AL
En prenant D = o", 10, A*=:o,oo6, et en donnant à Lune suite de valeurs, on obtient les résultats suivants
Valeurs de L i" 5" lo" 5o" loo"" 5oo" looo" Valeurs de— 0,90 0,67 o,55 0,28 0,20 0,09 0,06
Une longueur de 10 mètres réduit la vitesse à peu près à moitié, et une longueur de 100 mètres, au cinquième.
En mettant l'équation (4) sous la forme
E=cH — — ^rf— , ou E = (i4-R)e, (10)
iù %"
on voit que la pression E peut se décomposer en deux parties, Sbr. i9
Tune e = d — , employée à produire la vitesse, l'autre -d —
employée à vaincre les frottements.
180. — Lorsque la conduite se termine par une buse ABCD de plus petit diamètre que le tuyau MN (fîg. 09), la vitesse v de
l'écoulement à la sortie n'est plus la même que dans le tuvau, et les formules doivent être modifiées. Soient toujours E Texcès de pression dans le ré- .,. r cipient, L, X et w^ la longueur, le périmètre et la
section du tuyau, b) la section de la buse, s^ la vitesse de sortie, e la charge correspondante, et enfin v^ la vitesse dans le tuyau.
S'il n'y a contraction ni à la sortie du récipient, ni à la buse^ on a f
et comme les vitesses v eiv^^ si les densités sont les mêmes, sont dans le rapport inverse des sections
En substituant
e=E— e= .-rrf — . (Il)
0)^ ià\ ^g
Si on pose R=: — ■• — » comme e—d — , on trouve
<*)< wi '^S
c'est la même forniule (7) que ci-dessus, mais la valeur de R est différente.
On en déduit la vitesse \\, dans le tuyau
ÉCOULEMENT DES GAZ PAR UNE CONDUITE. 29i
181. Problèmes divers. — Ces formules permettent de résoudre les divers problèmes relatifs à Técoulement des gaz dans les tuyaux, quand le frottement est la seule résistance dont on ait à tenir compte. Pour un tuyau à section circulaire de diamètre D, débitant le volume Q, on a les deux relations
Dans ces formules, indépendamment de la longueur L du tuyau et de la densité du gaz d, qui sont généralement connues, il entre quatre autres quantités E, D, v', et Q ; il faut en connaître deux pour pouvoir calculer les deux autres.
Quand on connaît le diamètre D et une quelconque des autres * quantités, le problème est facile à résoudre; les équations (12) et (i3) donnent immédiatement les deux inconnues.
Il n'y a quelque difficulté que lorsque le diamètre de la conduite est inconnu, et c'est le cas qui^e présente le plus fréquenmient dans les applications. On a souvent à résoudre le problème suivant :
182. Quel diamètre faut-il donner à une conduite de longueur L, pour qu'elle débite un volume Q, sous un excès de pression E à l'origine?
On tire de Téquation ( 1 3) la valeur de t'.
4Q et en portant dans l'équation ( 12) on a
et, tout calcul fait,
D»=o,o825 ^ (D-f-4AL). (i4)
Pour résoudre cette équation dans laquelle l'inconnue D se
trouve clans les deux membres, on procède par tâtonnements. On néglige d'abord, dans le second membre, D à côté de ikh, ou mieux on prend pour D une valeur qu'on a lieu de supposer approchée ; on calcule ce second membre et on déduit, en prenant la racine cinquième, une première valeur de D. Si elle est égale ou peu différente de celle qu'on a supposée, le problème est résolu. Sila différence est trop forte, on porte cette valeur dans le second membre, et Téquation donne une deuxième vsJeur de D et ainsi de suite par approximations successives, jusqu'à ce qu'on trouve deux valeurs consécutives différant d'une quantité plus faible que l'approximation désirée.
Il suffit en général d'un petit nombre de substitutions.
Connaissant D, l'équation (i3) donne la vitesse.
183. Application. — Cherchons le diamètre d'une conduite capable de débiter par i" loo litres d'air à o°, soit 3()o mètres cubes par heure, sous un excès de pression de o°,o2 en hauteur d'eau.
Q = 0"%100 rf=rO, 001293 E = O™,020.
