LA CHARGE MOBILE EST UN POIDS UNIQUE

i's - X0 — (p, +?a + p3)> ce qui veut dire qu'il se produit sous l'essieu un saut brusque dans la représentative des efforts tranchants. Ainsi, immédiatement avant le passage de l'essieu, l'effort tranchant avait une certaine valeur t3; immédiatement après ce passage, il prend une autre valeur t'3, qui diffère brusquement de la première et que l'on obtient en diminuant cette première (puisque les charges p,, p.2,p3 sont négatives)... de toute la charge p3 de l'essieu qui a passé.

Il est donc à remarquer que les convois mobiles soumettent toutes les sections à des intermittences et, peut-être, à des alternances d'efforts tranchants (v. n° 128); de sorte que, si les lois de Wœhler sont exactes, elles devront être prises ici en considération. C'est pourquoi nous adopterons la marche suivante :

1° Nous tracerons pour chaque essieu deux représenta-

tives d'efforts tranchants, savoir : la représentative T et la représentative T' ; la première, T, donnera les efforts tranchants pour la section placée immédiatement à gauche de l'essieu et la seconde T les fera connaître pour la section placée immédiatement à droite : d'ailleurs la représentative T' s'obtiendra en descendant la représentative T de toute la charge de l'essieu considéré.

Un indice indiquera, en outre, le numéro de l'essieu considéré ; nous aurons donc les représentatives T, et T', pour l'essieu n° 1, T, et T'4 pour l'essieu n° 4, etc.

2° Quand nous aurons tracé, pour chaque essieu, la représentative T de ses efforts tranchants de gauche et la représentative T' de ses efforts tranchants de droite, nous ne conserverons que celles de ces lignes qui répondent à des maxima en valeur absolue.

Étudions d'abord le cas simple suivant :

La charge mobile est un poids unique

280. Efforts tranchants développés sous le passage de la charge. — Soient P ce poids, C le point où il se trouve, et x l'abscisse du point C.

Calculons la réaction X„ sur l'appui d'origine ; à cet effet portons (fig. 261-1) de A en A' une longueur égale à P.

Joignons A'B ; je dis que l'ordonnée y — CC, qui est comprise entre cette droite et l'axe des x, donne précisément la réaction X0.

En effet, la similitude nous donne

y l—jc P ~ l

y est donc bien la composante de P sur l'appui A, c'est-àdire la réaction, X0, de cet appui : elle est positive.

Cela posé, l'effort tranchant, t, immédiatement à gauche de la section C, est précisément égal à X0, d'où nous concluons que la ligne BA' est la représentative, T, des efforts tranchants de gauche, au droit de la charge mobile.

Descendons cette ligne en AB' de toute la charge P et nous aurons en AB' la représentative T' des efforts tranchants de droite.

Si l'on avait une charge Q, uniformément répartie, on a vu que la représentative des efforts tranchants serait une oblique ayant pour ordonnée d'origine 1/2 Q et pour ordonnée d'extrémité — 1/2 Q (fig. II).

Si la charge Q existe simultanément avec la charge mobile P, les deux représentatives s'ajouteront analytiquement et nous aurons pour la représentative T des efforts tranchants de droite l'oblique DE; son ordonnée d'origine (ûg. III) est égale à P + 1/2Q; son ordonnée d'extrémité est égale a — 1/2 Q. Quant à la représentative T' des efforts tranchants de gauche, c'est la droite D'E' ; son or-

EFFORTS TRANCHANTS DUS A UNE CHARGE MOBILE

donnée d'origine est -+-1/2Q; son ordonnée d'extrémité est — (1/2 Q -h P). Pour le calcul des dimensions à donner, en vue de résister aux efforts tranchants, il importe peu de savoir s'ils sont positifs ou négatifs ; c'est leur valeur absolue qu'il faut connaître. Dès lors (fig. IV) replions la figure autour de l'axe des abscisses AB, nous obtiendrons le

polygone hachuré qui nous fait connaître les valeurs absolues des efforts tranchants maxima susceptibles d'être développés en chaque point.

Nota. — La symétrie nous permettrait de ne tracer que la moitié de gauche de la lig. IV.

§ 7. — La charge mobile est un convoi

281. Le convoi est toujours complètement engagé. — (a) Oblique de charge concentrée. — Prenons le même convoi que tout à l'heure, composé des quatre essieux nu n2, n3, n,„ transmettant des charges pit p2, p3, pv

Construisons par la méthode Collignon, ou par toute autre, le funiculaire du convoi.

