Méthode approchée de répartition des tôles de semelles

257. Principe de la méthode. — Soit (fig. 226) une poutre pour laquelle nous avons construit en ADB, par un des procédés indiqués précédemment, la représentative des moments fléchissants.

Déterminons la valeur du moment de résistance I : v

de cette poutre en la supposant réduite à son corps, c'est-àdire à l'âme et aux quatre cornières comme l'indique la fig. 223-A; nous aurons ainsi le I : v minimum. D'autre part, la formule d'équarrissage appliquée au moment fléchissant maximum D nous fera connaître quel devrait être

MÉTHODE APPROCHÉE DE RÉPARTITION DES TOLES DE SEMELLE

le I : v maximum ; alors deux cas vont se présenter.

lerCas. — Le- (min.) sera égal ou supérieur au ï(max.),

alors la poutre réduite à son corps dans toute son étendue sera partout assez résistante.

2e Cas.— Le - (min.) est plus petit que - (max.) : dans ce v v

cas il faudra ajouter des semelles d'épaisseur croissante.

L'épaisseur maxima e de la semelle qu'il faudra ajouter

à la section minima, c'est-à-dire au corps de poutre, pour avoir la section maxima dépendra de sa largeur et, si la largeur a de la semelle est déterminée, l'épaisseur e nous sera donnée par la formule approchée :

aeb = ï (max.) — - (min.1

La valeur de e étant ainsi connue le problème de la répartition des tôles pourra se traiter de la manière suivante :

1° Menons à la représentative des moments fléchissants, fig. 22fe, une tangente horizontale et, sur une transversale quelconque EG, portons deux longueurs EF et EG proportionnelles aux valeurs numériques de - (min)etde - (max.)

Par exemple si l'on avait trouvé

1 (max.) = 0,004207 333 et - (min.) = 0,001 783 305, v v

on pourrait prendre, en négligeant des décimales EG — 420mm et EF = 178n,"\

2° Reportons proportionnellement, au moyen de parallèles, sur la verticale du point E, cette division en EF'G. La hauteur F'G' nous représentera, à une certaine échelle, l'épaisseur maxima e des semelles à ajouter. Pour fixer les idées supposons que nous ayons trouvé par l'équation (1) e = 32mm.

Nous pouvons alors convenir de procéder par additions successives de tôles d'épaisseur connue, par exemple, 8"im ; nous serons conduits dans ce cas à ajouter 4 épaisseurs de tôle. On prend, bien entendu, pour épaisseur commune des

tôles, un sous-multiple del'épaisseur maxima, e, de semelle.

Dès lors, divisons F'G' en 4 parties égales et menons par les points de division des parallèles à AB ; les points m, m', m", m'" où ces parallèles rencontreront la représentative des moments nous donneront, à l'échelle des longueurs, les abscisses des points M, M', M" où les épaisseurs doivent changer.

Nota. — Au lieu de laisser les extrémités de la pièce réduite au corps de la poutre, il sera peut-être préférable de prolonger la première semelle d'un bout à l'autre de la poutre, mais ce n'est pas indispensable.

258. Application à une poutre de magasin (fig. 227). - (a) Données. — Un magasin situé au 1er étage est contigu à une galerie, établie en porte à faux, sur 2m,75 de portée hors mur.

Cette galerie, ou balcon, doit servir à la circulation, sur rails, d'un chariot destiné aux manutentions et pouvant peser 1000kpar essieu, c'est-à-dire 500k par chaque roue d'essieu ; elle est couverte par un appentis dont le poids propre peut atteindre, avec une surcharge de neige, 200k par mètre carré de surface couverte.

Le plancher du magasin doit pouvoir supporter une charge maxima de H00k par mètre carré (poids mort,

Fis. 227

3S0k; poids utile, 750"). Il est construit sur des poutres espacées de 4m. Ces poutres posées, d'un côté, sur l'un des murs

POUTRES D'ÉGALE RÉSISTANCE, EN TOLE

traversent l'autre et forment corbeau de 2m,75 de saillie hors mur, soit 3m à partir de l'axe du mur.

On demande de calculer les dimensions à donner à ces poutres.

Nous traiterons la question par la statique graphique (flg. 2-28).

