Théorème dit : des moments entre-essieux. — « Ce

« ne peut être qu'à l'instant du passage d'un essieu au- « dessus d'elle qu'une section est soumise à son moment « fléchissant maximum. »

Si ce théorème est démontré tous les tracés précédents seront justifiés.

Il sera démontré si nous prouvons qu'une section donnée de la poutre supporte, lorsqu'elle est au-dessous d'un entreessieux, un moment fléchissant intermédiaire entre les moments qu'elle supporterait si l'un des deux essieux passait au-dessus d'elle.

A cet effet, considérons un point T situé entre les essieux n° 2 et n° 3, et redessinons de nouveau, pour plus de clarté (fig. 253), d'une part (fig. I), le funiculaire du convoi,

IÂ~~ 2J 3 B

Fig. 253

d'autre part (fig. II), les trois sécantes de correction qui répondent aux essieux n° 2 et n° 3, ainsi qu'au point intermédiaire T.

On sait que, pour obtenir ces sécantes de correction, on mène (fig. I) les trois verticales M2a2P2, ntf, n3a3j33, et que, portant d'une part, de A en a2, a et a3, les segments a2, a et a3 sur la verticale d'origine, puis, d'autre part, de B

LA CHARGE MOBILE EST UN CONVOI

en b2, b el b3, les segments (î2, p et p.s, sur celle d'extrémité, on joint les points a2 et $2, « et p, a3 et [33.

Si je prouve que ces trois sécantes de correction se coupent en un même point, comme le point a est compris entre a2 et b.2, attendu que (fig. 1) a est intermédiaire entre a., et a3, il en résultera que la sécante de correction ab sera tout entière comprise entre les deux autres, et que la portion d'ordonnée comprise entre elle et la parabole totale sera plus petite que celle comprise entre la même parabole et une des sécantes de correction (ici a2b2) répondant à l'un des essieux ; dès lors, le théorème sera démontré.

Or, sur la fig. I, menons par les points <x2 et a des parallèles à la corde n2n3 : nous formons ainsi deux triangles semblables que nous avons hachurés, et qui donnent, en désignant par K le rapport suivant lequel le point considéré T divise l'intervalle entre les deux essieux n° 2 etn°3,

OL — 7.2 rlitl

a3 — a nn3 Mais sur la fig. II, a — a2, c'est [aa2 et a3 on aura donc (fig. II) :

a c'est aa3,

On démontrera de même, en menant (fig. I) par p et par (3a des parallèles à la corde mn3, que l'on a aussi (fig. II) : b2b

---- K, d'où

Par conséquent la sécante de correction ab passe bien par le point de rencontre des deux autres, et elle est tout entière comprise entre elles deux. C. 0- F- 0.

277. Cas général. — Le convoi est partiellement engagé, (a) Moments sous l'essieu de tête. — Supposons que le convoi, arrivé à l'extrémité de la poutre, commence à s'en dégager. L'essieu n° 4 va sortir et sera comme s'il n'avait jamais existé (v. plus loin fig. 255). Par conséquent, pour l'ensemble des trois charges qui restent engagées, ph pi et p3, la parabole de charge totale se composera de l'ancienne parabole totale P', de laquelle nous retrancherons la parabole p., qui serait due à l'essieu qui vient de sortir.

On se souvient que la parabole totale P' est la somme des paraboles pt,pi,p3 et p,t, augmentée delà parabole due à la charge permanente Q. La sécante de correction était la ligne Afii ; on se souvient aussi que, d'une manière générale, la sécante de correction d'un essieu est une droite, dont nous avons appris à calculer l'ordonnée d'origine et l'ordonnée d'extrémité; et que, d'une façon générale, l'ordonnée d'origine est égale au moment, pris par rapport à l'essieu considéré, des charges engagées qui, dans le convoi, sont placées à gauche de cet essieu, tandis que l'ordonnée d'extrémité est égale au moment de celles qui sont placées à droite. Nous raisonnons sur l'essieu n° 1 ; comme il est le

premier à gauche, les moments de gauche sont nuls, c'est pourquoi sa sécante de correction passe par l'origine A; quant aux moments de droite, tant que l'essieu n° 4 était engagé, ils étaient mesurés sur le funiculaire du convoi, que nous reproduisons ici, fig. 254, par la verticale n^r,

Fig. 254

mais dès que l'essieu n° 4 n'est plus engagé le convoi se trouve réduit aux trois forces pt, p2, p3 ; le funiculaire de convoi correspondant a pour côté final la droite «4n3yi, et le moment de gauche, c'est-à-dire l'ordonnée d'extrémité de la nouvelle sécante de correction, est donnée par myi. Par conséquent, nous procéderons comme suit (fig. 255) : 1° Nous tracerons (voir à droite) la parabole P'— p., à l'échelle adoptée, qui est celle des funiculaires Collignon; nous

MOMENTS FLECHISSANTS

sous

l'Essieu N° 1

Fig. 255

en obtenons le sommet en descendant le sommet K de la parabole P' d'une quantité égale à 1/2 p4.

