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2° Tout ce qui vient d'être dit s'applique aux pou 1res à

Fig 161

section constante du S 7, avec des simplifications. En appliquant ces dernières constructions aux problèmes déjà traités dans ce paragraphe 7, on obtiendrait des tracés plus simples. Nous engageons le lecteur à en faire l'essai.

Corbeaux ou poutres en encokbellkmemt

200. Représentative des moments fléchissants. — (u) Définition. — On nomme corbeau une poutre encastrée d'un côté et libre de l'autre.

(b) Moments dus à une charge unique. — Nous pourrons encore, dans l'étude des corbeaux, appliquer la méthode de M. Collignon au tracé des polygones funiculaires de moments fléchissants. En effet, considérons d'abord un corbeau AT3 (fig. 162) encastré en A, et proposons-nous de représenter les moments fléchissants qui seront développés dans la poutre sous l'action d'un poids unique P agissant en C à à une distance xi de l'origine.

Soit d la distance polaire que nous avons adoptée ; le corbeau sera souvent le prolongement d'une poutre posée sur deux appuis et alors d aura, en général, pour valeur la demi-distance de ces appuis. Portons d de A en D, projetons P en P' sur la verticale d'origine, puis joignons P'D ; cette dernière droite rencontre la force P en un point p et nous allons prouver: 1° que pP est le segment d'origine de la représentative des moments fléchissants dus à la charge P, et 2° que, si l'on prend, à l'origine, AP, = pP, cette représentative est la droite P,C.

Considérons les deux triangles rectangles ADP' et pPP' ; ces figures sont semblables comme ayant les 3 angles égaux: on en lire

AD PP' ÂP7 ~ P/T

d'où Pp X AD = À~F X PP' ;

ou bien, en remplaçant AD par (/, AP' par P et PP' par xlf PpXd= PX x,.

Or, P X x, c'est le moment du couple qui résulterait du

transport en A de la force P, la seule qui soit située à droite de la section A ; c'est donc le mogient fléchissant développé en A; donc Pp est bien la représentative de ce moment ; le couple d'encastrement qui lui fait équilibre est égal et de signe contraire.

Le moment fléchissant en un autre point du corbeau, tel que E, s'obtiendrait en y transportant la force P et en considérant le couple dû à ce transport; on trouverait ainsi pour valeur du moment fléchissant Me

Me == P X x,

x désignant la distance du point considéré à la force P.

Or P X x, lorsqu'on fait varier la position du point E, a toujours la même valeur que l'ordonnée correspondante de la droite CP, d'où l'on conclut que CP, est précisément la représentative des moments dus à la charge P.

(b) Moments dus à plusieurs charges. — Si au lieu d'une charge P nous en avons plusieurs, nous raisonnerons de la même manière en considérant chacune d'elles isolément et les moments fléchissants définitifs s'obtiendront en additionnant les moments obtenus séparément.

Soit, par exemple, un corbeau AB (fig. 163) supportant quatre forces P,,P2, P3, P, appliquées aux points C,D,E,F.

Soit AG — d la distance polaire.

D'après ce que nous avons vu plus haut les moments dus à la force P., agissant seule, sont représentés par les ordonnées du triangle A'F7//. Les moments dus à la force P., seraient représentés par les ordonnées d'un triangle rectangle qui aurait A'E' pour base et k3 pour hauteur ; mais les ordonnées de ce triangle seraient égales à celles du triangle e'h[h'3 dont le côté h'3h[ est égal au segment h3 et dont l'autre dimension, perpendiculaire à ce côté, a même valeur que A'E'.

Les moments fléchissants dus aux deux forces P3 et P„ sont donc représentés par le contour /t3e'F'A'.

En continuant le même raisonnement on reconnaîtra que les moments fléchissants définitifs ont pour représentative les ordonnées du contour polygonal h[cd'e'F'A.'.

Nous pourrons donc énoncer la règle suivante :

Pour obtenir la représentative des moments fléchissants dans le cas de poutres en corbeau chargées des points isolés, il faut procéder comme il suit :

1° Projeter sur la verticale d'origine les forces appliquées au corbeau.

2° Joindre les extrémités de ces projections au point delà poutre situé à une distance de l'origine égale à la distance polaire d adoptée, puis déterminer les segments compri

Fig 103

entre les droites ainsi menées et les extrémités des forces opposées à la poutre. (Les marquer d'un trait gras.)

3° Porter bout à bout, sur la verticale d'origine, les segments obtenus ci-dessus en commençant toujours par celui qui se rapporte à la force la plus éloignée de l'origine ; c'est en cela que le tracé diffère des tracés donnés pour les poutres posées sur deux appuis.

4° Joindre l'extrémité du premier segment au point d'application de la dernière force sur le corbeau, puis l'extrémité du deuxième segment au point d'intersection du côté précédent avec la ligne d'action de l'avant-dernière force, et ainsi de suite.

Dans le cas où les forces isolées sont très rapprochées, les angles du polygone des moments sont très pou accusés et à la limite, lorsque la charge du corbeau est répartie sur toute sa longueur, le polygone des moments est remplacé par une courbe.

On pourrait obtenir ces représentatives de moments par tout autre tracé de funiculaire, mais celte interprétation de

la méthode de M. Gollignon présente comme principal avantage de donner immédiatement au funiculaire une ligne de base horizontale.

(d) Moments dus à une charge uniformément répartie!

— La représentative sera une parabole tangente à la poutre à son extrémité et recoupant la verticale d'origine à unedis- Pl

tance égale à — ; P étant la charge totale, / la portée du corbeau, d la distance polaire. Nous l'étudieronsplus en détail au chapitre suivant.

200bis. Elastique d'un corbeau. — Nous avons dit (v. n°178)

qu'en considérant le funiculaire des moments eïtiés corn me une surface de charge, c'est-à-dire en assimilant chaque élément de cette surface à une force proportionnelle à son aire, l'ordonnée de l'élastique en un point était égale à la somme des moments par rapport à la verticale de ce point de tous les éléments du funiculaire situés d'un même côté de ce point, ce moment étant augmenté du produit de la pente initiale par la distance du point à l'origine ; on avait la formule

y = v + vc0(x— t).

Ce principe s'appliqueaussi auxpoutresen corbeau avec celte

simplification qu'il n'y a pas lieu de s'inquiéter ici de la déviation initiale oc0, qui est nulle, puisque la poutre est en-