DE

(e) Résumé. — Centre fi d'un appui. — En résumé, les données élastiques d'un appui seront:

1° Ses deux trisectrices eiOées (trisectrice-avant et trisectrice-arrière) ;

2° Les deux pentes <ï> et ill des élastiques c'est-à-dire des funiculaires Q <t> de chacune des travées qui lui sont contiguës; ces funiculaires étant rapportés à la même distance polaire ;

3° La contre-verticale, tracée comme ci-dessus.

Nous représenterons dorénavant les contre-verticales en trait mixte et nous indiquerons leurs pieds par les mêmes lettres que les verticales d'appui, mais affectées d'un accent.

Exemple. A' indiquera la contre-verticale de l'appui n° 5.

Sur l'épure des moments (0g. I), plaçons sur la contre-verticale un point g situé à la distance ;j. de l'axe des abscisses. Ce point g résume, pour ainsi dire, en lui-même toutes les données élastiques de la poutre en ce qui concerne l'appui B. — Nous le nommerons le centre \u de la pile.

Nous placerons tout à l'heure sur chaque contre-verticale un point que nous nommerons le centre de correction de la pile et qui jouera un rôle considérable dans la théorie de la poutre continue.

286. Données de charges de la poutre. — (a) Elastiques indépendantes de charges. — On connaît les charges auxquelles sont soumises les travées de la poutre.

Imaginons que cette dernière ait été coupée au-dessus de ses appuis et ait été rendue libre, c'est-à-dire non encastrée sur chacun d'eux. Sous l'influence de ces charges, chaque travée de poutre, ainsi rendue indépendante, prendrait une élastique indépendante, que nous nommerons son élastique de charge. Nous avons appris à la construire; nous avons vu que pour cela il fallait :

1° Construire en AMB et en BMC (fig. 267-III) la représen-

PRELIMINAIRES

tative des moments. (La fig. 267 est la continuation de la fig. 266) ;

2" Eïfier cette représentative ((ig. III — ligne pointillée ; pour cette eïfication, v. n° 194);

3° Décomposer cette aire eifiée en tranches verticales et, sur les aires partielles de ces tranches, supposées concentrées en leurs centres de gravité, construire un funiculaire, lequel donnait à une certaine échelle l'élastique de charge (flg. IV).

On se rappellera que les réactions sur les appuis de l'aire totale des moments eïliés donnaient, au signe près, les pentes a et a' de ces élastiques au-dessus des appuis, sans qu'il fût, pour cela, nécessaire de construire entièrement cette dernière courbe.

(b) Pente de correction d'un appui. — Par conséquent ((ig. IV), en supposant que trois appuis consécutifs A, B et C soient en ligne droite, nous connaissons sur l'appui intermédiaire B la pente a de l'élastique indépendante de gauche et aussi la pente a' de l'élastique indépendante de droite ; et nous pouvons, en les ajoutant, savoir de quel angle TBT = a -ha' il faudrait faire tourner la tangente à l'élastique de gauche pour la faire coïncider avec la tangente à l'élastique de droite; sur la flg. IV, cet angle a + a' serait négatif, et il en sera toujours ainsi. Si les appuis ne sont pas

en ligne droite (flg. V), alors l'angle TBT' doit être augmenté algébriquement de la pente de dénivellation

Nous désignerons par la lettre S cet angle total dont il faudrait, avec les appuis dénivelés, faire tourner la tangente à l'élastique indépendante de gauche pour l'amener à coïncider avec la tangente à l'élastique indépendante de droite;

on aura 8 = a H- a' -4- Y- Nous appellerons cet angle o (ou plutôt sa tangente trigonométrique) la pente de correction de l'appui considéré. Voici pourquoi nous lui donnons cette appellation.

Cet angle existe, précisément, parce que, dans ce qui précède, nous avons supposé que la poutre était formée de travées indépendantes. Mais on conçoit que par l'addition de semelles et par un rivetage pratiqué au-dessus des piles, on pourrait solidariser les travées et rendre la poutre continue.

C'est en développant des moments, de grandeur convenable, au-dessus de chaque pile, que l'on pourra, statiquement, réaliser cette continuité, c'est-à-dire corriger les pentes des élastiques indépendantes pour les solidariser.

Nous nommerons moments sur piles, les moments (ou plutôt les couples) qu'il faudrait appliquer à la poutre audessus de chacun de ses appuis pour réaliser cette continuité; et comme ces couples auront précisément pour effet de corriger, en l'annulant, cette pente o, voilà pourquoi nous avons nommé cette dernière la pente de correction.