STAB. 27

MOMENTS FLÉCHISSANTS DUS A UNE CHARGE MOBILE

2° Sur le funiculaire du convoi nous prendrons la longueur nr(i et, la reportant de B en yj (ûg. 255) sur la verticale d'extrémité, nous joignons AX, ce qui nous donne la nouvelle sécante de correction.

3° Nous portons, à partir de B, sur l'axe des x, des longueurs égales à 8l5 o2 et 83, c'est-à-dire aux entre-essieux comptés en sens inverse.

4° Par le point F ainsi obtenu, si nous menons la verticale FuvwM, c'est à partir de cette verticale de transition que les moments devront être mesurés entre la parabole P' — pi et la sécante nouvelle de correction Ay,.

(a') Nota. — Il est évident que, à la transition, la valeur du moment ne peut pas changer brusquement; autrement dit, on doit avoir :

uw — vM, ou encore uv = wM.

Cela donne soit une vérification de tracé, soit même un tracé, puisqu'il suffirait de prendre vu = Mw sans chercher directement la nouvelle sécante de correction Ayt : mais nous recommandons de préférence de chercher cette sécante et de tirer parti de l'égalité vu = Mw, comme vérification.

L'essieu n° 3 arrivera, à son tour, à l'extrémité : à ce moment l'essieu n° 1 sera venu en F', ayant parcouru une longueur o2 égale au troisième entre-essieu. Nous aurons une nouvelle verticale de transition F'w'.

Nous changerons de parabole ; nous prendrons la parabole P' — p,t — p3 , et nous aurons comme nouvelle sécante de correction la droite As, obtenue en prenant Bzl égale aux moments des charges encore engagées, à gauche ; ce moment est donné (fig. 201) sur le funiculaire du convoi par la droite ttisi.

Finalement les moments sous l'essieu n° 1 sont donnés (fig. 255) par les ordonnées comprises dans toute la partie limitée par des hachures.

(b) Moments sous l'essieu de queue. — On traitera, de la même manière, la question pour l'essieu de queue n° 4 (Dg. 256), avec cette différence que, pour lui, ce sera lorsque le train sortira par la gauche que l'on devra faire des changements de parabole et des changements de sécantes de correction.

On remarquera que pour la sortie par la gauche, étant donné que les essieux se dégageront dans l'ordre 1, 2, 3 et 4 et non plus dans l'ordre 4, 3, 2, 1, les paraboles successives sont P', P' — jo,, P' — pi — p2, etc.

Quant aux sécantes de correction elles passent toutes par l'extrémité B, et leurs ordonnées d'origine sont prises en Aoc., Ay4, Ae4, égales aux moments partiels de gauche mesurés sur le funiculaire du convoi (fig. 254), en nta,(, n4y4 et n,z.t.

à remarquer que pour les essieux extrêmes, de tête ou de queue, les changements de parabole et de sécante de cor-

MOMENTS FLÉCHISSANTS

sous

l'Essieu N° 4

Fig. 256

rection ne sont à faire que du côté de la poutre pour lequel l'essieu sera le dernier à sortir.

Pour les essieux intermédiaires il y aura changement de

MOMENTS FLÉCHISSANTS

sous

l'Essieu N° 2

Fig. 257

courbe aussi bien à gauche qu'à droite, ainsi que nous allons le montrer.

LA CHARGE MOBILE EST UN CONVOI

Essieu n° 2 (fig. 257). — \° A la distance o2 -+- 83 de l'extrémité nous traçons, en FM, la verticale de transition; et de la parabole totale P' nous passons à la parabole P' — « puisque c'est à cet instant que l'essieu n° 4 se dégage.

2° La sécante de transition était a2p2, et l'ordonnée à l'origine Aa2 était égale, dans le convoi, au moment des forces situées à gauche de l'essieu n° 2.

Or, puisque les essieux de gauche restent engagés, ce moment partiel ne change pas et, par conséquent, la nouvelle sécante de correction passera toujours par le point a2.

Il n'en est pas de même de son ordonnée d'extrémité.

On doit prendre By2 égal aux moments, dans le convoi, des forces de droite qui sont engagées ; et, puisque la force pi est sortie, on aura ce moment sur le funiculaire du convoi (fig. 254), en et non plus en m$2 ; la nouvelle

MOMENTS FLÉCHISSANTS

l'Essieu N° 3

Fig. 258

sécante de correction est donc a-^; elle doit nous servir, ainsi que la parabole P' — p,t jusqu'à la verticale de transition F' située à la distance 33 de F, car c'est alors que l'essieu n° 3 va sortir à son tour.

Lorsque le train sortira par la gauche, en raisonnant de même, on verra qu'il faut prendre la parabole P' — pt et la sécante de correction (32A.

Essieu n" 3 (fig. 258). — On fera le même raisonnement.

