FF

~=K d'où EE' = KXCC,

?S = K' d'où DD' = K'XGG'.

Donc en substituant dans (1)

— 2 - K' X K = (constante. G. 0. F. D.

(c) Remarque n° 1. — Parmi les positions possibles de la première droite FjE il y aurait celle F,G, qui passerait par le centre G. Il est évident, alors, que le foyer F, conjugué de Fj, se trouvera sur le prolongement de cette droite. Par conséquent, si le recoupement de la ligne brisée FiED avec la ligne droite F{G prolongée est de bonne qualité, nous conseillerons d'employer cette dernière ; sinon il faudra mieux avoir recours à une seconde ligne brisée FiE'D', car on sera toujours maître de la choisir de manière à avoir un bon recoupement.

{d) Focales. — La position de la verticale F2f2 qui contient le conjugué du foyer Ft ne dépend que des rapports K' et K, c'est-à-dire, en définitive, des distances auxquelles sont entre elles les trisectrices, la verticale et la contre-verticale d'appui, la verticale du foyer Fi ; cette position est donc indépendante de la hauteur B'G du centre de correction ; de sorte que si, le premier foyer restant fixe, ou tout au moins se déplaçant sur sa verticale, les charges variaient ainsi que la pente de dénivellation, cela aurait pour effet de faire varier le point G sur la contre-verticale ; mais chaque foyer resterait toujours sur une même verticale que nous nommerons une focale.

290. Résumé de la marche à suivre (fig. 273). — (a) Foyers des diverses travées. — Montrons maintenant que le problème de la recherche graphique des moments sur piles est théoriquement résolu.

Je dis que, dans chaque travée de rive, il existe toujours un foyer, c'est-à-dire un point pour lequel on connaît immédiatement le moment de correction. En effet, raisonnons sur la première travée; deux cas seulement peuvent se présenter :

1er Cas. — La poutre est libre sur la culée ; alors au-dessus

de cette culée A0 le moment fléchissant est nul ; dans ce cas le point A0 sera le foyer de gauche de la travée de rive.

2° Cas. — La poutre est encastrée sous une pente connue 70 et l'on a pu déduire de cette pente, combinée avec la pente a0 de l'élastique que prendrait la poutre, supposée libre, sous l'influence des charges appliquées sur la seule travée de rive, la pente de correction o0. Nous avons vu (n° 199) que, dans ces conditions, le moment trisecteur de gauche N0 était connu et déterminé par la formule.

I* Ûb '

L'extrémité de l'ordonnée de ce moment trisecteur constituera, dans ce cas, le foyer de gauchë de la première travée.

[b) Succession des épures à faire. — Suivre sur la figure 273 (p. 22G) : nous l'expliquons sous forme de légende :

(Fig. I). Représentatives des moments de charges, en supposant la poutre coupée au-dessus de chacun de ses appuis.

(Fig. II). Positions relatives des appuis et pentes de dénivellation Yo> Yu etc., qui en sont la conséquence. Sur la culée d'origine A0 la poutre est supposée encastrée dans la direction A0T0 ; sur la culée d'extrémité, A,, elle est supposée posée librement.

(Fig. III). On a cherché dans une autre épure, non reproduite ici, les données élastiques, lesquelles se traduisent : l°par les trisectrices eïûées ij, ij... de chaque travée ; 2° par les contre-verticales A;, A2,.... et 3° par les centres de correction G,, G2, G3 La poutre étant encastrée à l'origine, il

existe un foyer F, sur la trisectrice i de la travée de rive, dont l'ordonnée est calculée comme il vient d'être dit cidessus. De ce foyer Fi on a déduit, en appliquant le théorème des deux moments trisecteurs, les foyers de gauche F2, F3 et F 4 de chaque travée.

(Fig. IV). La poutre étant libre sur la culée A,, le point Av est un foyer, duquel on a déduit, de la même façon, les foyers de droite F3, F'2, F', de chaque travée.

(Fig. V). On y a reporté les abscisses et les ordonnées de tous les foyers. On a joint ces foyers et on a obtenu en M0, M,, M2, M3, At, la représentative polygonale des moments de correction.

Comme vérification, en joignant les foyers de chaque travée, les droites ainsi obtenues doivent se recouper sur les verticales d'appui en des points M1,M2,M3 qui font connaître les moments sur piles.

(c) Nota. — Il est évident que les figures III, IV et même V pourraient été groupées sur une même épure ; nous les avons séparées afin de rendre les explications plus faciles à suivre.

STAB. 29

226 POUTRE CONTINUE

(d) Emploi des focales. — Supposons (fig. VI) que l'on ait tracé les focales ff'-ff ... de chaque travée; alors la construction se simplifie. En effet, soit Fj le foyer gauche de la l'° travée; on joint FiG, et l'on prolonge jusqu'à la rencontre avec la focale gauche f de la 2e travée, ce qui donne en F2 le foyer gauche de cette travée, et ainsi de suite ; on

trouve donc très vite les foyers de gauche, en menant successivement les lignes F2G2F3 — F3G3F4.