On voit ce funiculaire en I (fig. 262), en haut de l'épure; c'est la reproduction de celui déjà trouvé plus haut (fig. 252). Nous ne l'avons repris que pour avoir exactement la position gG de la verticale du centre de gravité du convoi, par rapport aux essieux.

Considérons le convoi (fig. 252-11) dans une position quelconque ni, >?2, n3, n4 (dessinée en pointillé); soit g son centre de gravité dont la position est empruntée à la fig. (I). Proposons-nous de chercher l'effort tranchant de gauche 1.2 ou de droite t'2, au-dessous d'un essieu quelconque, le deuxième, par exemple. Faisons, pour un instant, abstraction de la charge permanente Q, uniformément répartie.

L'effort tranchant de gauche ti sera égal à la réaction X0 que développe l'appui A sous l'influence du poids total du convoi, diminuée des charges comprises entre A et l'essieu n° % c'est-à-dire diminué de pi.

Mais la réaction X0 sera la même que si toute la charge du convoi était concentrée en son centre de gravité g, et nous venons d'apprendre à la construire. On a vu (v. n°280) qu'il fallait porter bout à bout sur la verticale d'origine les charges pu p2, p3 et p,t, ce qui donnait de A en K la charge totale P (marquer soigneusement ces points pu î°2, p3, P; ; ils joueront un rôle important tout à l'heure) et que, enjoignant BK, ce qui donne la ligne que nous nommerons l'oblique de charge concentrée, l'ordonnée gG de cette oblique donnait cette réaction X0. On aura donc, pour l'effort tranchant de gauche sous l'essieu m :

(1) h = W~Pi- Et pour l'effort tranchant de droite

(2) t'2 = gG -p,— p2-

Considérons la portion d'ordonnée de l'essieu ??2 comprise entre l'axe des x et l'oblique de charge concentrée BK. Cette ordonnée est n2N2 et l'on a :

g~G=V2K2 — FNl.

Et cette relation aura toujours lieu, quelle que soit la position du convoi. Or, FN2, que nous appellerons le paramètre de correction de l'essieu n° 2, est une quantité constante ; chaque essieu aura son paramètre de correction, que nous apprendrons à construire tout à l'heure.

Désignons ces paramètres de correction par les lettres hi, h2, h3, h,t.

On aura, en substituant dans les équations (l)et (2), (1') t2 = ^N"2 - h2 - p,

ce qui peut se traduire ainsi :

La représentative des efforts tranchants à maxima, développés sous un essieu donné, s'obtiendra en abaissant d'une hauteur constante la représentative qui répondrait à la charge totale du convoi supposée concentrée en son centre de gravité. Cette représentative est la ligne que nous avons appelée l'oblique de charge concentrée. Cette hauteur constante est égale au paramètre de correction de l'essieu, augmenté de toute les charges du convoi situé à sa gauche ; on n'y comprend pas la sienne s'il s'agit de l'effort tranchant de gauche, t ; on y comprend, au contraire, la sienne s'il s'agit de l'effort tranchant de droite, t'.

Si la charge permanente Q vient s'ajouter, alors c'est l'oblique de charge totale VW, obtenue comme il est dit plus haut, qu'il faut abaisser de la hauteur constante spéciûée ci-dessus.

(b) Horizontales de correction. — Or, il est évident qu'au lieu d'abaisser les obliques nous pouvons les laisser en place, mais élever alors l'axe des abscisses de la même quantité. C'est ce qui a été fait sur l'épure (fig. II).

Ces nouveaux axes des abscisses, ainsi relevés, sont ce que nous nommerons les horizontales de correction des essieux. Chaque essieu en aura deux.

Ainsi l'essieu n° 2 aura l'horizontale de correction H2B2, pour les efforts tranchants de gauche, et H'2B'2 (ce second est toujours en trait mixte) pour les efforts tranchants de droite.

Il nous reste à montrer comment on obtient les points H, et H'i, H2 et H'2, etc Voici la construction :

LA CHARGE MOBILE EST UN CONVOI

1° Déplaçons le convoi sur la gauche jusqu'à ce que son centre de gravité vienne se confondre avec l'origine A;

2° Par cette origine, menons une parallèle II,?», à l'oblique de charge concentrée et prenons ses intersections mu m.2) m3, mt avec les verticales des essieux dans leur nouvelle

position. Il est évident que pour l'essieu n° 2, on aura : 2m2 = N2F, et comme il en sera de même pour tous les essieux, il en résulte que les ordonnées \mh 1mh 3/«3... (dessinées en trait fort sur l'épure) de l'oblique mu mi donnent les paramètres de correction hi, h,, h.t et /*..

