LA CHARGE MOBILE EST UN POIDS UNIQUE

tes par les extrémités de la poutre puisque celle-ci n'est pas encastrée (fig. 250bis). Ces courbes se recouperont en des points A, C, D, E, B; dès lors si nous ne considérons que le contour extérieur ACDEB, nous pourrons dire : « De C'en D' « c'est le passage de l'essieu n° 2 qui est dangereux ; de E' «. en B' c'est le passage de l'essieu n° 4, etc. »

Or, nous démontrerons (v. n° 276) que lorsqu'une section est placée entre deux essieux consécutifs elle supporte toujours un moment fléchissant moindre que celui qu'elle avait subi, ou qu'elle subira, lorsque l'un de ces deux essieux (à déterminer d'ailleurs) y était passé, ou y passera. Il résultera de là que le polygone curviligne ACDEB représentera les moments maxima supportés à un instant donné, qu'il nous

importe peu, d'ailleurs, de connaître pour chaque section.

Si l'on veut que la poutre soit d'égale résistance, alors le moment de résistance (I : v) de chaque section devra être calculé en fonction de ce moment, d'après la formule d'équarrissage I : v = M : R.

Si la poutre est peu importante on consentira à lui donner partout une section constante. Dès lors, en menant à ce polygone curviligne (flg. 250bis) une tangente horizontale MT on en déduira en MM' le moment le plus grand de tous, celui que nous nommerons maximum maximorum, et il servira au calcul de la section.

Il nous faut donc apprendre à construire chacune des représentatives n° 1, n° 2, etc.

% 3. — La cuarge mobile est un poids unique

273. Moments développés au passage de la charge (flg. 251). — (a) Recherche des moments. — Soit P le poids mobile et soit C le point où il se trouve à un instant donné.

Supposons que Ce' (flg. II) soit l'ordonnée représentative du moment fléchissant au-dessous de la charge; nous l'avons obtenue par un funiculaire Collignon.

Nous savons que la ligne représentative des moments, aux

< Fig. 251

autres points, se compose de la ligne brisée A'c'B', ce qui prouve tout d'abord que le moment maximum, à chaque instant, se produit sous la charge.

Faisons maintenant mouvoir cette charge et cherchons le

lieu des points c'. Je dis que c'est une parabole. En effet l'effort tranchant entre les points A et C, est donné par la pente de la ligne droite représentative A'c', tandis que de C en B il est fourni par la pente de la droite c'B' (fig. II). Or chacun de ces efforts tranchants a pour valeur la réaction de chacun des appuis, et comme la somme de ces réactions est numériquement égale à la charge P, il en résulte que la somme des pentes des lignes A'c' et c'B' est constante et que, par suite (v. n° 271), le lieu du point c' est une parabole. C. Q. F. D.

Lorsque la charge mobile sera au milieu elle donnera un moment maximum maximorum qui, nous le savons, est égal à 1/4 P/, / étant la portée de la poutre.

Or, si nous considérions une charge permanente P", uniformément répartie, et telle que l'on eût P"=2P, elle produirait des moments fléchissants dont la représentative serait aussi une parabole; son ordonnée maxima aurait pour valeur 1/8 P7, c'est-à-dire 1/4 P/, ce qui nous permet d'énoncer le principe suivant :

« (b) Théorème. — Une charge mobile unique produit, en « chaque point au-dessus duquel elle passe, le même mo- « ment fléchissant que celui que produirait une charge perce manente, uniformément répartie, qui aurait une valeur « double. »

(c) Effet d'une charge permanente. — Si, en plus de la charge mobile P, il y a une charge permanente Q, uniformément répartie, cette dernière produira, pour son compte, des moments fléchissants dont la représentative sera une parabole, d'ordonnée maxima égale à 1/8 0^; de sorte que, en définitive, il faudra additionner analytiquement la parabole 1/8 Ql avec la parabole l'4 P/ pour avoir la représentative des valeurs maxima auxquelles pourront atteindre, à un instant donné, les moments fléchissants on

MOMENTS FLECHISSANTS DES A UNE CHARGE MOBILE

chaque point de la poutre traversée par la charge mobile. Nous obtiendrons ainsi ce que nous nommerons la parabole de charge totale, A'K'B' (fig. 251-11). Son ordonnée maxima a pour valeur vraie 1/4 PI -+- 1/8 Q/; sur l'épure, comme

cette dernière est faite par le tracé Collignon, c'est-à-dire avec une distance polaire d = 4/2 /, on aura

§4. — La charge mobile est un convoi

274. Le convoi est toujours complètement engagé. — (a) Parabole de charge concentrée. — Imaginons, pour fixer les idées, un convoi comportant quatre essieux, que nous numéroterons 1, 2, 3 et 4 de gauche à droite.

Soient plf p2, p3, p% (fig. 252-1) les charges que chacun d'eux supporte, et soit P = pi -+-p2 + ps +p4 le total de ces charges.

Prenons le convoi dans une position quelconque et par une méthode quelconque, mais de préférence ici par un funiculaire Collignon, cherchons la représentative des moments fléchissants pour cette position du convoi.