Les ordonnées d'origine des sécantes de correction sont Aa3 et Ay3, prises sur le funiculaire du convoi, au droit de l'essieu n° 3, en «3a3 et «SY3.

(d) Diagramme définitif. — Nous obtenons ainsi, séparément, les quatre diagrammes des moments au-dessous de chaque essieu. Pour la clarté de notre explication, nous avons fait quatre figures distinctes, mais il est bien évident que dans l'application on les ferait toutes sur la même épure.

vv A

l\ \Vv

Fig. 259

(d') Diagramme de superposition. — 11 faut maintenant superposer ces quatre diagrammes en ramenant leurs ordonnées à un même axe des abscisses, afin que leurs hauteurs puissent être facilement comparées.

C'est une question de patience ; l'épure ne présente aucune difficulté : chaque diagramme, ainsi rapporté à une base horizontale commune, se composera d'une série d'arcs de paraboles, chacune d'elles ayant son patron connu et passant par deux points connus.

Nous obtenons ainsi la fig. 259. Son contour extérieur est assez mouvementé ; c'est lui qui nous donnera en ACDEB les moments fléchissants à adopter pour chaque point de la poutre. Une fois ces moments connus, la formule d'équarrissage

permettra de calculer les dimensions de chaque section, et, si la poutre devait être à section constante, ce serait le moment maximum-maximorum MM' qui servirait pour son calcul.

EFFORTS TRANCHANTS DUS A UNE CHARGE MOBILE

2e SECTION

Efforts tranchants dus a une charge mobile, | 5. — Préliminaires

278. Rappel de notions antérieures. — Nous démontrerons plus loin que, exactement comme pour les moments, ce ne peut être qu'au-dessous d'un essieu que se développe une valeur extrême (maximum ou minimum) d'effort tranchant ; par conséquent nous tracerons, pour chaque essieu, la représentative des efforts tranchants qui se développent au-dessous de lui, sur son passage, et nous prendrons celles de ces représentatives dont les ordonnées l'emporteront en valeur absolue sur les autres.

Nous prenons ici le mot minimum avec son sens algébrique, étant entendu qu'une valeur négative est toujours plus petite qu'une valeur positive. Ainsi — 10 est plus petit, algébriquement, que +4. Mais, si l'on ne considère que les valeurs absolues, un minimum algébrique, tel que — 10, peut être numériquement plus grand qu'un maximum tel que +4. En définitive, ce seront toujours les maxima numériques qui nous intéresseront.

Rappelons que l'effort tranchant n'est autre chose que la force qui résulte du transport sur l'une des faces du biplaleau d'une section (v. 104 et 113) de toutes les forces agissant sur la pièce et qui sont situées du même côté de cette face. Parmi ces forces, il faut compter aussi bien les actions que les réactions.

Un effort tranchant est positif lorsqu'il tend à soulever le plateau de gauche par rapport à celui de droite (v. n° 172); il est négatif dans le cas contraire.

L'effort tranchant est donné, en grandeur et en signe, par la pente de la représentative des moments fléchissants (v. n° 173).

Lorsqu'une poutre est soumise à une charge continue, comme serait par exemple une couche de sable, d'épaisseur uniforme ou non, la représentative des moments est une courbe continue ; sa pente, c'est-à-dire l'effort tranchant, varie aussi d'une manière continue et la représentative des efforts tranchants est une courbe continue.

Lorsque la charge est uniformément répartie, la représentative des moments est une parabole et celle des efforts tranchants est une droite (v. n° 51, fig. 25). Mais lorsque la charge est discontinue, c'est-à-dire formée de poids isolés, la représentative des efforts tranchants est discontinue : on dit alors qu'elle est en escalier.

En particulier, si l'on a un convoi mobile, c'est au droit de chaque essieu que se place un des degrés de cette sorte d'escalier. Entrons dans quelques détails.

279. Variations brusques des efforts tranchants sous le passage de charges mobiles. — Soit C (ùg. 200) la section située au droit de l'essieu n° 3; figurons au point C deux bi-plateaux mitoyens et supposons la charge p.s de l'essieu appliquée sur le plateau qui est commun aux deux biplateaux; en un mot, considérons deux sections infiniment voisines, placées l'une un peu à gauche et l'autre un peu à droite de l'essieu n° 3.

L'effort tranchant ne sera pas le même dans les deux sections. Désignons par t3 l'effort tranchant de la section de gauche, et par l'3 l'effort tranchant de la section de droite. L'indice 3 répond au numéro d'ordre de l'essieu.

Fig. 260

Sur la section (ou bi-plateau) de gauche l'effort tranchant t3 sera égal à la somme algébrique des forces situées à gauche et comprenant : 1° la réaction X0 de l'appui (elle est positive); 2° les charges p, et p2 des deux premiers essieux (elles sont négatives) ; on aura donc :

's = Xo — (Pi + P%)- Sur la section (ou bi-plateau) de gauche la charge p3 est brusquement introduite; on aura donc :