{b) Choix des échelles. — Pour les longueurs nous adopterons l'échelle de 16mm,5 par mètre, afin d'obtenir une épure d'une grandeur convenable. Pour les forces nous prendrons 10mm pour représenter 1 000k. Enfin l'échelle des moments est une conséquence des deux précédentes : je dis qu'elle sera 3,625 fois plus petite que l'échelle des forces.

En effet, nous savons que les ordonnées du funiculaire, mesurées à l'échelle des forces, doivent être multipliées par la distance polaire adoptée lorsqu'on veut obtenir la valeur des moments correspondants. Si, opérant par la méthode Gollignon, nous convenons de prendre pour distance polaire la demi-portée AB, soit 7,25 : 2 = 3m,625, nous voyons qu'une ordonnéede 10mm : 3,625 qui, à l'échelle des forces, représente 1000k : 3,625, correspondra à un moment de

.JlS X 3<623 = 100°kœ- C.Q.F.D.

3,bzo

Ces trois échelles étant tracées, nous commençons la discussion du problème.

(c) Détermination et condition des charges. — Le tronçon AB sera dans les conditions d'une poutre uniformément chargée de 7m,25 de portée, la charge totale étant :

Au-dessus de l'appui B la poutre sera considérée comme encastrée par suite de sa continuité.

De B en C elle supporte les efforts suivants : 1° une charge uniformément répartie due au poids du plancher (350* par mètre carré), ce qui donne pour toute la longueur du corbeau

2° De plus, l'appentis dont le poids peut être de

charge également le mur et l'extrémité de la poutre. Celleci en reçoit donc la moitié en C, soit une charge concentrée de 1 100k.

3° Enfin, la charge roulante peut développer sur chaque rail de la voie, dont l'écartement est lm,00, un effort de 500k.

Le premier rail est à lm,00 de l'appui, le deuxième est à 2m,00.

(d) Epure. — Cherchons séparément, pour chaque tronçon, la représentative des moments fléchissants.

1° Grande travée. — Sur la travée AB, ce sera une parabole tracée par la méthode Collignon, c'est-à-dire avec une distance polaire

L'ordonnée maxima de cette parabole est mesurée à l'échelle des forces (v. n° 51) par

— soit

Traçons cette parabole ADB (fig. 228) en traits pointillés. Elle représente les moments fléchissants d'une poutre qui serait simplement appuyée en A et en B.

2° Partie en encorbellement. — Nous avons tracé en traits pointillés la représentative des moments dus à la charge uniformément répartie sur le corbeau. Nous avons vu (n° 209) que cette représentative est une parabole (biC, flg. II) tangente, en son sommet C, à l'extrémité du corbeau; il nous suffit donc, pour tracer cette courbe, d'en déterminer un point, par exemple le point b, qui correspond à l'appui, ainsi que la tangente en ce point. Nous avons obtenu la tangente cherchée en construisant, par la méthode indiquée au n° 200, un funiculaire sur une force concentrée au"milieu du corbeau et qui aurait même valeur que la charge uniformément répartie (4200 k ). Rappelons le tracé :

On a pris (fig. II) BO égale à la distance polaire 1/2 AB ; la force P a été projetée en BP' sur la verticale du point B; on a joint OP', ce qui a donné un segment extérieur marqué en trait fort sur la force P. Ce segment a été reporté de B en bi. Enfin bt a été joint au pied P de la force P, ce qui a donné la tangente ôiP à la parabole.

En ce qui concerne les forces agissant à l'extrémité du corbeau et suivant les verticales des rails, nous en avons tracé (fig. III) le funiculaire en lignes pleines au-dessus du précédent afin d'éviter la confusion dans notre épure (pour le tracé, v. n° 200-6).

Tous ces funiculaires sont établis en prenant pour distance polaire

Le funiculaire définitif des charges qui agissent sur le corbeau s'obtiendra en ajoutant analytiquement les ordonnées des funiculaires partiels.

Dans la fig. II, cette représentative èFEC est une succession de trois arcs de parabole ; les moments fléchissants développés par les charges dans le corbeau sont négatifs. Le maximum de ces moments correspond à l'appui B et il a pour valeur 11 100 km.

On a : Bb=Bbl + B'b[ (de la fig. III).