Nota. — Nous avons déjà parlé de pentes de correction lorsque nous avons étudié les poutres encastrées (v. n° 198). Dans le cas de la poutre continue, si cette dernière est encastrée sur la culée d'origine A0, la pente de correction o0

Fig. 268

sera celle qu'il faudrait imposer à une tige N, qui serait logée dans la boîte d'encastrement, pour la faire coïncider avec la tangente T à l'élastique indépendante de charge (sur la flg. 268, o0 est négatif).

Pour la culée d'extrémité An ce serait la pente 8„ à imposer à la tangente T' de l'élastique indépendante pour la faire entrer, suivant N', dans la boîte d'encastrement (sur la fig. 268, 8„ est négatif).

(c) Moment moyen de correction. — Posons-nous maintenant la question suivante :

Le moment unitaire ja produisait dans chaque travée une élastique n, dont les tangentes, au-dessus de l'appui B, faisaient entre elles une penle de correction S' égale à <l> + <>l Si l'on appliquait ce moment unitaire en sens contraire, il serait capable de détruire, c'est-à-dire de corriger, cette môme pente o'. Quel serait le moment uniformément appliqué, H, qui serait capable de corriger la pente de correction o que nous venons de trouver ci-dessus ? Tel sera le moment moyen de correction .

POUTRE CONTINUE. — CHANGES PERMANENTES

Il résulte de tout ce qui précède que les pentes partielles et aussi la somme des pentes que peuvent produire deux moments constants II et ;jl sont proportionnels à ces moments ; ce qui donne la relation :

d'où

Calculons, ou plutôt construisons, cette quantité II et, une fois que nous la connaîtrons, portons-la de B' en G (fig. VI) dans le sens négatif, sur la contre-verticale ; cela nous donnera un point G, que nous nommerons le centre de correction et que nous construirons de la manière suivante.

(c/) Centre de correction de l'appui. — Sécante \i. —

Pour la facilité du raisonnement, nous avons reproduit (fig. VI) en JB et en BP les pentes des élastiques n de la figure 266-III, et aussi en B'G la contre-verticale. Cela fait :

1° On a 'construit en S'S une sécante verticale telle que le segment intercepté entre les lignes I'B et JB... soit égal au moment unitaire \i. C'est pour cela que nous nommerons cette droite la sécante \i. La mise en place de cette sécante \j. est évidente sur la fig. VI ;

2° On a prolongé la sécante [j- et on a pris les segments 1 et 2 interceptés sur elle (fig. IV) par les tangentes aux élastiques de charge et (fig. V) par les lignes d'appui ;

3° On a fait le total algébrique de ces deux segments, ce

qui a donné une longueur

II = (1 +2

qui a été portée de B' en G sur la contre-verticale. Cette construction est juste; en effet, on a évidemment

1 = BS'X(a-

2 = BS7 X y jj. = BS7 X («'

d'où II = BS'(a-4-a'-+-

■ûi)

et par suite

ce qui est la relation (1) écrite plus haut.

(e) Échelles des dénivellations. — Il est indispensable que cette pente de dénivellation y soit rapportée à la même échelle que toutes les ordonnées d'élastique et, par conséquent, que toutes les pentes de ces élastiques.

On obtiendra tout naturellement ce résultat en dessinant les ordonnées des points d'appui à la même échelle que les ordonnés des élastiques.

Exemple : Si le point d'appui B est, dans l'espace, à 0m,152 au-dessus du point d'appui A et que l'échelle des ordonnées, calculée comme il a été indiqué au n° 181, fig. 147, soit de lm,808 pour lm, la différence des hauteurs de B et de A, sur l'épure, sera :

0m,152 X 1,808 = Om,2748.

Ces préliminaires ont été un peu longs, mais ils vont nous permettre d'exposer rapidement la théorie delà poutre continue dans le cas le plus général.

Solution graphique du problème de la poutre continue

287. Lemme du moment trisecteur.— Nousallonsdémontrer, d'une autre manière, le lemme du n° 197. Soit: M et M' (fig. 270-1) deux moments sur piles et soit AMM'B la représentative trapézoïdale des moments qu'ils développent sur la poutre. On supposera ce trapèze décomposé en ses deux triangles AMB et BMM'; chacun de ces triangles sera eïfié et leurs aires, lesquelles ont pour expression (v. n° 193),

et

seront supposées appliquées sur les trisectrices eïfiées, I et J.

On construira, par la méthode Collignon (tig.II et III), sur ces aires, un funiculaire, que nous nommerons le funiculaire MM', et l'on obtiendra le quadrilatère acdb (fig. III). Son premier côté ac et son dernier côté db seraient tangents à l'élastique des moments sur piles (nous la nommerons l'élastique MM') et, par suite, en feraient connaître les pentes ? et p'.

