VI

N,„ = N„,, i=/îin.2. ../?,„., X|Xo...X,„, N,,o-T r-^ , , ...

(Xi— Xot)...(X„,^, — X,„)J

2" On laisse s'accomplir pendant le temps - l'évolution considérée dans le problème précédent. Ensuite on sépare la matière primitive restante (portion I) des matières dérivées (portion II), Quelles seront à l'instant t, à partir de la séparation, les quantités de ces matières dans la portion II?

Ce problème se ramène au précédent si l'on remarque que l'évolution de l'ensemble des matières dans les portions I et II n'est pas altérée par le fait de la séparation. La quantité d'une substance quelconque dans la portion II à l'instant t est la différence de la quantité de cette même matière dans l'ensemble et de la quantité présente dans la portion I. L'évolution de la portion I a d'ailleurs lieu de la même manière que dans le problème déjà traité^ la quantité initiale de la matière primaire étant seule modifiée; cette quantité a pour valeur N,^o'?~^''^.

La quantité de substance d'ordre m présente dans l'ensemble à l'instant t est

Xi)...(X,„ — x,j •••

La quantité de la même substance au même instant dans la portion I est

n,n.2. ../i,„-i Al

l,l,..Xn-l IN, o^-^''T

(Xi — A„i). . .(X„,]

TIIKORIK DES TllANSFORMA TIONS DK? COUPS RADIOACTIFS. 899

La différence représente la solution du problème envisagé, en ce qui concerne la substance d'ordre m

\ Il N,„ = /(, «0. . .«,„-! '/., A2. . .A,«- I

(Al — Aoj. . .i A,„— A,; (e-'n,- g-/.,- )

0 ■ Un cas particulièrement intéressant est celui où la vie moyenne de la première substance est considérablement plus longue que celles des substances dérivées; autrement dit, la constante radioactive de la première substance est très petite par rapport à toutes les autres constantes de la série. Tel est le cas de l'émanation du radium et des constituants de la radioactivité induite qu'elle produit : radium A, B et C. La quantité de l'une quelconque des substances est, dans le cas le plus général, représentée par une somme de termes exponentiels en e~'^^, e~'-^, etc. Après un temps suffisamment long par rapport aux vies moyennes des substances y, 3, ...,m, toutes les exponentielles deviennent négligeables par rapport à e''-^^. On obtient alors, à partir d'un état initial quelconciue. les solutions limites suivantes dérivées des solutions V du problème général :

(Mil)

I »| n.2. ■ .n,„-i Ài"/..,. ■ .A,,,-! Ni. Il -^^

' ' '""" (À,— Ài,)...(À„t— Ài)

Toutes les substances de la série ont donc la même loi de décroissance limite qui est celle de la substance primaire. Les quantités de toutes les substances conservent entre elles des rapports constants, et l'on dit alors quelles sont en équilibre de régime radioactif.

C'est ainsi que la loi de décroissance de l'émanation du radium a pu être déterminée par la mesure du rayonnement émis par la radioactivité induite qui l'accompagne; quelques heures sont nécessaires pour que la loi exponentielle simple caractéristique de l'émanation puisse s'établir.

Les formules (VIII) se présentent sous une forme simplifiée si, dans les différences des constantes radioactives, on néglige A( par rapport aux autres constantes de la série. On obtient ainsi les valeurs approchées