POUTRES CONTINUES A SECTION CONSTANTE

Dans toutes les formules où entre le dénominateur El on pourra le chasser à la condition de le mettre en facteur dans ceux où il n'entre pas. Il n'y a qu'un seul terme de ce genre, c'est la pente de dénivellation y

Par conséquent, nous garderons partout les moments naturels, c'est-à-dire non ei/iés, et nous multiplierons les pentes y Par El.

Seulement il faut remarquer, dès maintenant, que les ordonnées et que les pentes des élastiques qui seront fournies par les funiculaires construits sur les moments naturels devront être, après coup, divisées par le facteur El.

[b) Trisectrices et contre-verticales. — Dans une travée les triangles construits sur le moment unitaire \i, n'étant pas e'ïfiés, sont égaux entre eux et l'on a (fig. 275)

lre travée

2e travée

al'

Les trisectrices se placent aux tiers véritables des travées en IJ, I' et J'.

La contre-verticale B' doit partager l'intervalle JE dans le rapport inverse des aires 12 et ; et comme l'on a :

et par suite

<>, 1' Bl' * ~l BJ BP JB' BJ B~T ' Il en résulte que l'on aura :

JB' = BÏ\

ce qui veut dire que pour avoir le point B' il suffira de retourner, bout pour bout, la ligne JI' sur laquelle aurait été marqué le point B. La nouvelle position de ce point B donnera le pied B' de la contre-verticale.

(c) Centre de correction. — Sa hauteur H, laquelle (v. n° 186-c et d) n'est autre chose qu'un moment moyen de correction, est donnée, en se rappelant que o = « + + par la formule connue :

II a -+- a' -|- .

on a

Quant à la pente de dénivellation •( elle doit être multipliée, ainsi que nous l'avons dit, par le facteur El ; a et y.' sont les réactions des aires naturellesdes moments décharge sur l'appui B. On aura donc :

II x 4- a' + (7 X El)

d'où

ll{ï±D =a + a' + (YXEI).

Si la dénivellation est nulle le terme en disparait. Les quantités a et a' dépendent de la nature des charges; nous allons en chercher les expressions pour les deux cas adoptés.

1er Cas. — Poids concentrés (fig. 276-1). — Soient P et P' les poids concentrés au milieu des travées ; les moments maxima sont 1/4 P/ et 1/4 P7'. Les aires représentatives

sont des triangles dont les surfaces sont 1/8 P/2 et 1/8 PI'2, et qui donnent, sur l'appui B, une réaction égale à la moitié de leur somme ; on aura donc, dans ce cas :

d'où en substituant dans la formule (1) qui donne H et en supposant que 7 = 0

ce qui permet de calculer la hauteur H.

On peut la construire très simplement, en remarquant que O et O' étant les milieux des travées, II serait la hauteur d'équivalence d'un rectangle qui, ayant pour base la ligne 00', serait équivalent aux deux demi-triangles de moments OMB et BM'O'. On opère comme suit (fig. 277).

1° On joint les milieux S et T des deux obliques MB et BM'; 2° on prend en V le point de rencontre de la ligne ST

POUTRE CONTINUE

CHARGES PERMANENTES

avec la verticale du point B ; et, 3° on retourne bout pour bout cette ligne : le point V prend la position W ; le point W est à la hauteur H.

Ce tracé résulte du problème sur les aires résolu aux n°s 53 et 54.

Fis

11 ne restera plus qu'à porter de B' en G, dans le sens négatif, cette hauteur H sur la contre-verticale pour avoir le centre de correction, G, de l'appui.

2e Cas. — Poids uniformément répartis. — Les représentatives des moments sont (flg. 276-III) des paraboles dont les ordonnées centrales D" et E" ont pour valeur les moments maxima, c'est-à-dire: 1/8 PZ et 1/8 PT.

Les aires de ces paraboles sont égales aux deux tiers de celles des rectangles enveloppants. Elles ont donc pour valeurs 1/12 PZ2 et 1/12 P'Z'2 ; elles donnent, sur l'appui B, une réaction qui est égale à la moitié de leur somme; on aura donc, dans ce cas,

d'où, en substituant dans la formule (1) et en supposant que y = 0

De cette équation on tirera la hauteur H. On remarquera qu'elle est les 2/3 de la valeur trouvée précédemment, ce qui, pour la construire, permet d'opérer comme suit (flg. 278) :

1° Doubler les ordonnées centrales OM et O'M' des paraboles, ce qui donne les points N et N'; 2° mener les obliques BN et BN' et prendre leurs milieux S et T ; 3° mener la droite ST, prendre son recoupement V avec la verticale d'appui et la retourner bout pour bout, ce qui amènera V en W; 4° prendre les 2/3 de la hauteur du point W ainsi obtenu ; cela donnera la hauteur cherchée H, hauteur qu'il ne restera plus qu'à porter de B' en G' dans le sens négatif, sur la contre-verticale, pour avoir le centre de correction.

On connaît donc, dans les deux cas, pour chaque pile, la verticale B, la contre-verticale B' et, sur cette dernière, le centre de correction G; par conséquent, on pourra réaliser le tracé graphique indiqué plus haut (v. n°290).

Dans la pratique la poutre est toujours posée librement sur les culées, c'est pourquoi ces derniers seront toujours des foyers, desquels on déduira tous les autres.

Un encastrement, dont la pente serait bien calculée, permettrait, il est vrai, de réduire les moments fléchissants surtout dans la travée de rive. Mais, d'une part, il serait très difficile de réaliser cet encastrement sous l'angle calculé ; d'autre part on ne pourrait le maintenir sous cet angle qu'en exécutant autour de la poutre des maçonneries coûteuses et en noyant dans ces maçonneries d'assez grandes quantités de métal. C'est pourquoi l'on renonce aux encastrements sur les culées. Il est préférable de réduire la portée des travées de rive et, s'il y a des améliorations à apporter dans les représentatives des moments fléchissants, de chercher à les obtenir par des modifications dans les dénivellations des appuis intermédiaires.

295. Solution algébrique simplifiée. — Equations de Bertot et Clapeyron. — Dans le cas de la poutre homogène, à section constante, le théorème des trois moments fournit une équation dont la forme, très simple, a été donnée pour la première fois par les Ingénieurs Bertot et Clapeyron.

L'aire trapézoïdale MM'M" des moments de correction, non eïfiés (v. plus haut flg. 276-11), donne sur la pile B les réactions suivantes :

Triangle G, , . .

Ml 1

Ml.

qM7.

Triangle G3 . . .

• irx3

= 2ir;

Triangle G,. .

Soit, en faisant la somme :

-ÏMl- 6L

En substituant cette expression dans l'équation des trois moments (v. n° 291) et en remplaçant oc et a' par les valeurs trouvées au numéro précédent, on obtient les équations suivantes : 3 est à multiplier par El (v. n° 295 a).

Charges P et P' concentrées au milieu :