(e) Représentative des moments. — Joignons Ab par une droite et, ainsi que nous l'avons déjà fait, descendons la parabole ADB de la fig. I, de manière que ses extrémités viennent en A et en b ; nous aurons en AG6C la représentative définitive des moments dans toute la poutre.

Remarque. — On voit que l'encorbellement extérieur a

MÉTHODE APPROCHÉE DE RÉPARTITION DES TOLES DE SEMELLES

amélioré la poutre ; cet effet aurait été plus sensible encore si le corbeau avait été chargé davantage.

Néanmoins, prenons la poutre telle qu'elle est et calculons maintenant les éléments de sa construction.

259. Construction de la poutre. — {a) Moment maximum. — Le moment maximum est donné par l'ordonnée positive Gg qui, mesurée à l'échelle des moments, nous donne 23300 km.

En appliquant à ce nombre l'équation d'équarrissage dans laquelle nous prendrons, pour résistance de sécurité, R = 6000000, on obtient :

Tel sera le I : v (max.) de la poutre .

(b) Corps de poutre ; son moment de résistance. —

Comme nous avons une certaine latitude pour constituer le corps de la poutre, nous prendrons sa hauteur égale à

0m,50 (1), nous . adopterons 10mm pour l'épaisseur de l'âme et

nous formerons les tables au moyen de cornières de

80'™ X 80mra

(flg. 229).

En appliquant au corps de la poutre ainsi composé la formule

I nlr' — a'IP-g'ir v ~ 66 dans laquelle on a fait

(1) Dans la eonslructiou des pouls on prend généralemeut des hauteurs de poutres comprises entre le 1/8 elle I/12de la portée. Pour les autres constructions civiles on peut .adopter la formule h'= 0m,20 -f- 0,03/, dans laquelle /i désigne la hauteur de la poutre et l sa portée.

POUTRES D'ÉGALE RÉSISTANCE, EN TOLE

il vient pour le L: v du corps de poutre :

Nota. — Les cubes des nombres b, b', b",... se calculent •facilement à l'aide de la table des nombres qui se trouve à la fin du volume.

JJL.

'io

Fiji. 229

-Corn.

Ame 5oo

.Corn fpygo

— Ainsi : le moment de résistance -(max.) = 0,003883333.

(min.) = 0,001660346.

la différence -, == 0,002222987.

s'obtiendra par l'adjonction de semelles. Pour ces semelles, nous sommes maîtres de leur donner telle largeur que nous voudrons ; cependant elle ne doit pas être inférieure à 170mm; prenons cette largeur égale à 200mm; nous allons en déduire l'épaisseur maxima e des semelles en appliquant la formule approchée

— — abe

Remplaçons dans cette équation

-, par 0,002222987

a par 0,20, b par 0,50 et remarquons qu'il faut prendre pour unité le mètre, sous peine d'avoir des erreurs dans la position de la virgule, il viendra, en effectuant les calculs, e = 0m,022 229 87.

[d) Répartition des tôles. — Supposons que l'épaisseur des tôles qui constitueront les semelles soit de 8mm ; nous voyons que pour obtenir une surépaisseur de 0m,02223, il nous faudra 3 tôles de 8mm formant en tout 24mm, c'est-àdire un peu plus que les 22mm,23... qui sont demandés.

Remarquons aussi, qu'au point de vue de la résistance, il importe peu que les moments fléchissants soient négatifs ou positifs ; leurs valeurs absolues sont seules à considérer. Dès lors nous prendrons en Kb2C (flg. 228-11) le symétrique de la partie négative de la courbe des moments et nous n'aurons plus à considérer, pour répartir les tôles, que des moments tous positifs.

Ceci posé : inscrivons en XZ (tig. 228-1) entre la base AB et la tangente horizontale à la parabole, une longueur représentant, à une échelle quelconque, le I : v (max.).

Prenons ensuite, à la même échelle, et sur la même droite, en XZ' une longueur égale au I : v (min.).

Pour l'exemple actuel les I : u maximum et minimum étaient proportionnels aux nombres 38.83 et 16,60, tandis que leur différence l'était à 22,23; c'est pourquoi, doublant ces nombres, nous avons pris immédiatement, avec le décimètre divisé :

XZ = 77mm,6 XZ" = 33mm,2 et ZZ' = 44,4.

