Résolution graphique de l'équation du 3e degré
L'abaque n° 6 (fig. 233), construit d'après la méthode imaginée par M. M. d'Ocagne (1), Ingénieur des ponts et chaus-
(1) Nomographie, calculs usuels effectués au moyen des abaques, par M. d'Ocagne. — Gaulhiur-Villars et fils, éditeurs.
STAB. 25
POUTRES D'EGALE RESISTANCE, EN TOLE
ABAQUE No 6 résolvant l'équation du troisième degré
x3 =px + q.
sées, donne à un millimètre près les valeurs de b, tisfont à l'équation (2).
En posant dans cette équation
aR
qui sa-
et
cette équation se met sous la forme (2') //:! -pb + q.
Cet abaque se compose de deux axes gradués, parallèles entre eux, AA' et BB (fig. 233 bis) et de deux lignes courbes graduées que nous nommerons, avecM. Lalanne, des solutives.
Sur le premier axe, on prend, de A en a, la longueur p, ce qui donne un point a; sur le second axe on prend de Ben b, la longueur q, ce qui donne un second point /; ; on joint a et b par une droite qui rencontre la solutive (celle de droite ou celle de gauche, suivant les cas), en un point dont il suffit de lire le numéro de graduation pour avoir la racine cherchée.
1er Nota. — Afin de ne pas dessiner de lignes sur l'abaque, ce qui le mettrait vite hors de service, on se sert d'une bande de papier transparent sur laquelle on a tracé, à l'encre de Chine, une ligne droite aussi fine que possible ; c'est cette
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Fis?. 233 bis
ligne que l'on fait passer par les points a et b, et on lit au travers du papier le nombre correspondant de la sohaive.
1" Exemple. — Soit à résoudre l'équation b3 = 0,2256 + 0,071.
C'est la solutive de gauche qui servira parce que le terme q = 0,071 est plus petit que 0,1.
Dans ce cas, les nombres inscrits sur l'axe de droite BB', doivent avoir la virgule reculée de un rang vers la gau-
MÉTHODE EXACTE DE RÉPARTITION DES TOLES DE SEMELLES
che ; autrement dit, au lieu de lire 0,20, 0,30, etc., comme cela est écrit, on lira : 0,020, 0,030, etc. Dès lors, le trait sur transparent appliqué à gauche au point p — 0,225 et à droite au point q = 0,071 recoupe la solutive gauche au point marqué 6 = 0,587; c'est la racine de l'équation donnée (faire l'expérience sur l'abaque).
2* Exemple. — Soit à résoudre l'équation 63 =0,1776 + 0,952.
On se sert de la solutive de droite et on lit les nombres de l'axe BB' tels qu'ils sont écrits : dès lors en faisant passer le trait sur transparent par les points p = 0,177 et q = 0,052, ce trait rencontre la solutive de droite au point 6 = 1,044, ce qui donne la racine cherchée.
2° Nota. — Cet abaque ne permet de résoudre directement que les équations du 3e degré pour lesquelles la racine b est inférieure à 1,18 et pour lesquelles on a, au maximum, p<0,45 et ? < 1,12.
Si la racine devait être supérieure à 1,18. alors on poserait :
b' - -, d'où b = 1b' \
En remplaçant dans l'équation (2)
6 3 = pb-h q, elle devient après simplification
Remarquer que 4 = 22 et que 8 = 23. On résoudra cette équation, et l'on doublera sa racine pour avoir b.
Exemple. — Soit à résoudre l'équation b" = 1,2 6+4,32 ; prenons le quart de 1,2 et le huitième de 4,32, on obtient la nouvelle équation
b'3 = 0,36' +0,54 dont la racine trouvée avec l'abaque est
On doublera, ce qui donnera
Pour des coefficients p et q encore plus grands on poserait b — 36', ce qui reviendrait à écrire une nouvelle équation en b' dans laquelle p serait divisé par 33, c'est-àdire par 9, et q le serait par 33, c'est-à-dire par 27.
On chercherait la racine de cette équation en 6' et, en la triplant, on aurait la racine de l'équation donnée.
