Recherche algébrique des moments sur piles

L'équation précédente est du premier degré en M, M' et M'', qui sont les inconnues. Il est facile de voir qu'il y aura toujours autant d'équations analogues qu'il y aura de moments sur piles à déterminer.

En effet : imaginons qu'il y ait 8 travées, c'est-à-dire 7 piles et 2 culées : en tout 9 appuis.

1er Cas. — Les deux culées sont à encastrement. Il y a donc 9 moments à déterminer, et comme on pourra, pour chaque appui, mettre en équation le théorème, il y aura donc aussi 9 équations.

2e Cas. — Les deux culées sont à appui libre. Dans ce cas les moments fléchissants y sont nuls ; il n'en reste que 7 à déterminer. En mettant en équation pour chacune des 7 piles le théorème précédent, on aura 7 équations.

3e Cas. — Une des culées est libre, l'autre est à encastrement. Il y a 8 moments à trouver et on disposera de 8 équations.

Ces équations sont faciles à résoudre algébriquement. Nous pourrions indiquer une méthode pour les résoudre graphiquement, mais elle nous conduirait aux mêmes tracés que ci-dessus (I).

(1) Pour celle solution, voir Annales du Conservatoire des arts et métiers, 2e série, tome III, p. 194.

228 POUTRE CONTINUE. - CHARGES PERMANENTES

| 4. — Poutres continues a section constante

293. Emploi des poutres à section constante — (a) En construction réelle. — Nous trouverons des poutres continues, à section constante, lorsque nous étudierons:

1° Les poitrails ou les poutres de planchers à grande portée, poutres qu'il sera bon de soutenir en plusieurs points intermédiaires B, C (flg. 274-1) ;

2° Les poutres armées (flg. II);

3° Les arbalétriers de fermes (flg. III) qui ne seront autre chose que les poutres armées de la flg. II que l'on aura placées dans une position inclinée.

Dans les poutres armées (flg. II et III), les tirants portent en a, a, a... des êcrous-tendeurs qui permettent, en les serrant plus ou moins, de modifier à volonté les positions relatives des appuis intermédiaires B, C, D et, par consé-

Fig. 27i

quent, de les placer, soit en ligne droite, soit en ligne brisée, réalisant telles pentes de dénivellation que l'on voudra.

La section sera constante parce que, dans ces pièces de peu d'importance, le bénéfice que l'on retirerait, comme poids de métal employé, à faire varier le moment de résistance de la section par des additions de semelles serait compensé, largement, par la plus-value dont sont frappés les fers composites par rapport [aux fers employés bruts de laminage. De plus, pour ces cas simples, les charges appliquées aux travées se ramèneront toujours aux deux types connus, savoir :

(a) Charge P uniformément répartie.

(6) Charge P' concentrée au milieu de la portée.

[b) Comme avant-projet de poutres composites. —

Lorsque les poutres continues sont employées pour édifier de grands ponts, pouvant atteindre de 125 à 150 mètres de portée par travée, on les construit alors en tôles rivées à âmes pleines ou à âmes évidées (treillis, triangles, etc..) et, dans ce cas, les épaisseurs de semelle des tables doivent varier de manière à ce que la poutre se rapproche le plus possible d'une pièce d'égale résistance. Les dimensions seront donc à calculer pour chaque section. Mais on ne peut arriver à connaître exactement les épaisseurs à donner aux tôles que par des études ou, pour mieux dire, par des approximations successives. C'est pourquoi, pour les poutres continues très importantes, on commence d'abord par supposer: 1° que la section (inconnue d'ailleurs) est constante ; 2° que les appuis sont de niveau. Cela permet de faire une première étude de laquelle on déduit: 1° une répartition déterminée des tôles et 2°, s'il y a lieu, les dénivellations à imposer aux appuis pour améliorer autant que possible les moments fléchissants maxima.

Dès lors, une fois cette première étude achevée, on se trouve en présence d'une pièce dans des conditions de position, de charge et de constitution parfaitement définies.

Sur cette pièce on résout alors, comme nous venons de l'indiquer, le problème général de la poutre continue, à section variable, reposant sur des appuis dénivelés et, de cette seconde étude, on déduit de nouvelles représentatives de moments fléchissants.

Cela permet de faire une nouvelle répartition des tôles et de modifier, au mieux, les dénivellations des appuis.

Dès lors, on a, en quelque sorte, une troisième poutre sur laquelle on pourrait faire une troisième étude permettant de serrer de plus près encore la solution définitive

Mais, en général, les résultats de la seconde étude, et souvent même ceux de lapremière, donneront, en pratique, une approximation très suffisante à laquelle on pourra se tenir.

Pour toutes ces raisons, il importe donc d'étudier les poutres homogènes (E constant) à section constante (I constant) reposant sur appuis de niveau (pente de dénivellation toujours nulle y = 0).

293. Solution graphique simplifiée. — (a) Suppression de l'eïfication. — Pour chaque point, les facteurs E et I sont constants. Les représentatives de moments ne changent pas de nature après leur eïfication ; et, en particulier, les triangles, les trapèzes, les paraboles restent des triangles, des trapèzes et des paraboles.