M„ + M,)/ 6EI

Pentes sur les appuis.

Flèche-milieu.

16EI j

On peut se poser le problème inverse consistant à se donner d'abord les pentes d'encastrement a0 et a4, et à en déduire les moments et la flèche.

En résolvant les équations (2) par rapport à M0 et M, il vient :

(2bia)

2 El

M, =+— (2al+«0).

g(aD—«t)*'

(b) Solution graphique. — Il est souvent plus simple, au lieu de se servir des formules, de construire directement l'élastique. Nous allons rapidement expliquer cette construction sur la fig. 150, dans laquelle, à titre d'exercice et pour changer, nous avons supposé que les moments M0 et Mj étaient négatifs.

III

i)i;ric,H!ATii).\ irr résistance dîne poutre

An —

et

1" Sur la fig. I, on a pris 2M

De telle sorte que la distance polaire de la fig. I est 1/2 /. La représentative des moments fléchissants est la droite ab.

2° Pour obtenir les pentes sur les appuis «0 et al nous avons décomposé l'aire trapézoïdale An^B en deux triangles par la diagonale aB. La force équivalente au premier triangle est K/',, appliquée suivant la trisectrice de gauche et égale h Aa, si l'on prend 1/2 ' pour base de réduction.

De môme L/'5 = B6 est la force équivalente au second triangle.

Sur les deux forces fl et f2 nous avons construit, comme à l'ordinaire, un funiculaire-Collignon. On le voit (fig. III) en A"c"d"B" et les penles-épure sur les appuis sont ajj et

L'élastique n'est tangente à ce funiculaire qu'aux points d'appui A" et B".

3° Pour avoir le point milieu m" et sa tangente, nous avons décomposé le trapèze AabB en quatre triangles au lieu de deux. On voit (fig. II) les forces équivalentes aux aires de ces triangles et les segments (trait fort) hi et h2 pour l'origine, h3 et h,t pour l'extrémité, segments à l'aide desquels on a construit le funiculaire A"m"n"p"q"B", tangent en w" à l'élastique.

Pente initiale (Mi+2Mn)* 6 El

Flèche

(M„ + Mi)P 16 El

Fig. 150

'ente fiuale

, (M0 + 2Mt)/

{c) Epure inverse. — Il est important, connaissant les pentes-espace d'encastrement a0 et a1( d'en déduire les moments Mu et Mj. On procédera comme suit :

1° On multipliera a0 et a1 par l'inverse de /:! : 8EI, c'est-àdire par 8EI : l3, ce qui donnera les pentes-épure aJJ et a'[ ; dès lors on pourra dessiner, en leur donnant ces pentes, les lignes AV et B"d" de la fig. III.

2° On prendra les points c" et d" où elles rencontrent les trisectrices ; on les joindra et cette ligne, prolongée, recoupera en m trémité.

la verticale d'origine et en n la verticale d'ex-

3° On prendra les 3/2 des longueurs A"m et B'n et cela donnera les longueurs Aa et Bb représentatives des moments M0etM,, au coefficient d'échelle 1/2 l ; par conséquent, en multipliant ces longueurs, mesurées à l'échelle des forces, par 1/2 / on aura les moments M0 et M,.

Nota. — Nous donnerons plus loin une solution générale, s'appliquant à une poutre à section variable, dont celle que nous venons d'indiquer n'est qu'un cas particulier.

187. Poutre uniquement soumise à deux couples d'encastrement égaux. — Soit M, chacun de ces moments