Préliminaires

302. — Position de la question. — On se propose, connaissant la nature et l'intensité des surcharges susceptibles d'agir sur une poutre continue, d'étudier les combinaisons à réaliser avec elles, sur les différentes travées, pour obtenir les moments fléchissants et les efforts tranchants les plus grands en chaque point. Voici la marche que nous suivrons:

1° Nous supposerons que toutes les travées, sauf une seule, la quatrième par exemple, sont libres de toute charge, même de leur poids propre (fig. 283).

2° Sur la travée considérée, nous ferons agir toutes les surcharges qu'elle peut avoir, à un instant donné, à supporter.

3° Nous opérerons de même pour chaque travée ; après quoi ;

4° Nous prendrons toutes les combinaisons possibles des travées ainsi chargées ou, plutôt, toutes les combinaisons les plus défavorables ; nous ajouterons analytiquement les représentatives qui leur seront dues et les enveloppes des contours ainsi obtenus nous donneront les représentatives les plus défavorables ; c'est en se basant sur elles que nous calculerons les dimensions de la poutre en chaque point.

303. Effets produits par une seule travée chargée. — (a) Moments de répercussion dans les travées vides. — On rappelle (v. n° 290) que, si l'on connaît le Foyer F d'une travée, pour avoir son correspondant F' dans la travée contiguè il faut joindre le premier foyer au centre de correction G de l'appui intermédiaire et prendre son point de rencontre F' avec la focale suivante. Le centre de correction est situé sur la contre-verticale et sa hauteur, H, est donnée par la formule connue (v. n° 286-rf)

dans laquelle a et a' sont les pentes que prendraient sur l'appui les élastiques dues aux charges, en supposant la

poutre coupée sur les appuis; y est la pente dédénivellation, H est un moment unitaire arbitrairement choisi ; * et ii, sont les pentes des élastiques <x, c'est-à-dire des élastiques que le moment p., supposé appliqué d'une manière générale sur toute la poutre, ferait prendre à sa fibre neutre au-dessus de l'appui.

Par conséquent, s'il n'existe pas de charges, a et a' sont nuls; si les appuis sont en ligne droite, y est nul, le numérateur du second membre est donc nul et il en est de même de la hauteur H.

En résumé : le centre de correction de toute pile qui sépare deux travées non chargées et de niveau est à une hauteur nulle, c'est-à-dire se confond avec le pied de la contre-verticale.

Cela étant établi, supposons (flg. 283) que nous ayons une poutre continue à 7 travées, c'est-à-dire à 8 appuis de niveau et que une seule de ces travées, la quatrième par exemple, soit chargée d'une manière quelconque.

Pour plus de généralité nous admettons que la poutre est encastrée horizontalement (c'est-à-dire sous un angle d'encastrement nul Y<> = 0)> sur la culée A0, tandis qu'elle est librement posée sur la culée A7.

Nous savons dès lors que, dans la travée de rive n° 1, le pied ft de la trisectrice de gauche est un foyer, car le moment trisecteur correspondant (v. n° 288) a pour valeur

N go + Vo

Or a0 = 0 puisque la travée de rive n'est pas chargée, Y„ = 0 puisque l'encastrement est horizontal; donc N = 0.

Dans la travée d'extrémité n° 1, c'est la culée A7 qui est un foyer.

Ainsi donc, à gauche comme à droite de la travée chargée, il existe un foyer fi et un foyer fn de hauteur nulle. Rai-

0 Ce chapitre intéresse surtout les Ingénieurs.

PRELIMINAIRES

sonnons en partant de l'un d'eux, ft par exemple, qui est le foyer de gauche de la travée n° 1.

Pour avoir le foyer de gauche de la travée n° 2, on joindra le point fi au centre de correction de l'appui A! ; mais comme ce centre est à une hauteur nulle, la ligne ainsi menée sera l'horizontale A0At et sa rencontre avec la focale de gauche de la travée n° 2 donnera le pied f2 de cette focale de gauche. Il en sera de même, tant que nous aurons des appuis dont les centres de correction seront à des hauteurs nulles.