Nota. — Sur la fig. 2G9, dessinée en face, nous faisons les

mêmes constructions, mais en supposant que les moments M et M' sont égaux entre eux et au moment unitaire a.

Je dis, tout d'abord, que l'ordonnée d'origine aa' et l'ordonnée d'extrémité bb' du funiculaire MM' (fig. 270-111) sont proportionnelles aux moments M et M' delà fig. I. En effet, supposons que le funiculaire (fig. III) ait été tracé par la méthode de M. Collignon (fig. II). Ses ordonnées d'origine et d'extrémité aa! et bb' sont égales aux segments 1 et 2, marqués d'un trait fort, de la fig. II ; et puisque ces derniers sont toujours comptés sur les trisectrices eïfiées il en résulte que l'on a, en comparant les figures 270-III et 269-III (K désignant un rapport constant facile à évaluer),

Wd1

270) = ■ (fig. 269)

et de même, puisque (tîg. 269) le funiculaire û-* est toujours un trapèze.

^-'(fig- 270) = ^- (fig. 269) = K.

SOLUTION GRAPHIQUE DU PROBLÈME DE LA POUTRE CONTINUE

d'où l'on conclut

bb'

Le trapèze aa'b'b qui enveloppe le funiculaire MM' (fig. 270-111) est donc une dilatation, dans le rapport constant K, du trapèze des moments M et M' (fig. I).

Cela est vrai pour tous les cas et, en particulier, pour celui où les moments sur piles M et M' seraient égaux au moment unitaire <x (flg. 209).

Cela posé, considérons (Dg. 270-1) un des deux moments

Moments MM'

Fig. :'69

trisecteurs (celui de droite N' par exemple) (1) et comparons-le à l'ordonnée correspondante De/ du funiculaire MM' (fig. III) ; on aura, en appelant x la distance de la trisectrice à l'appui B et en remarquant que P' est la pente de l'élastique MM',

Dd = x X P'.

Il résulte de ce qui précède que

Du! = K X N', d'où ;3

Cette formule peut se traduire ainsi :

« La pente p' de l'élastique MM' sur un des appuis (ici « celui de droite) est proportionnelle au moment trisecteur « (ici N') correspondant. »

(1) Dans le u° 197 nous désignions les moments trisecteurs par la lettre majuscule grasse M. Nous avons remarqué que cetle nolation amenait quelque confusion; c'est pourquoi nous les désignerons dorénavent par la lettre majuscule ordinaire N.

Un accent (N') indiquera le moment trisecteur de droite et uu indice marquera le numéro de la travée.

Exemple : N3 voudra dire : le moment trisecteur de gauche de la travée n° 3; N5' sera le moment trisecteur de droite de la travée n° 5. Un appui, l'appui n° 4 par exemple, aura sou moment trisecteur-avant, qui sera N'v et son moment trisecteur-arrière, qui sera N5.

Cette relation sera vraie pour tous les cas et, en particulier, si M = M' = \i, comme sur la Dg. 269. Alors le moment trisecteur est, lui aussi, égal à ;-i ; l'élastique devient ce que nous avons appelé l'élastique ;j. (fig. 209 III); ses pentes sur les appuis sont i> et »i> et l'on aura aussi :

d'où l'on déduit, en faisant le quotient

Tel est le lemme du moment trisecteur déjà démontré. On peut l'énoncer comme suit :

Préliminaires . — 1° Une travée est soumise une première fois à deux moments sur piles, égaux chacun à un moment unitaire [-1, arbitrairement choisi. Elle prend, sous leur influence, une élastique, que nous avons appelée l'élastique [x, qui possède au-dessus de l'un de ses appuis une certaine pente * (flg. 269-111).

2° On soumet la même poutre à deux moments sur piles différents M et M'. Elle prend une autre élastique que nous avons appelée l'élastique MM', qui possède sur le même appui une autre pente p' (fig. 270-III).

3° Les moments sur piles M et M' développent dans la travée deux moments trisecteurs N et N' ; on prend celui des deux (N') qui est voisin de l'appui considéré. Cola posé :

Lemme. — Le moment trisecteur est au moment unitaire comme la pente de l'élastique MM' est à la pente de Vêlas tique [J-.

En résolvant l'équation (1) par rapport à p' il vient :

288. Théorème des deux moments trisecteurs d'une pile. — Reprenons (flg. 271) les deux travées consécutives des figures 266 et 267 et supposons connus les trois moments sur piles, M, M' et M", qu'il faudrait appliquer audessus de chacun des appuis A, B et C pour annuler la pente de correction S trouvée ci-dessus. Dessinons (fig. II) les représentatives trapézoïdales AMM'M"C des moments de correction qui en sont la conséquence; représentons en I, J et 1', J' les trisectrices et considérons seulement la trisectrice-avant Jet la trisectrice-arrière l' de l'appui intermédiaire B.