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10OOK SOOOK 3000* ioOOK 6000X 6000* 7000K SOOO/e SOpo* 10000*
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Fis. 234
263. Application à la poutre du n° 258. — Proposonsnous de déterminer par la méthode exacte quelle devra être la répartition des tôles dans la poutre que nous avons étudiée au n° 258. Reprenons la représentative des moments telle que nous l'avons obtenue (fig. 228) ; nous avons vu que
le moment fléchissant maximum avait pour valeur 23300km. Si nous désignons par 6' la hauteur totale, encore inconnue,
de la poutre, nous pourrons écrire, puisque a — 0,20,
I 0,20 X b'3— 0,03 XÔJ5Ô3— 0,14 XM83 — 0,02 X 0,343
FIGURES SOLIDES, D'EGALE RÉSISTANCE
ou bien, en effectuant les calculs
Introduisons cette valeur dans la formule d'équarrissage, il viendra
ou bien en ordonnant par rapport à b' et remarquant que
M = 23300 et R = 6000000
ou encore, en effectuant les calculs :
On se sert de l'abaque et on utilise la solutive de gauche. En faisant passer le trait sur transparent par le point p = 0,1165 et q — 0,1001, on le voit recouper la solutive de gauche au point V — 0,548.
Telle est la hauteur maxima b' à donner à la poutre.
La hauteur, b, du corps de poutre (v. fig. 229) était b = 0,500 ; la différence est donc
b' — b - 0,548 — 0,500 = 0,048mm,
ce qui représente 6 feuilles de tôle de chacune 8mmd'épais-
seur, savoir 3 sur chaque semelle. Les hauteurs partielles seront donc :
(1" tôle) by = 0,500 + 0,016 = 0,516,
(2° tôle) b2 - 0,500 + 0,032 = 0,532.
Dans l'équation (1) d'équarrissage substituons ces valeurs de by. et de b.2, nous en déduisons pour les moments, en faisant R = 6000000k,
(lrUôle) Mt = 14455K
(2e tôle) M2 = 18975km.
Quant au moment M0, que pourra supporter le corps de poutre seul, il se trouvera soit en faisant dans la formule (1) : b' — 0,50, soit encore en prenant (n° 259-6) le I : v du corps de poutre, lequel a été trouvé égal à 0,001660346, et appliquante formule
d'où
M = rx-;
ce qui donne , d'une manière ou de l'autre M0 = 9962km.
En menant (ûg. 344) des parallèles à la droite des appuis distantes de celle-ci de longueurs égales à Mi et M2, mesurées à l'échelle des moments, on coupera la parabole des moments fléchissants en des points 1-1, 2-2, qui correspondent précisément aux changements d'épaisseur des tables.
2e SECTION
Figures solides, d'égale résistance
| 4. — Corbeaux d'égale résistance
264. Généralités. — Nous avons dit, d'une façon générale, qu'on entend par solide d'égale résistance celui dans lequel la fibre la plus fatiguée, dans chaque section, travaille à un même effort unitaire qui, le plus souvent, est égal à la résistance de sécurité ; une pièce est dite d'égale résistance lorsque la tension unitaire maxima est la même dans toutes les sections.
L'équation qui exprime cette qualité de résistance dans le cas de la flexion est
I M v ~ lî'
à condition d'y faire R constant. C'est l'équation d'équarrissage ; elle montre que la forme géométrique de la pièce doit être telle que le terme 1 : v7 qui en est la conséquence, soit, pour chaque section, proportionnel au moment fléchissant; par conséquent, si la représentative des moments flé-
chissants est connue, il sera possible d'en déduire la figure à donner à la pièce.
Les solides d'égale résistance à la flexion peuvent être divisés en 3 classes, savoir :
lre classe. — Solides à hauteur constante.
2° classe. — Solides à largeur constante.
3e classe. — Solides à section modulée.
Cette 3e classe comprend les solides dont la largeur ainsi que la hauteur varient d'une section à une autre, tout en restant proportionnelles entre elles ; l'une d'elles servira, pour ainsi dire, de module à l'autre, ou aux autres, si la section n'est pas rectangulaire. Ces solides sont rarement employés dans la pratique ; nous n'en dirons que quelques mots.
Lesprofilsrectangulaireslesont,au contraire, très souvent.
