I ILLES DE BARR VGI
É ■lL- x>
d'où
y» = AX0J ce qui conduit au tracé suivant :
1° On reporte X0 de 15 on Ej 2° sur B'E comme diamètre on construit une demi-circonférence ; 3° la longueur BK suivant laquelle elle recoupe AB donne la valeur de y; 4° on reporte BK de B en K' sur la verticale d'extrémité et on tire l'horizontale K'S', ce qui détermine le petit triangle, dont la surface est égale et de signe contraire à X0.
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(PoptéelL--- — (Reienue)ÏL
Fig. 18"
Pour avoir la valeur de Mma.r on prend en G'g' la trisectrice de ce petit triangle; la force représentant sa surface y serait appliquée. On la prolonge jusqu'en V, où elle rencontre le premier côté AD, déjà tracé, du funiculaire, et par suite ce funiculaire sera Au>?B; le côté moyen vn étant horizontal.
Le moment maximum Umn.r a pour valeur g'v et c'est en S qu'il se produit.
(ô)Remarque. — Nous avons admis, dans l'exemple actuel, que la partie non mouillée AC de l'aiguille était environ le cinquième, c'est-à-dire les 0,20 de la partie CB qui est mouillée et qui reçoit par conséquent la charge d'eau. Sur l'épure, nous trouvons que le moment maximum
Umaa est représenté à l'échelle du dessin par une longueur Ss qui est très sensiblement égale aux 0,28 de CB, c'est-à-dire de la hauteur mouillée; // ; un pou plus du quart.
Or le coefficient d'échelle est
savoir -, distance
polaire, multipliée par -, base de réduction; on voit donc que ce moment maximum a sensiblement pour valeui
(c) Charge d'équivalence. — Imaginons une poutre d'une portée fictive h (et non plus 1) reposant sur deux appuis et soumise à une charge d'eau ayant partout une hauteur constante H'; le poids total de cette charge sera
P = hh'
et nous savons (v. n° 204) qu'elle donnerait un moment maxim uni
Vh /i2/t'
*' mur — — — — — •
Egalons les valeurs (1) et (2), il viendra
ce qui nous permet d'établir la règle pratique suivante.
(dj Règle pratique. — Lorsque la partie non mouillée de la portée d'une aiguille est le cinquième (ou à peu près) de la partie mouillée on peut calculer l'aiguille comme une poutre qui, ayant pour portée fictive la longueur mouillée, supporterait une hauteur d'eau partout égale aux 5G centièmes de la hauteur de retenue du barrage.
Nota. — 1° A cause de la faible inclinaison des aiguilles, on peut confondre la hauteur de retenue avec la longueur de la partie mouillée.
2° On fera bien, alors, de forcer un peu le chiffre et de prendre pour hauteur fictive de la charge d'eau uniforme h! = 0,60/î.
(e) Application de cette règle. — Morne énoncé qu'au n° 211.
La longueur mouillée étant 2m,50, assimilons l'ensemble de plusieurs aiguilles à une planche qui aurait lm de largeur et une épaisseur b (fig. 187-11).
La règle pratique nous donne pour la charge d'eau
P = 2,50 X (0,6 X 2,50) = 3750k et pour moment maximum fictif
1172km.
Nous avions trouvé plus haut (v. 2il-c) 1200km en opérant sur notre épure. La différence est de l'ordre des erreurs graphiques possibles.
CAS USUELS DES POUTRES A UNE TRAVÉE
7) Solution algébrique. — Traitons la même question par le calcul.
Soit h la hauteur mouillée CB (fig. 187), et soit m le rapport de la longueur non mouillée AC, à la longueur mouillée, on aura AC = mh, et la longueur de l'aiguille sera (m -+- l h.
Le centre de gravité G du triangle de pression, CBB', est à une distance 1/3 h de l'extrémité B. Son poids est 1 /2/i2 et ses deux réactions sur les appuis sont :
* ' '°^i!X (wt + l)A 6(wi + i)A — 6(m + 1)'
2 *° "6 x T^TT'
Prenons pour origine des abscisses le point C et soit x l'abscisse d'une section quelconque S.
L'effort tranchant T pour cette section sera la somme de la réaction X0 et de l'aire Q' du triangle partiel CSS'. Cette aire Li' a pour expression G' = lj2x2, on aura donc l'équation
le second membre doit s'annuler pour l'abscisse x du point S ce qui donne :
Le moment maximum sera égal à la somme algébrique du moment de X0 et du moment de £i' par rapport au point S.
limas = X0 (m/j H- ar) — —• o
Faisons, selon nos conventions, m = 0,20 et calculons Mmax ; les éléments du calcul sont :
x' = 6T^rT)=7|o = 0'14*'-
x = v/2X7 = hJÛffi = 0,529/*.
Mm«x = A3 (0,7290 — 0,0246)= 0,7044/«3.
Quelle serait la hauteur d'eau k' constante qui, appliquée sur l'aiguille en supposant la portée fictive de celle-ci égale à h, donnerait le même moment maximum ?
La charge totale P' que donnerait cette hauteur d'eau h' serait
P' = hh'
et le moment maximum M'max serait (v. n° 204) En l'égalant au précédent on a l'équation
Nous arrivons au même résulat que ci-dessus.
d'où
Problème de la poutre surchargée
214. Surcharge unique concentrée en un point. — (a) Enoncé du problème. — Une poutre soumise à une charge totale P, uniformément répartie, reçoit, en outre, en un de ses points C une charge concentrée P' (fig. 188); on dit alors que la poutre subit une charge mixte. Etudier les modifications apportées par cette charge aux moments fléchissants , aux efforts tranchants, et, par conséquent, aux conditions de résistance de la pièce.
Les données algébriques seront :
/ portée de la poutre ;
P charge totale uniformément répartie ;
P' surcharge concentrée au point C ;
K rapport CB : OB de la distance à laquelle la surcharge est appliquée à la demi-portée 1/2 Z ;
m rapport P' : P de la surcharge à la charge.
Sur la fi». 188. On aura donc
