Plancher à éléments modulés. — (a) Données
On peut s'imposer, avec assez de vraisemblance, les condititions suivantes :
(a) Tous les bois (solives ou poutres) seront débités à équarrissage modulé, c'est-à-dire que Ton aura
a = U, a' = W, A = AB, X étant un module fixe.
Si, par exemple, le module était celui de l'équarrissage normal on aurait
(b) Les intervalles 8 et 3' d'axe en axe des solives seront une fraction donnée, toujours la même, de leur portée; on aura par exemple :
S = -L pour les solives de mur à mur, et n
3' = —/ pour les solives de poutre à poutre, n
Il conviendra, / étant plus petit que L, de prendre n' plus petit que n afin que les largeurs d'entrevous restent toujours comprises entre 0m,17 et 0m,40 (v. n° 218-6).
On demande quel sera le rapport x = l : L pour lequel il sera équivalent d'employer un quelconque des deux systèmes.
[b) Équation du problème. — Calculons les expressions L2 L2 l2
b' j et r
qui entrent dans l'équation d'équivalence (A). La formule du poutrage (v. n° 231-6),
QL2Z = 800000AB2 nous donne, en faisant : A = XB,
m = 8 0O000XB1>
d'où Ton tire en posant pour simplifier
^OOOOOX
b ~ ym'
et par suite
= s\/t = slVt
La formule du solivage (v.n°22o-a), appliquée aux solives de mur à mur,
donne, en faisant a = Ib, et 3 = - L,
- = SL Vn b
La même formule, appliquée au solivage de poutre à
poutre, donne en faisant o' = — l
(3) l = MVn'.
Substituons ces valeurs dans l'équation d'équivalence, elle devient, en supprimant le facteur commun S :
Divisons les deux membres par L et posons
Cette relation devient :
Telle est l'équation du problème.
(c) Abaque n° 4. — Nous résoudrons graphiquement cette équation en construisant un abaque applicable pour toutes les valeurs de n et de n'.
Posons les deux équations.
(a) */ = 'ï/n et
L'équation (a) représente une série de droites parallèles à l'axe des x dont les hauteurs sont données par les valeurs de sfn .
3 II
L'équation (b) représente la courbe fixe y — \J — ■>
ajoutée analytiquement à la droite variable y = xtyn'.
Cette droite est asymptote à la courbe (b), laquelle est, ce que l'on nomme, une hyperbole du 4° degré.
La table des nombres donnée à la fin de l'ouvrage a permis de calculer très rapidement autant d'ordonnées que Ton a voulu de la courbe (b).
L'abaque n° 4 représente les courbes {b) et les horizontales (a) dans les limites où elles seront utilisables.
L'axe des x est gradué par dixièmes, car le rapport inconnu / : L sera toujours plus petit que l'unité.
On entre dans l'abaque par les nombres n et n'.
n, c'est-à-dire le nombre de fois que l'intervalle 3 des solives de mur à mur sera compris dans la portée L du plancher, répond aux horizontales ;
n', c'est-à-dire le nombre de fois que l'intervalle 3' des solives de poutre à poutre sera compris dans la distance / d'axe en axe des poutres, répond aux hyperboles.
Les abscisses des points de croisement donnent les rapports d'équivalence x = 1 : L.
Le lieu des points les plus bas m, m... de toutes les hyperboles est une courbe qui a pour équation
PLANCHERS EN BOIS A TRAVURES COMPOSÉES
Nous l'avons construite en calculant ses ordonnées (lj et nous l'avons tracée en pointillé sur l'abaque.
Servant à la résolution du problème de l'équivalence économique d'un plancher à travures simples et d'un plancher, de même portée, a Iravurcs composées.
(1) Eo effet, une quelconque des hyperboles a pour équation, en adoptant la notation par exposants négatifs et fractionnaires,
(!) y = xyn-\- x~~ ■
La dérivée de ij égalée à zéro donne
qui s'écrit
(rf) Application. — Une salle de 7m,50 de portée présente sur ses murs principaux des fenêtres (et, par conséquent, des trumeaux) espacées de 4m,20 d'axe en axe.
On demande s'il faut adopter le système par travures composées.
On a : L == 7,50 et / = 4,20.
Adoptons n = 16, cela nous donnera pour l'intervalle 2 des solives sur murs
o = 7,50 : 16 = 0m,468, ce qui? sera raisonnable pour la construction des augets, et faisons n' = 10, ce qui donnera pour l'intervalle 8' des solives sur poutre
Sur l'abaque l'hyperbole n' = 10 recoupe 1 horizontale n° 16 en un point dont l'abscisse est 0,63 environ. Or dans l'exemple choisi on a :
Le point de l'horizontale n° 16 qui a pour abscisse0,56 est situé au-dessus du point de même abscisse de l'hyperbole n° 10, et comme ce sont les ordonnées des hyperboles qui sont proportionnelles aux volumes des bois dans le système à travures composées, tandis que les ordonnées des horizontales le sont au volume des bois de la travure simple, nous adopterons le système avec poutres.
238. Solution la plus économique pour un plancher en bois à éléments modulés. — (a) Données. — Étant donné une salle de largeur L et étant admis que l'on peut placer des poutres aux points des murs que l'on voudra, on demande quel sera l'intervalle / qu'il faudra choisir, d'axe en axe des poutres, pour employer le cube de bois minimum.
(b) Solution théorique. — L'abaque n° 4 nous montre que, théoriquement du moins, pour une valeur donnée de n', le rapport !:L à adopter pour réaliser le minimum de dépense est donné par l'abscisse du point le plus bas m de l'hyperbole répondant à ce rapport n'.
Nous serions donc conduits à prendre le plus bas de ces points m, c'est-à-dire à adopter le plus petit nombre possible pour n'.
sr i .vr
d'où
Cette équation (2) donnerait l'abscisse x, du point le plus bas de cclln îles hyperboles qui répond au paramètre n ; cette abscisse #| est
v Tin
Entre les équations (1) et (2) éliminons n, nous obtenons
qui est l'équation du lieu des points les plus bas.
CHOIX DU SYSTÈME A ADOPTER
Mais, pratiquement, une très petite valeur de n' répondrait à un très grand intervalle S' et par conséquent à un trop large entrevous pour les solives sur poutres; on est donc obligé de tenir compte de ce fait que l'intervalle S' doit être compris entre 0m,25 et 0m,50.
(c) Tableau numérique des volumes minima. — Le tableau numérique ci-dessous fait connaître, dans la colonne n° 2, les abscisses xt = l : L des points les plus bas des
hyperboles de l'abaque. Il donne, sur une même ligne horizontale, pour des intervalles 8' variant de 0,25 à 0,50, les valeurs de / (on a l = n'Z'), et aussi les valeurs de L qui, pour le minimum de dépense de bois, se correspondraient l'une l'autre. On a :
no'
On se servira de ce tableau, comme suit :
Tableau
servant au calcul des volumes de bois minima pour les Planchers à travures composées
ri
lu
Exemple : Etant donné une salle de 8m,25 de portée , on demande quel sera, pour employer le minimum de volume de bois, la distance / à donner aux poutres. On admet que les solives sur poutres seront placées à des distances 3', d'axe en axe, qui seront égales à 0m,30.
Dans la double colonne 8' = 0,30, on trouve que la portée donnée L = 8,25 est comprise entre les nombres 7,83 et 9,24- (différence 1,41), auxquels répondent pour / les valeurs 2m,10 et 2m,40 (différence 0,30), et pour n' les valeurs 7 et 8.
En interpolant comme à l'ordinaire, c'est-à-dire en posant
z = (8,25 on aura donc :