En menant ensuite par le point Z' une droite horizontale, YY', celle-ci sera distante de la tangente à la parabole d'une longueur qui doit être proportionnelle à 22mm,23, c'està-dire à l'épaisseur maxima, e, des semelles.

Dès lors nous nous posons la question suivante :

Sur l'épure une épaisseur théorique de semelle e — 22mm,23 est représentée par la longueur ZZ' = 44,4 (qui en est ici le double); par quelle longueur Z'Z" une épaisseur réelle de 24mm, répondant à trois tôles de 8mm chacune, sera-t-elle représentée? C'est une règle de trois et l'on aura : Z'Z" ZZ'

. = , d'où en faisant ZZ' = 44,4

Z'Z" = 48mm.

On peut opérer graphiquement sans faire de calcul en se servant du décimètre divisé comme suit :

1° Entre l'horizontale GZ, qui estla tangente à la ligne des moments, et l'horizontale YY' trouvée ci-dessus, on place le décimètre en biais jusqu'à pouvoir inscrire soit la longueur 22,23 (qui est l'épaisseur e de semelle), soit un multiple de cette longueur ; ici l'inscription faite en Z'Z a donné le double de 22,23, soit 44,4.

2° Sans changer de place le décimètre on yporte de Z' en Z" le même multiple de l'épaisseur maxima réelle des semelles : ici cette épaisseur réelle était 24 = 3 X 8 ; nous avons donc pris Z'Z" = 2 X 24 = 48mm.

Bref, le point Z" une fois obtenu on mène, par lui, une horizontale UU'.

Cette droite UU' représentera le dessus de la semelle supérieure et l'intervalle UU' — YY' divisé en 3 parties égales nous représentera les points de séparation des semelles que nous devrons ajouter au corps de la poutre.

Nous ferons régner la semelle n° 1 sur toute la longueur de la poutre ; la semelle n° 2, qui n'est utile que jusqu'aux points où elle coupe la parabole des moments, aura

MÉTHODE APPROCHÉE DE RÉPARTITION DES TOLES DE SEMELLES

3m,93 de longueur. Enfin la semelle n° 3 s'étendra sur une longueur de 2m,60.

Nous avons couvert de hachures, sur la flg. 228, les extrémités des semelles extérieures à la courbe des moments fléchissants.

260. Efforts tranchants. — (a) Préliminaires. — Afin d'étudier complètement la poutre qui nous occupe, nous

allons examiner les efforts tranchants aux différents points de sa longueur et nous rendre compte des réactions développées par les murs afin d'en déduire, au besoin, l'épaisseur à donner à ces murs.

L'effort tranchant en un point est, ainsi que nous l'avons vu, la résultante de translation, en ce point, de toutes les forces appliquées à la poutre et situées d'un même côté de la section considérée. Nous avons dit également que l'effort

XK15950

tm o I i i i . i . . i i f=

Echelle des forces 1 1

Fig. 2:iO

tranchant était représenté par la pente vraie des côtés du funiculaire des charges.

(b) Echelles. — Afin d'avoir une épure qui ne sorte pas du cadre nous avons adopté pour les longueurs la même

POUTRES D'ÉGALE» RÉSISTANCE, EN TOLE

échelle que pour la figure 228 ; mais pour les forces nous avons pris une échelle moitié plus petite, c'est-à-dire de 0m,00o pour 1000k.

(c) Grande travée. — Si, dans la grande travée AB, la poutre était libre sur ses appuis, la représentative des efforts tranchants (v. n° 49 et 50) serait la droite oblique XT (fig. 230), tracée dételle sorte quel'on ait: AX = 15950 = — BT, (15950 est, ici, la moitié de la charge totale : 31 900") ; mais le corbeau extérieur, en développant un encastrement sur l'appui B, a fait descendre la parabole primitive ADB des moments fléchissants (lig. 228), dans la position AGb, ce qui veut dire que les pentes de la parabole primitive ont toutes été diminuées d'une quantité constante qui est la pente vraie de la droite AB, cette dernière étant considérée comme la représentative des moments dus à l'encastrement en B ; évaluons cette pente.

Sur la fig. 228, en mesurant à l'échelle des forces la verticale milieu OO' de l'oblique Ab, on trouve 00' = 1 530k; je dis que 1 530k est précisément la pente vraie de la ligne Ab, c'.est-à-dire 'que 1530k est la quantité dont il faut descendre, parallèlement à elle-même, la représentative XT (fig. 230) des efforts tranchants primitifs pour avoir, en X'T', la représentative définitive.