Fig . 262

3° Par les points pu p2, p.s, pk obtenus tout à l'heure en portant les charges du convoi sur la verticale d'origine, menons des parallèles à l'oblique de charge concentrée; elles recouperont les verticales des essieux voulus aux points

IL et H'i, H2 et H'a, etc.. par lesquels nous ferons passer les horizontales de correction.

EFFORTS TRANCHANTS DUS A UNE CHARGE MOBILE

pante. Pour les moments nous avions une parabole de charge totale dessinée une fois pour toutes, et, pour chaque essieu, nous tracions une sécante de correction. C'était entre cette sécante et la parabole que nous comptions les ordonnées représentatives des moments maxima.

Ici, au lieu d'une parabole, nous avons une oblique de charge totale; au lieu de sécantes, nous avons des horizontales de correction, et c'est entre l'oblique et les horizontales que nous comptons les ordonnées représentatives des efforts tranchants.

(d) Efforts maxima. — 11 est facile de voir que, dans le cas actuel, c'est en prenant l'horizontale de correction la plus basse HjBj que l'on obtiendra les plus grands efforts tranchants de gauche ; ils seront positifs et seront supportés audessous de l'essieu n° 1.

En prenant l'horizontale la plus haute H'4B'j on aura les plus grands efforts tranchants de droite ; ils seront négatifs et seront supportés au-dessous de l'essieu n° 4.

(e) Diagrammes définitifs. — La fig. III (que nous avons dessinée à une échelle moitié moindre pour économiser la place) reproduit les diagrammes extrêmes, mais en les rapportant aune même base commune, HiBi par exemple; et comme il importe peu, pour la résistance, de connaître le signe de l'effort tranchant, nous avons retourné le diagramme ayant pour base Il'4B',t de manière à lui donner la même base HjBj. Pour faire ce retournement on a abaissé D en D' et on a pris BiW = B'4W.

Le contour marqué par un liséré donne la représentative des valeurs absolues des efforts tranchants maxima (qu'ils soient de gauche ou de droite, qu'ils soient positifs ou négatifs, peu importe) pour un train composé comme celui que nous avons adopté, mais qui circulerait dans un seul sens. On remarquera que le point W est plus haut que le point V. (flg. 111).

Si le même train circulait dans l'autre sens, alors tout serait renversé ; l'oblique D'W se placerait à gauche et l'oblique VW à droite, et comme la première, qui est la représentative T'4 des efforts tranchants de droite de l'essieu n° 4, est plus haute que l'oblique Ti qui est la représentative de l'effort tranchant de gauche de l'essieu n° 1, nous en concluons que, dans l'exemple choisi, ce sera toujours au passage de l'essieu n° 4 que se développera l'effort tranchant dangereux.

Le diagramme définitif est dessiné sur la fig. IV; il a été obtenu en repliant la fig. III autour la verticale milieu 01 et en prenant, pour chaque moitié, la plus haute des deux représentatives.

Nous avons tracé, en outre, sur la même figure, en UIU', le diagramme des efforts tranchants maxima que donnerait la charge totale P du convoi si elle était concentrée en un point; on voit que la répartition de cette charge en convoi a pour effet de diminuer les efforts tranchants.

Si deux trains, de la même composition que ci-dessus, se croisaient sur la poutre, le diagramme de croisement s'obtiendrait : 1° en repliant la fig. III autour de la verticale milieu, ce qui donnerait pour chaque moitié deux diagrammes placés l'un dans l'autre ; 2° en ajoutant analytiquement ces deux diagrammes.

282. — Le Convoi est partiellement engagé. — (a) Obliques de charges partielles. — Remarquons tout d'abord que toutes ces représentatives d'efforts tranchants sont des lignes droites et que, par conséquent, pour les tracer il suffirait de connaître la direction et un point de chacune d'elles.

Or, si nous nous reportons à la fig. 261, nous voyons que la direction s'obtient : 1° en prenant un point W, situé sur la verticale d'extrémité à une distance négative égale à la moitié (1/2 Q) de la charge permanente, uniformément répartie ; 2° en portant sur la verticale d'origine une longueur -positive AV égale au total de toutes les charges engagées, Pi -h f i + jo3 + pt -+■ Q (convoi et charge permanente) ; et 3° en joignant VW. Nous obtenions ainsi l'oblique de charge totale. (Suivre maintenant sur la fig. 263, page 217.)

Remarquons qu'elle intercepte sur la verticale milieu 00' une longueur égale à la moitié l/2(pi -\-p-2 -\-p3 -Hf>4) du poids du convoi. La quantité Q n'apparaît plus sur cette verticale milieu.