En partant de A,, on obtiendra de même en F3 le foyer de droite de la 3° travée et, ensuite, tous les autres. Nous n'avons pas indiqué ce dernier tracé sur l'épure (fig. VI). Ce tracé simplifié est surtout commode pour étudier les effets d'une charge mobile sur une poutre continue, ainsi que nous le verrons plus loin.

(c) Moments définitifs. — En ajoutant, analytiquement, dans chaque travée les représentatives trapézoïdales des moments de correction (fig. V) avec les représentatives déjà tracées (fig. I) des moments de charge, on aura en

CHARGES PERMANENTES

M0, mu M4, m2 m,A,(des représentatives des moments définitifs (fig. 273-V).

Les parties couvertes de hachures pleines sont celles entre lesquelles on devra compter les moments ; il y aura des moments négatifs et des moments positifs. Aux points to, w, (o. . . ils seront nuls et l'élastique définitive y présentera des inflexions.

Si l'on veut faire l'épure de la répartition des tôles, comme il est dit aux n06 2 5 7 , 259 et 263, on retournera symétriquement une des aires, la positive par exemple, en ww'jW, oW2w, etc.

(d) Efforts tranchants. — Les pentes des représentatives des moments de charge feraient connaître les efforts tranchants, dans le cas où la poutre serait coupée au-dessus de chacun de ses appuis. Une fois que la continuité de la poutre sera établie, ces efforts tranchants s'augmenteront, algébriquement, des pentes des représentatives des moments de correction de la fig. V; et comme ces représentatives sont des droites dont la pente (positive ou négative) est constante dans toute l'étendue d'une même travée, on voit que la continuité aura pour effet d'élever ou d'abaisser d'une quantité constante, égale à cette pente, les représentatives primitives des efforts tranchants. Cette quantité sera constante pour chaque travée, mais variable d'une travée à une autre.

(e) Réactions des appuis. — La réaction d'un appui est toujours égale à la force qu'il faudrait que cet appui exerçât sur la poutre pour faire passer son effort tranchant de la valeur qu'il possède immédiatement en avant de l'appui à celle qu'il possède immédiatement après.

Or, considérons (v. plus haut, fig. 81) un bi-plateau ou plutôt un tri-plateau (v. fig. 260) de la poutre, situé au droit d'un appui. Si une représentative de moments, en nous dirigeant de gauche à droite, selon nos conventions, atteint cet appui avec une pente positive, cela veut dire qu'en ce point l'effort tranchant est positif, c'est-à-dire que cet appui doit développer une force tendant à faire descendre le plateau de droite par rapport à celui de gauche, c'est-à-dire une force négative, et inversement.

Si une représentative de moments quitte l'appui, toujours en nous dirigeant de gauche à droite, avec une pente positive, cela veut dire que l'appui doit développer une force tendant à faire monter le plateau de gauche par rapport à celui de droite, c'est-à-dire une force positive, et inversement. Nous pouvons donc poser le principe suivant :

Principe.— La réaction d'un appui sur lequel reposent deux poutres se compose de deux parties : la première est égale à l'effort tranchant de la poutre qui le précède, pris en signe contraire; la seconde est égale à l'effort tranchant de la poutre qui le suit, pris avec son signe. La réaction totale est

SOLUTION GRAPHIQUE DU PROBLÈME DE LA POUTRE CONTINUE

donc égale à la différence algébrique entre l'effort tranchant qui suit et l'effort tranchant qui précède l'appui.

Algébriquement, soient Y, Y' et Y" les réactions primitives qui eussent été développées par trois appuis consécutifs A, B et C (suivre sur la fig. 276), en supposant que la poutre soit coupée au-dessus de chacun d'eux.

Sur l'appui intermédiaire B, la pente de la représentative MM' donne l'effort tranchant-arrière qui serait dû aux seuls moments de correction M et M', et elle a pour expression

- — ; la pente de' la représentative M'M" donne l'effort

tranchant-avant qui serait dû aux seuls moments de correc-

tion M et M , et elle a pour expression — - Par

conséquent, en faisant la différence algébrique entre la se-

conde et la première de ces deux expressions et en l'ajoutant à la réaction primitive Y' de l'appui intermédiaire B, on aura pour la réaction définitive X' 'M

ce qui arrivera souvent

et si

Géométriquement, le deuxième terme du second membre de ces équations indique la correction apportée, par le fait de la continuité de la poutre, à la réaction primitive Y' de l'appui. Cette correction n'est autre chose que la pente (positive ou négative) dont il faudrait faire tourner la représentative MM' de la travée de gauche pour l'amener à coïncider avec la représentative M'M" de la travée de droite.

| 3. — Solution algébrique du problème de la poutre continue