RAPPEL DE QUELQUES PROPRIÉTÉS DE LA PARABOLE

Dès lors, le problème précédent (faire passer une parabole donnée par deux points donnés M et N) peut se résoudre comme suit : 1° on trace en ACB (fig. 247) un patron delà parabole donnée ; 2° par les points donnés J\l et N on

Fig. 247

mène des verticales jusqu'aux rencontres en m et n avec le patron; 3° on mène les cordes MN et mn et, par rapport à la corde MN, on prend des ordonnées, telles que DF, égales aux ordonnées, telles que df, du patron par rapport à sa corde mn.

271. Tracé de la parabole par recoupement de droites pivotantes. — (a) Théorème. — 1er Énoncé. — « Le lieu « des points d'intersection des droites qui, pivotant autour « de deux points fixes, ont la somme de leurs pentes égale « à une quantité constante est une parabole orientée verti- « calement. »

Soient (lig. 248) A et B les deux points fixes ; par ces.points menons des verticales AA', BB' et soit / leur distance, comptée suivant une horizontale A'B' que nous prendrons pour axe des x, tandis que l'axe des y sera la verticale A'A.

Soient AM et BM deux des droites ; et soient « et p les angles qu'elles font avec l'horizontale. On doit avoir, d'après l'énoncé :

(!) tga + tgp = K,

K étant une quantité constante.

Soient : a et b les ordonnées des pivots A et B. Soit M le point d'intersection des deux droites pivotantes, et soient x et y ses coordonnées. On a évidemment, pour la pente, tg a, de la droite AM :

et pour la pente tg p, de la droite BM

8 P~ l-x En substituant dans l'équation (1) on obtient

En simplifiant, il vient :

Telle est l'équation du lieu ; elle représente bien une parabole AMB orientée verticalement. Son patron ne dépend

que du coefficient de x2, qui est -■

En faisant dans le second membre

x — o, on en déduit y = a, et x = l, on en déduit y = b.

Ce qui prouve qu'elle passe par les deux points A et B.

Si à la place des deux points A et B on s'était donné les points A' et B' qui sont leurs projections sur l'axe des x, l'équation (2) représenterait encore le nouveau lieu géométrique, à la condition d'y faire a = o et b = o ; elle s'écrirait alors

(2') y = — -tx2-hKx.

C'est l'équation d'une parabole A'M'B' de même patron que la première ; par conséquent, si ce patron avait été découpé à l'occasion du premier lieu, il suffirait de le faire passer par les points A' et B', comme il est dit plus haut, pour avoir le deuxième lieu et inversement.

Il résulte de ce qui précède que le théorème peut s'énoncer sous une autre forme qui est la suivante :

(b) Même théorème. — 2°Énoncé (fig. 248). — « Dans une « parabole, orientée verticalement, tous les angles inscrits « dans un même segment (AMB) ont leurs côtés inclinés « sous des pentes dont la somme est constante. »

tga + tg p = K.

(c) Problème auxiliaire. — Prenons cette parabole, ainsi que l'angle inscrit dans une de ses positions AMB (fig. 249) ; coupons le tout par une verticale EF qui soit toujours à une même distance, p, du sommet M de l'angle inscrit.

Fig. 248 Fig. 249

Soient E et F les points où cette verticale coupe les deux côtés de l'angle ; je dis tout d'abord que EF est une quantité constante. En effet, on a :

EF = FI-t-IE - p{tg a-Mg p), d'où

EF = pK,

c'est-à-dire une quantité constante. C. Q. F. D.

MOMENTS FLECHISSANTS DUS A UNE CHARGE MOBILE

Cela posé : sur cette verticale prenons un point N qui soit à une distance constante q du point F. D'après ce qui précède il sera, aussi, à une distance constante q' du point E ; faisons maintenant mouvoir le point M et avec lui l'angle inscrit ainsi que la verticale EF et le point N.

Je dis que le lieu du point N est une parabole orientée verticalement et de même patron que la parabole AMB.

En effet : menons N'B' et NA' parallèles aux côtés MB et MA de l'angle inscrit. Ces droites recouperont en B' et en A' les verticales des points A et B, et l'on aura évidemment

AA'=9, BB'=q'.

Par conséquent les points A' et B' sont fixes ; les droites A'N et B'N qui y passent ont des pentes dont la somme est constante, puisqu'elle est la même que celle des côtés de l'angle inscrit. Leur intersection N décrit donc une parabole de même patron que la première. C. Q. F. D.

Nota. — On voit que cette parabole passe par les points À' et B', ce qui suffit, en se servant du patron de la première, pour la tracer exactement.

lre SECTION

Moments fléchissants dus a une cuarge mobile

Préliminaires

272. Objet de ce chapitre. — (a) Position de la question. — Une poutre, à deux appuis simples, porte une charge permanente uniformément répartie. Un convoi s'engage sur la poutre et la parcourt ; chacun des véhicules qui composent ce convoi (locomotive, tender, wagon) transmet son poids par l'intermédiaire des roues ; les choses se passent comme si plusieurs poids 1, 2, 3, 4 (ûg. 250), réunis entre eux à des distances invariables, prenaient sur

Fig. 250

la poutre toutes les positions possibles, telles que i', 2', 3', 4', d", 2", 3". 4". Il est évident que, pendant ce passage, une section déterminée C verra se modifier à chaque instant le moment fléchissant M ainsi que l'effort tranchant T auxquels elle était soumise par le fait de la charge permanente.

Chacune de ces quantités M ou T passera par un maximum et la section doit avoir les dimensions voulues pour résister à chacun de ces deux maxima, ne les supportât-elle que pendant un instant. Etudions en premier lieu les moments fléchissants et exposons d'abord la marche que nous allons suivre.

{i) Marche qui sera suivie. — Nous considérerons le con-

voi au moment où l'essieu de tête s'engagera sur la poutre. Après lui viendra le second, puis le troisième et ainsi de suite; arrivés à l'extrémité, les essieux se dégageront dans le même ordre que celui dans lequel ils s'étaient engagés.

Dès qu'un essieu s'engagera, nous considérerons la section qui se trouve toujours au-dessous de lui ; nous calculerons, soit algébriquement soit graphiquement, le moment fléchissant dans cette section et, adoptant une échelle déterminée, nous le représenterons par une ordonnée. Nous aurons donc

viy y

Maximum -

Fig. 250 bis

ainsi autant de représentatives de moments fléchissants que le convoi comptera d'essieux.

Supposons qu'il y ait quatre essieux; nous aurons quatre représentatives n° 1, n° 2, n° 3 et n° 4 qui répondront aux essieux possédant ces mêmes numéros. Elles passeront tou-