La fig. II montre le tracé connu pour obtenir ce funiculaire Collignon (v. n°42 à 44) et on voit (fig. I) en A'n,, n2, «3, n4, B' ce funiculaire. Le côté initial A,7ii recoupe le côté final B». en un point G par lequel passerait la résultante P de toutes les charges des essieux. Le centre de gravité du convoi serait sur cette verticale.

(a) Funiculaire du convoi. — Remarquons que le polygone n^n^njj est précisément le funiculaire que nous serions amenés à tracer si nous cherchions la résultante des quatre charges et les moments de ces charges par rapport à un essieu quelconque ; c'est pourquoi nous nommerons ce polygone le funiculaire du convoi; nous aurons souvent à nous en servir.

Cela posé, faisons circuler le convoi, mais en supposant qu'il reste toujours engagé, c'est-à-dire que l'essieu de tête n° 1 ne passe pas à gauche de la culée A' et que l'essieu de queue n° 4 ne sorte pas à droite, de la culée B'. Si, pour chaque position du convoi, on refait un funiculaire analogue, la verticale G occupera toujours la même position relative par rapport aux quatre essieux, et le point G se déplacera sur une parabole A'GIB', d'après le problème précédent. L'ordonnée maxima 01 de cette parabole devra mesurer un moment égal à 1/4P/, et comme, dans le tracé Collignon, le coefficient d'échelle est 1/2/, on devraavoir: 01= 1/2P.

Nous nommerons la parabole ainsi décrite par le point G la parabole de charge concentrée, parce que si tous les poids du convoi étaient concentrés en un seul point, cette parabole ferait connaître, par ses ordonnées, les moments maxima en chaque point de la poutre. Nous allons voir maintenant que le fait de disposer les poids pt, p2, p3 et p.t en convoi, au

lieu de les concentrer, permet de corriger ces moments maxima en les diminuant.

(b) Sécantes et polygone de correction. — Suivons maintenant les déplacements des points nt, n2, n3 et ni que nous pourrions nommer les curseurs de chaque essieu, parce que leurs ordonnées donnent à chaque instant la mesure du moment fléchissant au droit de l'essieu correspondant.

Raisonnons pour le curseur n3. Si l'on prend en <x3 et p3 les intersections de la verticale de ce point avec les côtés initial et final du funiculaire, il résulte de ce qui a été dit plus haut (v. n° 271) que les segments n3*3 et n3$3 (que pour abréger nous désignerons par «3 et p3) garderont une longueur constante.

Il est facile de voir, d'après la théorie des moments (v. nos 34, 35...), que a3, mesuré à l'échelle, donne, dans le convoi, le moment, par rapport au point n3, des charges pi et p2 situées à la gauche de ce point, tandis que p3 donne le moment des forces, />...., situées à sa droite, et cela serait vrai pour tout autre point tel que t, compris entre deux essieux.

Il est bien évident, d'ailleurs, que ces moments a3 et P3 sont constants puisque le convoi garde une constitution invariable pendant toute la durée de son passage sur la poutre.

Dès lors (voir le problème auxiliaire du n° 271), le point n3 décrit une parabole de même patron que la parabole A'IB'. Pour l'obtenir en position, il faudrait :

1° Descendre A' en a3 de toute la hauteur a3 ;

2° Descendre B' en b'3 de toute la hauteur p3 ;

3° Sur la base nouvelle a'3b3 ainsi obtenue, tracer une parabole de même patron que la précédente. Nous ne l'avons pas dessinée, mais, si nous l'avions fait, les ordonnées, comptées entre cette parabole et l'axe des x, A'B' eussent donné les moments fléchissants au droit de l'essieu

Il peut paraître plus simple (fig. III) : 1° de conserver la parabole primitive AIB ; 2° de porter en sens contraire, c'est-à-dire en montant, de A en a., et de B en b3, les segments a3 et P3 ; 3° de mener la droite a3b3, et ce seront alors les portions d'ordonnées comprises entre cette droite et la parabole primitive qui donneront les moments fléchissants au droit de l'essieu mobile n° 3.

LA CHARGE MOBILE EST UN CONVOI

La droite a3b3, ainsi construite, se nommera la sécante de correction de l'essieu n° 3.

On opérera de même pour les autres essieux.

if ^

il W r

Fis. 252

1° On cherche, graphiquement ou algébriquement, par

rapport à chaque essieu, les moments at (a, — 0), a2, a3, a4...

•des poids de convoi situés à la gauche de cet essieu et l'on

porte de A en a-2, en a3 et en a,( ces moments sur la verticale d'origine. (Suivre sur la fig. III. )

2° On cherche, de même, les moments pt, p3, (L (P4 = 0) des poids de convoi situés à /a droite de chaque essieu et on porte de B en bif en b2 et en b3, ces moments sur la verticale d'extrémité.

3° On joint les points correspondants, savoir : at (ai est confondu avec A) avec bt, a2 avec b,, a3 avec b3, a,t avec b,t {bi est confondu avec B), ce qui donne ce que nous avons nommé les sécantes de correction.

