CHAPITRE VII

POUTRE CONTINUE. - CHARGES PERMANENTES

§ 1. — Préliminaires

28 L Définitions. — Données de position d'une poutre continue. — On dit qu'une poutre est continue lorsqu'elle est maintenue en différents points de sa longueur par des appuis : A0, A,, A2 (fig. 264).

Lorsque la poutre pèse sur un appui, c'est-à-dire lorsqu'elle tend à le comprimer, on dit que l'appui forme support; lorsque la poutre tend à êtie soulevée au-dessus d'un appui, ce qui peut arriver, dans une poutre continue, lorsqu'unelourde charge vientà passersurunetravéequi n'est pas

contigur à cet appui, on dit que ce dernier est un ancrage, parce qu'il faut, en effet, ancrer la poutre sur l'appui pour l'empêcher de s'en détacher.

Le premier appui ainsi que le dernier se nomment des culées ; les autres sont des piles.

Les points d'appui seront numérotés à partir de la gauche : A0, A,, A2 An. Ainsi, A0 (ûg. 263) sera la culée d'origine et An sera la culée d'extrémité.

On nomme travées les espaces qui séparent deux points

d'appui consécutifs. La première et la dernière travées se nomment travées de rive ; les autres sont des travées intermédiaires.

Les travées recevront aussi des numéros d'ordre depuis 1 jusqu'à n. Une travée d'un certain ordre, la 4me par exemple, sera donc celle qui précédera immédiatement le point d'appui de même ordre, A,.

Les longueurs des travées seront indiquées par la lettre l avec un indice : ainsi, la longueur de la 4mc travée sera /;.

On nomme lignes d'appui les droites telles que A0A,

— A,A, — A2A3, etc. (lig. 265), qui joignent deux points d'appui consécutifs. Si tous les points d'appui sont sur une même ligne droite, généralement horizontale, on dit alors que la poutre est de niveau ; nous admettons pour plus de généralité qu'il n'en est pas ainsi.

On nomme pente de dénivellation d'un appui, de l'appui A2 par exemple (fig. 265), l'angle y2, positif ou négatif, dont il faudrait faire tourner la ligne d'appui A,A2 située à sa gauche, pour la faire coïncider avec la ligne d'appui A2A.t située à sa droite.

Cet angle est toujours très petit, c'est pourquoi nous le

PRÉLIMINAIRES

confondons avec sa tangente trigonométrique ; le mot pente sera donc, pour nous, synonyme de tangente trigonométrique pour tous les très petits angles du même genre. Sur une culée, A0 par exemple, si la poutre est encastrée

Fig. 265

et si l'on imagine que l'on ait logé une tige rectiligne A0T dans la boîte d'encastrement, la pente de dénivellation y0 sera la pente à imposer à cette tige pour la faire coïncider avec la ligne d'appui A0A, (sur la figure elle est positive.)

Nous avions déjà trouvé cette pente en étudiant les poutres encastrées (n° 198) et nous l'avions appelée la pente d'encastrement. Pour saisir l'analogie entre les piles et les culées, il faut assimiler un encastrement à une travée de longueur infiniment petite qui précéderait ou qui suivrait une travée de rive ; dans ces conditions la tige A0T, que nous supposons sortir de la boîte d'encastrement, est bien l'analogue de la ligne d'appui de cette travée infiniment petite.

Pour la culée d'extrémité A„, si la poutre y était encastrée, la pente de dénivellation serait la pente y„ à imposer à la ligne d'appui située à sa gauche pour la l'aire entrer dans la boite d'encastrement. Sur la fig. 265 on a y0 positif, Y, négatif, y2 positif, y3 négatif... et-^ négatif. Si la poutre est libre sur une culée, alors la pente de dénivellation n'existe pas ; il ne faut pas dire qu'elle est nulle mais, plutôt, qu'il n'y a pas lieu d'en parler.

Lorsque l'on connaît les longueurs /„ L2. . . des travées et les hauteurs/',, h2... des points d'appui les uns par rapport aux autres, on peut, soit calculer les pentes de dénivellation y*.* Yi, Ï2---I soit les construire graphiquement. Dès lors on possédera toutes les données de position delà poutre.

255. Données élastiques de la poutre. — (a) Trisectrices eïfiées des travées. — Nous admettrons que, dans une épure préalable (fig. 206-1), nous aurons construit les funiculaires <» <l> (v. n° 1!)5) de chacune des travées, ce qui nous aura fait connaître toutes les trisectrices eïfiées ainsi que toutes les aires £2 et * que l'on suppose y être appliquées, comme le seraient des poids.

Entrons, à ce sujet, dans quelques détails et raisonnons sur deux travées consécutives quelconques. Afin de débarrasser les formules d'indices qui compliqueraient les écritures, nous désignerons par l et par /, les longueurs des deux travées (fig. 266-1). A, B et C seront les points d'appui, {-i et <î>, !2l et <t>l seront les aires des triangles unitaires eïfiés

des travées / et /, ; leurs réactions seront, selon nos conventions (v. n° 193) w et », tu, et sur l'appui de gauche de leur travée, i<> et &', w,' et sur l'appui de droite.

