M 6EI

3/s 'x SKI

Résultat identique à celui trouvé plus haut en appliquant directement le théorème des pentes sur les appuis.

185. Problème inverse. — [a) Énoncé. — Connaissant la pente d'encastrement, x0, au-dessus de l'appui A, calculer le moment d'encastrement M0, construire l'élastique et calculer la flèche-milieu.

(b) Solution. — L'équation (2) nous donnera, en la résolvant par rapport à M0,

(21)is)

Mo =

et en substituant dans

(moment d'encastrement),

(3bis)

»F = — aJ 16 0

(flèche-milieu).

Cette formule (3 bis) nous prouve que (fig. NI) la flèche O'V est égale aux 3/8 de 0"J; J étant le point où la tangente d'encastrement A"M" rencontre la verticale milieu et l'on a 0"J=H'; de plus, chacune des quantités h\, //'2, h'3 est égale au quart de H' (Tout cela est facile à démontrer) ; par conséquent le tracé de l'élastique de la fig. III est très facile à faire lorsque l'on connaît la pente initiale a0, ou une amplification a"0, à une échelle quelconque, de cette pente initiale. En voici le résumé :

1° On prolonge la tangente initiale jusqu'en J, sur la verticale milieu, et le point w" situé aux 3/8 de l'ordonnée 0"J ainsi déterminée donne le point milieu de l'élastique.

2° On prend en M" le point d'intersection de la tangente initiale avec la trisectrice et, joignant au point d'extrémité B" on a, en B"M", la tangente finale.

3° On porte sur la verticale d'origine deux longueurs successives h\ et h'2 égales chacune au quart de 0"J, ce qui donne le point u. Sur la verticale d'extrémité on porte une seule fois la même longueur, en h'3) ce qui donne le point v; on joint u et v, ce qui donne la tangente au point milieu a>" de l'élastique.

(c) Réalisation matérielle de l'élastique. — Nous engageons le lecteur, ne serait-ce que pour se convaincre de la justesse de la théorie précédente, à réaliser, comme suit, l'élastique que nous venons d'étudier :

1° Planter deux clous A et B sur une planche à dessin (fig. 149).

2° Appliquer sur ces clous une règle plate assez mince, mais d'épaisseur parfaitement uniforme, sinon l'expérience ne réussirait pas.

3° Serrer dans la main la partie extérieure AC et, avec cette main, développer un couple dans le sens des flèches.

La règle prendra naturellement en A',,/IV la forme de l'élastique précédente ; on la tracera avec un crayon et on

Fig 149

vérifiera, après coup, si son tracé correspond à celui que nous venons d'indiquer.

186. Poutre uniquement soumise à deux couples d'encastrement inégaux. — (à) Solution algébrique. — Soit M0 le couple d'origine, appliqué sur l'appui A et soit M, le couple d'extrémité appliqué en B. Chacun d'eux produira, pour son compte, les effets indiqués ci-dessus; par conséquent; réunis, ils donneront les résultats suivants obtenus en additionnant les résultats partiels :