En portant ces valeurs dans l'équation (i4), prenant A=o,oo6 et donnant à L les valeurs :
Valeurs de L lo"" 100™ 1000"
On trouve, en négligeant d'abord D à côté de 4 AL :
Premières valeurs de D o'",io5i o"',i667 0^,2642
En portant celles-ci dans le deuxième membre, on a pour deuxième valeur de D :
Deuxièmes valeurs de D o"*, 1 1 3o o", 1 677 o™, 2643
Une troisième approximation donne :
Troisièmes valeurs de D 0°, 1 1 36 o", 1 677 o", 2643
On voit que les premières valeurs trouvées diffèrent peu des dernières, surtout pour les longs tuyaux de 100 mètres et de
looo mètres, et que les deuxièmes et troisièmes valeurs sont identiques, à quelques dixièmes de millimètres près.
En pratique, il n'y a pas lieu de se préoccuper d'arriver parce calcul à une très grande approximation qui serait en réalité illusoire, parce que la valeur du coefficient de frottement n'est jamais exactement connue. De plus, dans nombre de cas, il faut se servir de tuyaux du commerce dont les diamètres ne varient que par intervalles déterminés, et enfin, dans l'établissement d'une conduite, il faut toujours se réserver une certaine marge pour prévoir des modifications ultérieures dans le débit.
184. Dans nombre de cas, il faut diviser un courant de gaz en deux ou plusieurs courants partiels. Quel diamètre faut-il donner au tronc commun et à chacun des conduits partiels ?
Considérons (fig. 60) un récipient M renfermant un gaz comprimé
Fig. 60.
SOUS un excès de pression E ; cet air s'écoule par le tuyau AB et, arrivé en B,le courant se divise en deux branches BC^, BCj. Soient, pour la partie AB, Q le volume, D le diamètre, L la longueur, i' la vitesse; pour le conduit partiel BC^, Q,, D^, L^ et y^ les mêmes quantités, et pour le conduit BC^, Q^, D^j, L^ et v^. Désignons par E^ l'excès de pression en B, à la bifurcation.
Nous connaissons la pression motrice E et les volumes Q, Q| et Qj, tels que Q^Qi + Qg, qui doivent passer dans les divers conduits; il faut déterminer la pression Ep les diamètres D,D| et Da et les vitesses i', v^ et v,j.
En posant les équations, on trouve que le problème est indéterminé, et on peut se donner une des inconnues.
Donnons-nous la pression E^, de telle sorte que la perte de charge soit à peu près régulière d'une extrémité à l'autre de la conduite pour le parcours le plus long, et pour cela, prenons ces pertes proportionnelles aux longueurs.
La conduite BG^, de longueur L^ étant la plus longue, nous posons
Comme e, est en général négligeable à côté de E, on a la valeur de E,
On calcule ensuite D et c par les relations
E-E, = ^d—, et Q^-r"'
d'où on tire
On a ainsi le diamètre D, et une des deux autres équations donne v.
Pour calculer D|, on a les deux équations
E^^d^=^d^, et 0,="^.,,
On tire les valeurs de D^ et de v^, en procédant de la même manière qu'au n"" i62.
Enfin pour D.^ et v.^, on a les relations
qu'on résout de la même manière.
Si la conduite se divisait en un plus grand nombre de conduits partiels, la marche à suivre serait la même. On déterminerait la pression au point de division des courants par la condition d'avoir la perte de charge proportionnelle à la longueur, et ensuite les diamètres et les vitesses comme nous l'avons fait.
Si les divisions de courants se produisaient successivement, à différentes distances du récipient, on calculerait, pour chaque point de division, la pression de manière à avoir, d'après la longueur des conduits, une perte de charge à peu près régulière, et on en déduirait ensuite, en opérant comme ci-dessus, les diamètres des tuyaux et la vitesse de Tair, dans chacun d'eux, d'après leur longueur et le volume qui doit y passer.
185. Expériences de M. Arson. — M. Arson, ingénieur de la Compagnie parisienne du gaz, a fait de nombreuses expériences, sur l'écoulement des gaz dans les tuyaux cylindriques de divers diamètres.
Le gaz venait de vastes gazomètres et passait par un compteur, ce qui rendait facile la détermination exacte des volumes et des vitesses; les pressions étaient mesurées au moyen d'un manomètre à cloche très sensible que nous décrirons plus loin.
M. Arson a trouvé que la perte de charge ne pouvait pas être exactement représentée par la formule monôme de d'Aubuisson, et il a été conduit à la formule binôme :
E et e représentent les charges en hauteur d'eau, à l'origine et à l'extrémité de la conduite de longueur L et de diamèlre D ; d est la densité du gaz, i^ la vitesse ; enfin a ci b sont des coefficients qui dépendent du diamètre du tuyau et de sa nature. Voici les valeurs données par M. Arson :