Les trisectrices seront désignées, pour la première travée, par les lettres i et j, marquées à leurs pieds, et pour la seconde travée, par les lettres i' et /.

Gela posé : voici la série des opérations préalables à effectuer sur chaque travée pour en déterminer les données élastiques.

1° On adoptera-un moment unitaire n négatif (nous verrons plus loin pourquoi), et on construira pour chaque travée (v. n° 194) le rectangle unitaire eïfié adb et bd'c ainsi que sa diagonale curviligne, laquelle divisera le rectangle en ses deux triangles unitaires eïfiés il et 3> ; on sait que cette diagonale curviligne n'est pas indispensable à tracer.

Nous avons remarqué^ en temps utile, que tout rectangle eïfié n'était autre chose qu'une représentative, à une échelle donnée, de l'expression 1 : El, c'est-à-dire, en somme, une représentative de la constitution de la poutre.

Nous avons désigné par a et par <!• les aires de chacun des triangles unitaires eïfiés d'une travée. Ces aires sont assimi lées à des poids fictifs que l'on suppose appliqués suivant les verticales i et j de leurs centres de gravité et ce sont ces verticales qui ont été nommées par nous les trisectrices ci fiées.

2° On subdivisera ces aires en tranches verticales suffisamment étroites et, en construisant un funiculaire sur ces aires élémentaires (v. n° 196), on en déduira pour chaque travée :

(a) Le funiculaire u * (on sait que c'est toujours un trapèze). Admettons, par exemple, que ce soit le trapèze AIJB (fig. Il) pour la première travée et BI'J'C pour la seconde ;

(b) Les deux trisectrices eïfiées i et j :

(b) Elastiques — Le funiculaire curviligne complet du rectangle unitaire eïfié ne serait autre chose que Vélastiqueépure que prendrait la poutre, en supposant qu'elle soit soumise en tous ses points à un moment fléchissant constant égal au moment unitaire Nous désignerons celte élastique sous le nom de l'élastique p : chaque travée aura la sienne.

(c) Conseils pratiques. — On construira, pour chaque travée, les funiculaires des rectangles unitaires, c'est-à-dire les élastiques par la méthode que l'on voudra. Celle de M. Collignon (v. n° 196) est à recommander ; mais on aura le soin, si on l'applique, de ramener ensuite les funiculaires !i4> de toutes les travées à la même dislance polaire; elle pourrait être, par exemple, la demi-longueur de la plus grande des travées, ou une longueur quelconque, 10 mètres, 20 mètres, etc..

Si l'on prend toujours pour pôle, soit le milieu, soil,

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mieux encore, l'extrémité des travées , ainsi que nous l'avons recommandé au n° 196, on aura une distance polaire qui variera avec chacune d'elles et les funiculaires, ainsi que les pentes <2 et *, ne seront pas dessinés à la même échelle,

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Fig. 266

ce qui sera un inconvénient. Rien ne sera plus facile que de les y ramener en ampliflant toutes les ordonnées, et particulièrement l'ordonnée des sommets S ou S' du funiculaire a <ï>, obtenu par la méthode de M. Collignon, dans le rapport, soit de la demi-longueur, soit de la longueur totale de la travée, à la distance polaire uniforme choisie pour toute la poutre.

Cette nécessité de ramener tous les funiculaires à la même distance polaire s'imposera aussi pour les funiculaires des moments de charge dont nous parlerons plus loin.

On aura soin, également, de prendre la même base de réduction pour toutes les aires élémentaires suivant lesquelles on décomposera les aires totales de moments eïfiés.

Si, adoptant la méthode Collignon, on prenait pour chaque travée la distance polaire égale, soit à la demi-longueur, soit à la longueur totale de travée, il y aurait alors intérêt à prendre les bases de réduction inversement proportionnelles à ces longueurs ; dans ce cas, il seraitinutile de modifier, après coup, les funiculaires; ils seront tous dessinés à une même échelle, qu'il sera facile, d'ailleurs, de déterminer.

(d) Trisectrices et contre-verticales d'un appui. — Cela fait, remarquons qu'un appui quelconque B est accompagné de deux trisectrices ; la première, ji, répondant à l'aire 4> du triangle unitaire de droite de la travée qui le précède (ce sera sa trisectrice-avant), la seconde, i'V, répondant à l'aire il, du triangle unitaire de gauche de la travée qui le suit (ce sera sa trisectrice-arrière), et sur chacune d'elles sont supposées appliquées, comme le seraient des poids, les aires * et û1. Anticipons un peu sur ce qui va suivre et cherchons la résultante des deux aires fl> et i>,.

Nous nommerons contre-verticale de l'appui considéré B la ligne d'action de cette résultante.

Pour l'obtenir nous devrons diviser l'intervalle ji' des deux trisectrices dans le rapport inverse des aires 4> et Q, ou, ce qui revient au même, dans le rapport inverse des pentes des droites BJ et BI' ; voici le tracé à effectuer (fig. H).

JE est une horizontale ; par le point E où elle rencontre la trisectrice-arrière, on mène EF parallèle à BI' et on prend le point F où cette droite rencontre la ligne JB prolongée. La contre-verticale B'F passe parle point F.

En effet, on a

ÏÏF = JD X 4* = DE X ii, d'où

JD 12,