Cela posé : supposons que le train sorte par la droite; alors l'essieu n°4 se dégage le premier et, avec lui, disparaît la charge pi ; par conséquent, l'oblique de charge totale passera toujours par le point W; mais elle interceptera sur la verticale milieu la longueur 00', diminuée de l/2p4 ; lorsque l'essieu n° 3 sortira, il faudra encore diminuer le segment intercepté sur la verticale milieu de la quantité p3 et ainsi de suite.

Si le train sort par la gauche il faut faire sur la verticale milieu le dégagement des poids dans l'ordre inverse, c'est-àdire dans l'ordre 1/2/^, l/2p-2, etc..

Le tracé qui donnera les directions des représentatives d'efforts tranchants, au fur et à mesure que les essieux sortiront, est fait sur la fig. 263-1. On a pris B'W = 1/2Q. Sur la verticale milieu Os on a porté, à droite, les segments 1/2^1, 1/2 /?2, etc., et, à gauche, dans l'ordre inverse, les segments 1/2 jo4, l/2p3..., et l'on a obtenu les directions successives des obliques de charges partielles.

(b) Diagramme définitif. — Pour terminer l'épure (fig. 263-11), nous avons commencé par redessiner, en les rapportant à un même axe des abscisses AB, toutes les représentatives de la figure précédente. Pour cela il a suffi, sur cette figure 262, de prendre avec une bande de papier, sur la verticale milieu, les longueurs Oti, t2, t3, etc., puis, en retournant cette bande de papier, de les reporter (fig. 263-H)

LA CHARGE MOBILE EST UN CONVOI

en Oli, h, t3--', et, enfin, par ces points, de mener des parallèles à l'oblique de charge totale P'.

jYola. — Les représentatives d'efforts tranchants de gauche sont en trait plein et indiquées par des lettres sans accent. Celles des efforts tranchants de droite sont en trait mixte et indiquées par des lettres avec accents.

11 faut maintenant modifier ces obliques pour tenir compte de la sortie des essieux. Raisonnons pour l'essieu n° 1.

Tout d'abord la sortie vers la gauche ne modifie pas ses représentatives : elles restent donc les lignes g^iCi et<7VW

Pour tenir compte de la sortie par la droite, traçons en S une ligne ayant la longueur du train et portons sur elle, en 83, 82 et 81, les trois longueurs d'enlre-essieux dans l'ordre où elles se dégagent ; et par les points ainsi obtenus menons des verticales.

La première rencontre en Ci et c\ les obliques de l'essieu n° i . A partir de ces points les obliques de charge totale doivent être modifiées et remplacées par l'oblique P' — f,t ; ce qui donne les lignes aofi et e'iof', parallèles à l'oblique P' — p,t. Aux points g?, et d\ on change encore de direction et on mène diel et dl'c\ parallèles à l'oblique P' — pi — p3 ; puis enfin les lignes elfl et e'if'l parallèles à l'oblique

P' — P. — Vz — Pa- On voit que la sortie du train a pour effet de substituer à

l'oblique primitive une ligne brisée qui se rapproche un peu de l'axe des a;; par conséquent, pour cet essieu, la sortie du train améliore les efforts tranchants.

Pour l'essieu n° 2 la brisure de l'oblique primitive ne commence, à droite, qu'en c2 et c'a, et elle produit la ligne brisée c.2d2e2, laquelle n'est d'ailleurs que la répétition de la première brisure Cidieu et pourrait par conséquent se tracer avec un patron fait à l'avance.

Le même essieu n° 2 donne à gauche deux brisures g2h2 et g'ih'i qui sont parallèles à l'oblique P' — />,.

On opérera de même pour les autres essieux.

(c) Remarque. — Ce tracé, tout en améliorant le passage au dessous de certains essieux, ne nous entraîne pas, dans l'exemple actuel, à rien changer aux efforts tranchants qui étaient dangereux. C'est toujours l'effort tranchant de droite de l'essieu n° 4 avec sa représentative t\c',t, non brisée, qui imposera les dimensions de la poutre.

Il n'y auraiteu intérêt à chercher labrisure desobliques que si, en exécutant la première épure dans l'hypothèse du train toujours engagé, on avait constaté que l'oblique de l'un des essieux intermédiaires (t'sc'3 par exemple) se trouvait en dehors de l'oblique de l'un des essieux extrêmes (par exemple de l'oblique l\c\ de l'essieu de queue).

283. Règlement officiel français relatif aux épreuves à faire subir aux Ponts. — (Voir une note à la fin du ch. VIII.)

Fig. 263

STAB 2S