Du côté droit, la culée A7 sera le dernier foyer, et aussi les pieds f'e et f\ de toutes les focales de droite de chaque travée.

Par conséquent, supposons que nous ayons trouvé en M3 et M4 (nous dirons comment, v. n° 304) les moments sur piles de la seule travée chargée (travée n° 4), les moments de répercussion dans les travées non chargées seront figurés, à gauche, par la ligne brisée AfgMgMjMg et à droite par la ligne brisée M4MBM6A7.«

Ces lignes brisées vont d'un pied à l'autre des focales, en se retournant sur les verticales d'appui.

La flg. 283 nous conduit à faire les remarques suivantes.

(b) Remarques. — 1° Les moments sur piles M3 et M. de la travée qui est seule chargée sont toujours négatifs.

2° Sur les autres piles ils sont successivement positifs et

Fig. ÎS3

négatifs, ce qui entraîne que ces appuis jouent alternativement le rôle de supports et d'ancrages.

3° En valeur absolue, les moments sur piles décroissent très rapidement à mesure que l'on s'éloigne de la travée chargée, ce qui tient à ce que les focales sont toujours comprises entre les appuis et les trisectrices eïûées. Si la poutre est à section constante, ces trisectrices sont placées au tiers de chaque travée, par conséquent le rapport de deux moments sur piles consécutifs est toujours plus petit que 1/2 et l'on peut dire, dans ce cas, que les moments sur piles décroissent plus vite que les termes d'une progression géométrique dont la raison serait égale à 1/2.

En résumé, les moments produits dans la travée qui est seule chargée se répercutent dans les autres suivant des représentatives rectilignes qui forment comme une sorte d'onde, allant en s'affaiblissant extrêmement vite, si bien, qu'au delà de la troisième ou quatrième travée elle n'est presque plus sensible.

4° Dans la travée chargée, les points n et n', où la représentative des moments recoupe l'axe des x, ne se confondent pas avec les pieds fi et f\ des focales. Nous dé-

montrerons plus loin(v. n° 305) qu'ils sont toujours compris entre les appuis et les focales.

En ces points s, z (ûg. II) l'élastique présentera une inflexion, puisque le moment fléchissanty sera nul. C'est pourquoi nous les nommerons les points d'inflexion de la travée chargée.

5° Dans les travées non chargées, aux foyers f3, f2, f, etc .. répondront aussi (flg. II) des points d'inflexion e, s, s de l'élastique. C'est pourquoi quelques Auteurs donnent également aux points f. f3, f3 le nom de points d'inflexion de

chaque travée ; cela peut donner lieu, suivant nous, à quelque confusion, c'est pourquoi nous adopterons les dénominations suivantes.

les points focaux de gauche, f f's, /'',. seront les points

focaux de droite.

Les points d'inflexion, n ou n' d'une travée seront les points pour lesquels le moment fléchissant est nul, en supposant cette travée chargée autant qu'elle pourra jamais l'être (poids propre et surcharge maxima réunis), toutes les

POUTRE CONTINUE

SURCHARG ES DÉFA YOR A CLES

autres ne supportant aucune charge, même pas leur poids propre.

(rf) Efforts tranchants de répercussion dans les travées vides. — L'effort tranchant est toujours donné, en grandeur et en signe, par la pente vraie de la représentative des moments. Or ces représentatives dans les travées vides sont des lignes droites qui possèdent, par conséquent, une pente constante. Il en résulte que :

1° .4 gauche : dans la travée qui précède l'unique travée chargée, la représentative des efforts tranchants de répercussion est une horizontale négative ; il en est de même dans toutes celles qui la précèdent de deux en deux. Dans toutes les autres elles sont positives;

2° .4 droite : dans la travée qui suit immédiatement l'unique travée chargée, la représentative des efforts tranchants de répercussion est une horizontale positive et il en est de même dans toutes celles qui la suivent, de deux en deux. Elle est négative dans touLes les autres.

