au delà. Valeurs de 9. o,83 1,87 2,o3 1,24 0,98 o,83

La valeur de 9 atteint un maximum 2,o3 pour a = 7", qui est l'angle naturel d'épanouissement de la veine fluide; le volume

écoulé est plus que triplé par rapport à un orifice en mince paroi de même section, pour lequel le coefficient est o,65. On a -~t: — 3, 1 2.

151. Enfin avec un ajutage conique convergent ABaA (fig. 55) suivi d un ajutage conique divergent a^CD, des effets analogues

se produisent et encore plus marqués. Il y a dans la section contractée ab un vide relatif très prononcé et nous verrons plus loin des appareils très ingé- • nieux et très utiles (l'injecteur Giffard, etc.), basés p. j^ sur ces phénomènes d'as-

piration. Péclet donne les valeurs suivantes de 9, correspondant à divers angles au sommet du cône divergent :

Valeurs de a. o** 1° 3" 5' f 9** 20* 3o'> 5o* Valeurs de ç. 1,00 1,24 1,70 2,25 2,45 1,95 i,3o 1,18 i,o5

Le maximum correspond encore à un angle de 7°, et le volume écoulé est près de quatre fois plus grand que pour un orifice en mince paroi de même section. 11 est plus grand que dans le cas précédent parce que l'ajutage conique convergent, placé sur la paroi, évite la contraction.

162. Les lois générales de la mécanique des fluides rendent parfaitement compte de l'accroissement de vitesse produit par un ajutage divergent. Elles font voir que, dans la section rétrécie,la pression est réduite et qu'en fait l'écoulement se produit sous un excès de pression plus fort que celui de la différence des deux milieux, ce qui augmente naturellement la vitesse.

Considérons un gaz renfermé dans un récipient MNP sous une pression p; il s'écoule par un ajutage convergent horizontal

ÉCOULEMENT D'UN GAZ PAR UN ORIFICE. 2o5

ABab (fig. 55), continué par un ajutage divergent abCD, dans un milieu où la pression est p^.

Soient coi la section en CD et v^ la vitesse moyenne dans cette section, o^, ^^ et p^, la section, la vitesse et la pression dans la partie rétrécie ab, et enfin ci), v la section et la vitesse de la veine fluide, dans le récipient en MNP, à une assez grande distance de Torifice où on peut considérer la pression comme égale à p.

Si la forme des ajutages est disposée pour éviter les remous* que Técoulement se fasse à pleine section à température constante, et enlin si on ne tient pas compte des frottements, le théorème de BernouUi donne

»-i-a — =Pii"^- " — =/^<"*" " — •

c'est-à-dire que l'énergie reste constante.

En général à cause de la grande section co de la veine fluide en

MNP dans le récipient, la vitesse est très faible, le terme — est

négligeable et on a

vî=f (/'-/',) («0 ^•J=f (/'-/'•). ('2)

Quand les excès de pression sont faibles, les densités varient peu et les volumes écoulés sont sensiblement les mêmes dans les différentes sections

v^iù^^y^tù^ (i3) d'où %=—Vi

et par suite

S'il n'y avait pas d'ajutage divergent, on aurait simplement

sj'iip-p^)'

L'ajutage divergent a pour effet d'augmenter la vitesse dans le rapport de — .

Comme on peut choisir les sections (i)f et WQde manière à donner

au rapport —une valeur arbitraire, il semble, d'après cette for-

mule, qu'on peut augmenter à volonté la vitesse Vq\ en fait, il n'en est pas ainsi, et il est facile de voir qu'elle a une limite qu'on ne peut dépasser.

En combinant les équations ( 1 1 ), ( 1 2) et (i 3), on trouve

d'où

^l wî P — Po

Po^P—rÀP-P^h

et comme p^ ne saurait être nul ni négatif, il faut que

0)5 P—P^ La valeur maximum de la vitesse v^ est en conséquence

c'esL-à-dire la vitesse qui aurait lieu, si l'écoulement se faisait dans le vide. On pouvait le prévoir a priori.