A la première trisectrice répond le moment trisecteuravaut N' et à la seconde le moment trisecteur-arrière N,.

Représentons aussi la contre-verticale B' et plaçons sur elle le centre de correction G trouvé ci-dessus (v. n° 286-rf)

Nota. — Pour abréger le langage, nous confondrons les moments, (les moments trisecteurs, par exemple), avec les points C et D qui terminent leurs ordonnées représentatives. Cela posé, le théorème s'énonce ainsi :

224 POUTRE CONTINUE. -

Théorème. — La droite qui joint les moments trisecteurs d'une pile passe toujours par le centre de correction de cette pile.

En effet, soit p' (fi g-. 271-1) la pente de l'élastique indépendante que produiraient, dans la première travée, les

Fig. 271

moments sur piles M et M'; en vertu du lemme précédent on a :

N' lJ-

Soit fij, la pente de l'élastique indépendante que produiraient, dans la seconde travée, les moments sur piles M' et M"; on aura, d'après le même lemme :

Mais la somme des contre-pentes (3' et fîi doit être égale à la pente de correction 3 que les moments sur piles ont précisément pour mission de détruire, et l'on sait que celte pente de correction o est égale à la somme des pentes a -+- «' des élastiques indépendantes de charge augmentée de la pente de dénivellation •( de l'appui :

On aura donc :

N' Ni . ■ .V <

— <ï»H ut = o, d ou

(i) N'*-t-NA = o,a.

Cela posé, assimilons $ et 12, à des poids fictifs qui seraient attachés en C et en D aux extrémités des moments trisecteurs, et dont les points d'attache C et D glisseraient sur les trisectrices.

Le premier membre de celte équation (1) n'est autre chose que la somme des moments de ces poids par rapport à la base AC, et comme le second membre est constant, cette équation exprime que la résullanle de ces poids passe par un point fixe dont nous allons déterminer la position.

Ce point se trouve d'abord sur la direction de la résultante des forces * et û,, et nous avons vu que c'était la contre-ver-

CHARGES PERMANENTES

ticale. De plus, le second membre de l'équation [i) peut s'écrire

; «!>-{- a.), * -1- il,

ce qui prouve que la hauteur H du centre des deux poids fictifs * et q',, est

* + ûi

Cette hauteur II est précisément celle du centre de correction G trouvée plus haut (v. n° 280-c et d). Le théorème est donc démontré.

Nous allons l'appliquer à la recherche graphique des moments sur piles pour toute la poutre.

289. Théorème des foyers. — (a) Enoncé. — « Si dans une « travée la ligne représentative des moments de correction « passe par un point fixe, qui sera nommé un foyer, dans « touteslesautreslravéesellepassera aussipardespointsfixes « qui seront nommés les foyers conjugués du premier ».

{b) Démonstration. — Il suffit évidemment de démontrer le théorème pour deux travées consécutives.

Soit Fi (fig. 272) le foyer d'une travée (nous supposerons que c'est la travée n° 1) ; soit B la verticale d'appui, B' la contre-verticale, G le centre de correction, J la trisec trice-avan t et 1' la trisectrice-arrière de l'appui B. Imaginons que FjE soit la droite représentative des moments de correction dans la première travée ; on prend en C son intersection avec la trisectrice-avant ; d'après le théorème des deux moments trisecteurs, si l'on joint GG et si l'on prolonge jusqu'à la rencontre en D avec la trisectrice-arrière, on aura, en I'D, le moment trisecteur-arrière et, par suite, ED sera la droite des moments dans la seconde travée. Cela montre, en passant, que si l'on connaissait un segment de la représentative des moments de correction dans une seule travée on en déduirait la continuation de celte représen-

Fig 272

tative dans la travée suivante et, ensuite, dans toutes les autres.

Menons par le même foyer Fi une autre droite représentative, FiE'; nous en déduirons, de la même manière, les

SOLUTION GRAPHIQUE DU PROBLÈME DE LA POUTRE CONTINUE

deux moments trisecteurs G' et D' et, comme conséquence, le segment E'D' de la représentative des moments dans la deuxième travée. Je dis que E'D' rencontre ED en un point fixe Fî. Pour justifier cette assertion, il suffit de démontrer que le rapport EF2 : F2D est constant.

On a, en désignant par K et par K' des constantes dont l'évidence sera manifeste sur la figure :

(1) — -, - — — , d un autre cote