Sur lafig. 283, les efforts tranchants sont figurés par des lignes en traits croisés.

304. Moments de correction de la travée qui est seule chargée. — (a) Premier tracé, par les centres de correction. — On connaît, fig. 284, les centres de correction G3 et G,t de chacune des piles de la travée, ainsi que ses focales, fi et f\; par conséquent (v. n° 290) :

1° On joint le point focal de gauche f2, de la travée précédente, au centre G3 et on prolonge jusqu'en F,, àlarencontre de la focale de gauche f.t, ce qui donne en /" F. le moment focal de gauche;

2° On joint, de même, le point focal de droite, f6, de la travée suivante au centre G, et on prolonge jusqu'en F', à la rencontre de la focale de droite /''., ce qui donne en f\¥'i le moment focal de droite ;

3° On joint enfin les deux moments focaux, ce qui donne en F.F\ la droite représentative des moments de correction, laquelle, prolongée jusqu'aux verticales d'appui, donne en M3 et en M,( les moments sur piles.

Nota. — Pour la recherche des hauteurs des deux centres de correction G3 et Gv, il faut faire bien attention, si l'on applique la construction expliquée plus haut (v. -n° 286 — fig. 267) de remarquer : 1° qu'une seule travée est chargée et que le segment n° d de la sécante <x qui donne la hauteur de centre n'est à prendre qu'entre la ligne BG (fig. 267-IV) et la tangente BT' de l'élastique de la travée chargée; 2° que le segment n° 2 (fig. 267-V) est nul puisque la pente de dénivellation, y, est nulle.

Ce premier tracé est très simple; néanmoins nous allons en donner un second qui aura surtout de la valeur par les conséquences théoriques importantes que nous en déduirons.

(0) Second tracé, par les moments limites. — On va se

proposer de trouver directement un quelconque des moments focaux sans se servir du centre de correction. Raisonnons pour le moment focal de gauche.

Remarquons, d'abord, qu'il est indépendant des travées de droite n°ri, n° 6 et n° 7. Si ces dernières étaient chargées d'une manière quelconque, comme ces charges auraient pour effet de modifier le centre de correction G., ainsi que tous ceux qui le suivent, G:i, G6. . . ., sans rien changer au centre G3, non plus qu'à tous ceux qui le précèdent G2,

G[ , cela ne modifierait pas la ligne /"2G3, ni, par

conséquent, la position du foyer de gauche F., c'est-à-dire la grandeur du premier moment focal de correction.

A2 \& As

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Zoij.es

Fisr. 284

Or (même fig. 284), joignons A2F, et prolongeons en M', jusqu'à la rencontre avec la verticale de l'appui A.; nous pouvons imaginer que les charges exercées sur les travées de droite soient telles que le moment sur la pile A; soit précisément représenté par A, M',,. S'il en était ainsi, le moment sur la pile Ma serait nul et par suite, aussi, tous les moments sur toutes les travées de gauche. Autrement dit, la poutre resterait droite sur toutes les travées de gauche, et elle aurait une tangente horizontale au-dessus de l'appui A3, avec un moment nul sur cet appui.

Appelons le moment limite de la pile A. et désignons par M', le moment qui réaliserait tout cela. Nous pouvons donc dire :

Définition du moment limite. — « Si l'on considère une

PRELIMINAIRES

« travée seule, le moment limite d'une de ses piles est celui « qui, appliqué au-dessus de cette pile tandis que l'autre « pile n'en supporterait aucun, détruirait sur cette dernière « la pente de l'élastique que la poutre, supposée coupée au- « dessus des appuis, aurait prise sous l'influence des charges « qui agissent sur la travée considérée. »

Son emploi pour déterminer les moments focaux. — Connaissant ce moment limite d'un appui, en joignant l'extrémité de son ordonnée à l'appui opposée, on aura, par recoupement avec la focale, le moment focal de correction cherché.

Nous donnons plus loin (v. n° 306) le tracé des moments limites: nous allons d'abord utiliser les notions acquises à leur égard pour démontrer le théorème suivant, très important.