Ce calcul de limite ne saurait être tout à fait exact, à cause des variations sensibles de densité et de température qui se produisent quand les pressions diffèrent d'une manière notable, mais les considérations précédentes suffisent pour rendre compte de l'accroissement de vitesse produit par Tajutage divergent.

153. En faisant écouler de l'air par des cônes divergents, Péclet a constaté le fait suivant qui a une grande importance dans la pratique : lorsque l'angle au sommet du cône dé-

— . "^^ I ii^^^^nri" *i lib" \ Il "- — .

.v'vS'.-'î-,'-.-^

Fig. 56.

passe io*, la veine d'air n'occupe pas toute la section de sortie (fig. 56). L'air extérieur rentre dans l'intérieur sur les bords de la circonférence CD, et il se produit le mouvement indiqué par la figure. On le constate très simplement en présentant de petits flocons d'édredon dans la section de sortie, contre la paroi intérieure de tronc de cône ; ils sont aspirés n et restent dans le cône en tourbillonnant sur eux-mêmes.

Pour éviter les remous, il faut donc que Tangle au sommet du cône ne dépasse pas io°, et même y"" afin que les vitesses dans les divers points de la section ne soient pas très différentes. Cet angle de y"" parait être, comme nous Favons dit, l'angle naturel d'épanouissement de la veine tluide.

154. Perte de charge par la oontraction. — Le phénomène de la contraction de la veine fluide, par un orifice en mince paroi ou dans un ajutage, réduit la vitesse dans la section de l'orifice, et produit le même effet qu'une perte de pression, ou, comme on dit, une perte de charge.

Au lieu d'avoir, dans la section U de Torifice en AB sur la paroi (fig. 5i et as), la vitesse Y correspondant à l'excès de pression E dans le récipient, on a une vitesse ^ plus petite, qui correspond à une certaine pression e, de sorte que la perte de charge t produite par la contraction est

Comme E—d — , e^d — et ?~t7, on trouve en substituant

ScR. 17

=E-e = (i-.)./^^ = Re (9)

en posant -j— i =:R.

Pour avoir la perte de charge £ produite par la contraction, il faut multiplier la charge e:=d — , correspondant à la vitesse dans

Torilico, par un certain terme —— i =iR, qu'on peut appeler le

coefficient de résistance.

On tire de ces relations

et .= 4/iiLË. (,o)

C'est l'expression de la vitesse réelle d'écoulement dans l'oriiicc, en fonction de l'excès de pression E dans le récipient et du coefficient de résistance R.

Pour un orifice en mince paroi

ç— 0,65 R—-;— 1 = 1,366 £=i,366rf — et pour E = o,oi

^ = "-TJi?:? = o>oo423 et i'^S", 166 2,000

au lieu de la" qu'on aurait eu, s'il n'y avait pas de perte de c'.iarge

Plus de la moitié de la charge est perdue par la contraction. Pour un ajutage cylindrique

0=0,83 R=-^— i=o,45i £ = o,45irf — ,

pour E = o,oi

o,oi

La perte de charge est un peu moins du tiers de la charge totale o",oi.

Fig. 57.

165. Travail dépensé pour comprimer un gaz. — Considérons un gaz renfermé, à la pression p^y dans un cylindre (fig. 07) sous un piston P, de section S ; r^ étant la distance du piston au fond du cylindre, le volume du gaz est Qo=S^j,; en abaissant le piston, on comprime le gaz, et lorsque la distance au fond est réduite à ^p le volume est devenu Q. =:S3| et la pression p^.