En effet le moment fléchissant que représente 00' delà fig. 228 s'obtient en multipliant 00', mesurée à l'échelle des forces (ici, 1 530k) par la distance polaire (ici, 1/2 l) ; pour avoir la pente vraie il faut diviser de nouveau 00' par AO, c'est-à-dire par 1/2/, ce qui détruira le facteur 1/2 / et reproduira 1 530k. C.Q F.D.

Nota. — C'est à titre d'exercice que nous avons fait cette démonstration ; nous aurions pu la supprimer en nous reportant au n° 47.

Finalement, l'effort tranchant, pour la grande travée, est représenté par la droite inclinée XT'. Comme réactions cette grande travée donne lieu en A à une réaction

Sur l'appui B elle fournit une réaction

(rf) Corbeau. — Du côté du corbeau l'effort tranchant sur l'appui B est la somme des charges appliquées au corbeau, savoir :

Au point B l'effort tranchant passe donc brusquement de — 17 480kà + 0 300k.

Si le corbeau ne supportait que la charge uniformément répartie de 4 200k en prenant Bb (fig. 230) égal à 4 200k, et en joignant bc on aurait en bc la représentative des efforts tranchants dus à cette charge uniforme. Mais il faut commencer par la remonter parallèlement à elle-même jusqu'au point b' où elle atteint les 6 300k ci-dessus ; en ff au droit

du premier rail elle s'abaisse de 500k, en ee', au droit du second essieu, elle s'abaisse encore de 500k et elle doit arriver en Ce' à avoir pour ordonnée 1 100k, poids de la moitié de l'appentis.

La représentative définitive des efforts tranchants sur le corbeau sera donc formée par une série de trois droites b'f'e'c' parallèles à bC dont les distances à cette dernière, mesurées normalement à BC, diminuent brusquement au point d'application de chaque force concentrée, de toute la valeur de cette force.

(e) Résistance au cisaillement. — Au point de vue du cisaillement, la partie dangereuse de la poutre est voisine de B puisque l'effort tranchant y atteint 17480k.

On admet, en général, que l'âme seule doit résister au cisaillement. Si l'on adopte pour résistance S de sécurité au cisaillement (voir n° 154-6)

S = 0,8 R = 0,8 X 0,6k = 4^,8 , la section de l'âme de notre poutre devra être supérieure à 17480

-r— - = 3642mm-.

Or, la section que nous avons admise a comme surface 500 X 10 = 5 000mm2 ; elle est donc très suffisamment résistante.

(/) Réaction des appuis. — Sur l'appui A la réaction est égale à

Sur l'appui B la réaction est

15 950 + 1 530 + 6 300 = 23 780, c'est-à-dire près du double de la première ; le mur le plus fatigué sera donc le mur B qui supportera de la part de la poutre une charge de 23 780k.

Pour qu'il ne s'écrase pas sous ce poids, ajouté d'ailleurs

Fig. 231

à celui des étages supérieurs, on placera sous la poutre un sommier formé, soit d'une pierre dure soit d'une plaque de fonte dont le but est de répartir la pression sur une large étendue de surface ; on ménagera dans ce sommier des logements pour les têtes de rivets et, même, on placera entre

MÉTHODE EXACTE DE RÉPARTITION DES TOLES DE SEMELLES

la poutre et le sommier une feuille de plomb épaisse formant matelas.

Au-dessous du sommier, il sera bon de prévoir une chaîne en pierres de taille (Cg. 231), dont les dimensions horizon-

tales soient suffisantes pour que la pression par centimètre carré vers les fondations soit compatible avec la résistance de la pierre employée ; ce dernier problème sera d'ailleurs étudié dans une autre partie du cours.

% 3. — MÉTHODE EXACTE DE RÉPARTITION DES TOLES DE SEMELLES

261. Équation fondamentale du problème. — (a) Équation du 3° degré. — Le moyen que nous avons indiqué et appliqué à l'exemple précédent pour répartir les tôles de semellesdanslespoutres composéesn'est pas rigoureusement exact, parce que nous avons pris pour déterminer l'épaisseur maxima e des semelles une valeur approchée du moment de

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