4° On considère le polygone convexe ACDEB, dit polygone de correction, formé par ces sécantes, et la parabole AIB, dite de charge concentrée, qui représenterait les moments fléchissants maxima que produirait sur son passage le poids total du convoi si ce poids P était concentré en un seul point.

5° Cela fait, les ordonnées interceptées entre la parabole de charge concentrée et le polygone de correction donnent les moments maxima qui, à un instant donné, seront produits sous le passage de tel ou tel essieu.

[d) Effet d'une charge permanente. — S'il y a, en outre, une charge permanente uniformément répartie, Q, on ajoute sa parabole représentative A'JB' (fig. I) à celle A'IB' de la charge concentrée mobile P, et (fig. III, voir les contours hachurés) c'est entre cette parabole totale de charge AKB et le polygone de correction qu'il faut compter les ordonnées représentatives des moments. — On voit sur l'épure que de A en C (fig. III) ce sera sous l'essieu n° 1 que se produiront les moments dangereux ; de C en D ce sera sous l'essieu n° 2 et ainsi de suite.

275. Convois marchant dans les deux sens. — (a) Train descendant circulant seul. — Supposons que le convoi se retourne, c'est-à-dire que l'essieu n° 1 soit placé à droite du train au lieu d'être à gauche et que, avec cette nouvelle orientation, il circule sur la poutre. En refaisant l'épure, on obtiendra (fig. 252-IV) un polygone de correction AE'D'C'B symétrique du précédent, ACDEB, par rapport à la verticale milieu. Il en résulte que, pour nous placer dans les conditions les plus défavorables, le véritable polygone de correction à adopter sera le polygone convexe Amnin'm'Q dont les côtés sont empruntés tantôt à l'un tantôt à l'autre des deux premiers polygones.

{b) Nota. — Le demi-polygone de gauche Arnni est évidemment symétrique du demi-polygone de droite Bm'n'i par rapport à la verticale milieu, par conséquent on aurait pu se contenter de ne faire que la moitié de l'épure.

(c) Croisement de deux trains. — Imaginons deux trains, l'un montant, l'autre descendant, circulant en sens inverse sur la poutre.

Très souvent la voie montante sera supportée par des

MOMENTS FLÉCHISSANTS DUS A UNE CHARGE MOBILE

poutres maîtresses distinctes de celles qui supporteront la voie descendante et, dans ce cas, il sera inutile de prévoir les effets produits par un croisement de trains ; mais s'il en était autrement, voici comment on opérerait.

Considérons un point quelconque de la poutre. Aucun train n'est encore engagé. Ce point supporte donc le seul moment dû à la charge permanente, moment représenté par l'ordonnée de la parabole dite : de charge permanente.

Supposons que le train montant s'engage seul. Le moment, au point considéré, augmente peu à peu ; il subit une majoration qui passe par un maximum lorsqu'un certain essieu (le troisième, pour fixer les idées) passe au-dessus de lui, et cette majoration maxima est mesurée par la portion d'ordonnée comprise entre la parabole de charge concentrée du train montant et le polygone de correction correspondant.

Si le train descendant circulait seul, il produirait aussi, pour son compte, une majoration qui atteindrait son maximum lorsque l'un de ses essieux (le cinquième, par exemple) passerait au-dessus du point, et cette majoration maxima serait mesurée, elle aussi, par la portion d'ordonnée comprise entre la parabole de charge concentrée du train descendant et son polygone de correction. Il est donc bien évident que jamais le point considéré ne subira, par le fait des deux trains circulant à la fois, une majoration plus grande que si se croisent à la fois au-dessus de lui l'essieu n° 3 du train montant et l'essieu n° 5 du train descendant, d'où cette conclusion :

1° On construit la parabole de charge concentrée du train montant et celle du train descendant, et on les ajoute analytiquement en une seule parabole qui sera dite : Parabole des deux charges concentrées.

2° On y ajoute la parabole de charge permanente, ce qui donne la -parabole totale des charges.

3° On construit le polygone de correction de chaque train et on les ajoute analytiquement, ce qui donne le polygone total de correction ; cela fait :

4° En chaque point, le moment maximum est donné par la portion d'ordonnée comprise entre la parabole totale des charges et le polygone total de correction.

(d) Train montant semblable au train descendant. —

Si, comme il arrivera le plus souvent, le train montant possède exactement la même composition que le train descendant, il est facile de voir :

1° Que la parabole totale des charges s'obtiendra en doublant la parabole AIB (fig. III) et en y ajoutant, une seule fois, la parabole de charge permanente A'JB'(tig- I);

2° Que le polygone total de correction s'obtiendra en doublant le polygone Amnin'm'B de la fig. IV.

(d') Autre tracé. - Plus simplement, peut-être, on pourrait : I

1° Tracer (fig. III) en AV..., figurée en traits croisés, une parabole moyenne qui passerait à égale distance des paraboles AIB et AKB;

2° Prendre pour polygone de correction le polygone Amni de la fig. III, et

3° Les portions d'ordonnées comprises entre la parabole moyenne AV et le polygone de correction donneront la moitié des moments maxima en chaque point.

Il ne nous reste plus qu'à démontrerle théorème annoncé plus haut :