Quel est le travail dépensé pour comprimer le gaz de p^k p^l Pour une position quelconque du piston, à une distance z du fond, soit p la pression correspondante ; si le mouvement est assez lent pour qu'il n'y ait pas de variation sensible de température, le gaz se comprime suivant la loi de Mariotte, et

Pour un déplacement —dz infiniment petit, le travail élémentaire de compression est

flz d(ô — — Spâz^z — ^Po^o ~

et le travail total de z^k z^.

G^-S/^o-o / ' ^ ^S/^o-o log ûép ^^QoPo log nép {Jj.

*/-o " ^1 Po

Cest l'expression générale du travail de compression, lorsque la température reste constante.

Lorsque la variation de pression p^ —p^ est très faible, ce qui est le cas dans la plupart des appareils de chauffage et de venli-

latioD, le volume Q peut être regardé comme constant, et cette formule se simplifie.

Posons /'i — /^n=E; d'où ^=n —

on a log nép ^= • + -«> etc.

/'o Po Pl Pl Si — est très petit, les termes de la série qui suivent le premier sont négligeables, et on a simplement

log nép ^ ^ — Po Po

En substituant dans Téquation du travail, on trouve

^=Q(P^-Po)^Q^'

E ^^p^ — pQ est la variation de pression en hauteur d'eau.

Le travail est donné en grandes unités dynamiques, si on prend Q en mètres cubes et E en mètres.

Il serait donné en kilogrammètres, si E était évalué en millimètres ou Q en litres.

Pour donner à 20 mètres cubes d*air un excès de pression de o"", 10 en hauteur d'eau, soit 100 millimètres, le travail à dépenser est ao XI 00 = 3 000 kilogrammètres, et si ce travail doit être

effectué en une seconde, il faut — jr- — 26''^'',66.

Ces résultats doivent être notablement augmentés en pratique pour tenir compte des frottements, des pertes, etc.

Le travail de compression peut se mettre sous une autre forme, qui est quelquefois plus commode.

En désignant par d la densité du gaz par rapport à Teau, et par P son poids, on a

Q=r-j, et comme E = (l —

V étant la vitesse d'écoulement correspondant à l'excès de pression E, on trouve

Grrr.QE=P— . (il)

Pour faire écouler un poids déterminé de gaz sous des vitesses variables, le travail à dépenser est proportionnel au carré de la vitesse.

Soient co et u>| deux orifices par lesquels on fait passer le même poids de gaz P, à la même densité d qu'on peut supposer constante quand les pressions varient peu, on a

V^={ùvd=^tù^v^d

y et v^ étant respectivement les vitesses dans les sections co et «Oi ; le travail nécessaire pour les produire est

Ç=:P.— , et ErzzP-1,

d'où on déduit la suite des rapports

D et D| étant les diamètres des tuyaux de section o) et (jf .

Les travaux sont en raison inverse des carrés des sections ou de la quatrième puissance des diamètres.

Pour faire écouler un certain poids de gaz dans le même temps par un orifice de diamètre moitié, il faut un travail 16 fois plus grand.

Lorsqu'on fait passer, par un orifice constant Q, un gaz sous des pressions croissantes, ce qui augmente la vitesse Y et par suite le poids écoulé, le travail augmente rapidement ; on a

P=ûVrf

et en substituant dans la formule (i i), il vient

^ = Qd — (la)

Si d peut être regardé comme constant, le travail est proportionnel au cube de la vitesse. Pour doubler la vitesse par le même orifice, il faut un travail 8 fois plus grand.

ÉCOULEMENT D'UN GAZ PAR UN ORIFICE SOUS UN EXCÈS DE PRESSION QUELCONQUE

166. Les formules précédentes ont été établies pour le cas de faibles excès de pression. Lorsque cet excès est un peu fort, qu'il dépasse un mètre de hauteur d*eau, il se produit^ pendant Técoulement, un abaissement sensible de température, d'autant plus marqué que la pression est plus forte, ce qui change les conditions de l'écoulement. Nous allons voir cependant que les formules sont applicables avec une légère modification. Voici d'abord les résultats d'expérience.