POUTRES, A SECTION CONSTANTE, ENCASTRÉES ET NON CHARGÉES

Nous étudierons plus loin comment en modifiant d'une manière forcée, par un encastrement, les pentes initiale et. finale de l'élastique on modifie aussi les moments lléchis-

sants sur toute la poutre. Nous allons d'abord étudier les élastiques de poutres qui, sans être chargées, ne seraient soumises qu'à des encastrements.

| 7. — Poutres, a section constante, encastrées et non chargées

184. Poutre uniquement soumise à un couple d'encastrement sur un seul de ses appuis. — (a) Moments fléchissants et efforts tranchants. — Supposons que la poutre ne supporte aucune charge mais qu'elle soit soumise, sur son appui d'origine A, à un couple d'encastrement M0. Nous avons vu (v. n° 174) que la représentative des momenis fléchissants était une droite telle que aB (fig. 148-1).

Si les moments étaient figurés en vraie grandeur on devrait prendre Aa = M0. Mais nous supposerons, dans tout ce qui va suivre, que les funiculaires sont tracés par la méthode Collignon et nous avons vu que, dans ce cas, leur distance polaire d, c'est-à-dire le coefficient d'échelle était égal à la demi-portée (1/2 /). Pour avoir sur notre épure un pareil coefficient d'échelle nous devrons prendre l'ordonnée représentative, Aa, du moment d'encastrement M0 de telle sorte qu'il faille la multiplier par la distance polaire, 1/2 /, pour avoir M0.

On prendra donc, à l'échelle des forces

Art = M0 : - - d'où Art = -rji'.

Nous pourrions tracer le funiculaire par toute autre méthode que celle de M. Collignon, mais son emploi nous fournira, ainsi qu'on va le voir, des résultats très faciles à traduire en formules.

Nous avons vu (v. n° 173) que l'effort tranchant était égal à la pente de la. représentative vraie des moments fléchissants ; et comme cette représentative est une droite, sa pente est constante ; par conséquent, si T est cet effort tranchant, on aura :

(1) T = T (Effort tranchant)

Nous nommons représentative vraie, par opposition avec représentative -épure, celle que l'on aurait si les moments étaient représentés en vraie grandeur. Nous considérerons, de môme, Y élastique-espace et Y élastique-é pure .

(ô) Pentes de l'élastique sur les appuis. — Le théorème fondamental (v. n° 178-a) des pentes sur les appuis nous dit que chacune de ces pentes est égale, avec le signe voulu, à la réaction sur l'appui correspondant de l'aire des moments eifiés.

L'aire des moments vrais serait un triangle tel que rtAB, ayant pour hauteur M0 et pour hase /; sa surface serait égale à 1/2 M0i, son centre de gravité G (fig. 148-1) serait situé sur la ligne KG qui partage, au tiers, la ligne AB et

que, pour cette raison, nous nommerons la trisectrice de gauche.

La pente à l'origine a0 sera égale à la réaction de cette aire triangulaire sur l'appui A et de même signe qu'elle. La pente a, , à l'extrémité, sera égale à la réaction sur l'appui B, mais changée de signe. On aura donc en ayant soin d'eï/ier le moment M0,

\ ° 6E1 / Pentes sur

/ MJ \ les appuis.

I "ti = H I

et l'on a, d'après cela :

(c) Construction de l'élastique. — Nous avons vu (voir n° 182) que, pour obtenir l'élastique, on décomposait la représentative des moments eïfiés en surfaces élémentaires, aux centres de gravité desquelles on appliquait des forces fictives, proportionnelles à leurs aires ; après quoi, un polygone funiculaire, construit sur ces forces, donnait, à une échelle déterminée, l'enveloppe, ou une partie de l'enveloppe, de l'élastique.

Cette décomposition peut se faire d'une infinité de manières.

Dans le cas actuel décomposons le triangle total AaB (fig. 1) en trois triangles partiels, savoir : triangle n° 1, aAD : triangle n° 2, AOD, et triangle n° 3, DOB, dont les centres de gravité sont a,, g2 et g3 situés : gi au sixième, g, au tiers et g3 aux deux tiers de la portée.

Pour évaluer les forces fictives représentant leurs aires nous prenons, selon nos conventions, comme base commune de réduction la demi-portée 1/2 /.

Le triangle n° 1 peut être considéré comme ayant pour base aA et pour hauteur AO, c'est-à-dire 1/2 /; sa force d'équivalence fl sera donc égale à la moitié de Aa ; nous la portons (fig. II) de f[ en /,.

De même le triangle n° 2 aura pour forces d'équivalence, fs, la moitié de OD, c'est-à-dire le quart de Aa. 11 en sera de même du triangle n" 3 ; sa force d'équivalence f3 sera égale au quart de Aa. Nous portons ces forces d'équivalence, sur la fig. II, en et en f ,.

Maintenant, nous construisons (fig. III) le funiculaire Collignon sur les trois forces fx, f2 et f3 de la fig. II.

Rappelons la construction : On voit (fig. II), marqués en

trait fort, les segments hi h2 et h3 qui ont été ensuite reportés, comme d'habitude, savoir : hi et h2 en h\ et h'2 sur l'ordonnée d'origine et h3 en /// sur celle d'extrémité. Le côté moyen du funiculaire est m"n". Le funiculaire lui-

Pente initiale

2M0Ï 0 ' 6ËT

Flèche 16lil

Pente finale

Fig. 148

même est A"c"m"n"B". L'élastique lui est tangente aux trois points A" (origine), w" (milieu) et B" (extrémité), mais elle n'est pas tangente au côté c"m".

(d) Point d'inflexion de l'élastique. — On sait qu'une courbe présente un point d'inflexion lorsque, en ce point, elle passe d'un côté à l'autre de sa tangente. En un pareil point la courbure est nulle. Or si, en un point d'une poutre droite, le moment fléchissant est nul alors l'infléchissement, et par suite la courbure y sont nuls également, ce qui veut dire que l'élastique présentera une inflexion en ce point. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Théorème des points d'inflexion. — « L'élastique d'une

« poutre droite présente des inflexions aux points pour « lesquels le moment fléchissant est nul. »

Dans l'exemple actuel, on voit que, à son extrémité B", l'élastique présentera une inflexion.

(c) Flèche milieu. — La fig. III nous donne, en 0"w", la flèche-cpure. Et l'on a évidemment, en désignant par W", cette flèclie-épurc.

h' -+- ht +

2 2 Or la fig. II nous permet de voir que les trois quantités ht, h2 et h:i sont égales entre elles et, chacune, au tiers de

AV, c'est à dire à — °-

Ofc

On aura donc pour la flèche, qui est de signe contraire à

c'est le quart de Aa (fig. 1).

La flèche-espace s'obtiendra en multipliant la flèche-épure par le coefficient d'échelle définitif qui, dans le cas actuel, est l3 : 8E1. Par conséquent, en désignant par W la flècheespace, on aura