Théorème des points d'inflexion. — (a) Lemme

« Si une charge unique agit dans une travée d'une poutre « continue, de section variable ou constante, à appuis de « niveau, encastrée horizontalement ou non encastrée à ses « extrémités, toutes les autres travées étant vides :

<< 1° Le moment focal de correction, lequel est négatif, « est toujours plus petit en valeur absolue que le moment « focal de charge, lequel est positif;

« 2° Le moment focal définitif est toujours positif, et

« 3° Les points d'inflexion de la travée sont placés entre « les piles et la focale correspondante. »

En effet : soit AcB (fig. 285-1), obtenu comme on sait (v. n° 273), le triangle représentatif des moments dus à une charge unique concentrée, qui serait appliquée au point C. Prolongeons le côté Ac jusqu'en D, sur la verticale d'extrémité et, considérant BD comme un moment appliqué sur la pile

B, l'autre extrémité A étant libre, cherchons à construire la pente S0 que ce moment BD imposerait à l'élastique audessus de l'appui A.

Il faudrait pour cela eïfier le triangle AcD, ce qui donnerait, par exemple, l'aire curviligne Ac,D,, et chercher ensuite la réaction de cette aire sur l'appui A; on sait que cette réaction serait précisément S0. Notre épure ne l'indique pas.

Cherchons, de même, la pente a0 que les moments représentés par le triangle AcB imposeraient à l'élastique sur la pile A. Il faudrait eïfier le triangle AcB et chercher la réaction a0 de cette aire eïûée. Mais lorsque nous eïfierons le côté Ac de ce triangle, nous retrouverons la même courbe Aclt et l'eïûcation du côté CD donnera une courbe

C, B qui sera logée tout entière dans l'intérieur de la grande courbe Ac,Dj.

En définitive, l'aire eïliée Ac,B sera égale à l'aire Ac,D,, diminuée de l'aire c,DjB et, par conséquent, sa réaction «0 sera plus petite que la réaction cu du triangle eifié Ac,D,.

Il résulte de là que le moment limite M', c'est-à-dire ce-

lui qui, appliqué sur la pile B, produirait sur l'autre pile A la, même pente a0 que la charge concentrée qui nous est

donnée devra être inférieure à BD ; par conséquent, lorsque nous joindrons le point M' représentatif de ce moment limite au point A pour avoir, sur la focale fF, le moment focal de correction f fu cette ligne M'A sera située tout entière au-dessous de la ligne cA. Elle donnera donc sur la focale un moment focal de correction ffl qui sera plus petit que le moment focal de charge /'F, ce qui démontre la première partie du lemme.

Il en sera de même pour les autres moments focaux : on aura

La seconde partie est évidente.

Quant à la troisième partie elle résulte de ce que la représentative définitive A'C'B' (fig. 285-11) s'obtient en retranchant algébriquement le triangle AcB (de la fig. I) du trapèze ABB'A' (de la fig. II) ; et, puisque le moment focal de charge fj? est plus grand, en valeur absolue, que le moment focal de correction ffl} il en résulte que le moment focal définitif fF sera positif, ce qui entraîne que le point d'inflexion n soit compris entre l'appui A et la focale f. G. Q. F. D.

Ce qui vient d'être dit s'applique évidemment à l'autre point d'inflexion n'. Démontrons maintenant le théorème.

(b) Théorème. — « Les points d'inflexion d'une travée « chargée d'une manière quelconque, toutes les autres étant « vides, sont toujours compris entre l'appui et la focale Corée respondante. »

En effet, nous pouvons décomposer une charge quelconque, continue ou non, en un nombre plus ou moins grand de charges isolées. Chacune de ces charges isolées donnera lieu à des moments focaux définitifs qui seront positifs tandis que les moments sur piles seront négatifs. En ajoutant tous ces effets, il en résultera en /'./. ou f'j\ (fig. 284) un moment focal total positif tandis que le moment total sur pile sera négatif. Cela entraîne forcément, puisque la courbe des moments de charges est toujours convexe vers le haut, que le point d'inflexion n ou n' soit compris entre l'appui et la focale. C. Q. F. D.

POUTRE CONTINUE. — SURCHARGES DÉFAVORABLES

(c) Les cinq zones de toute travée. — En résumé, si Ton considère une travée quelconque (fig. 284) chargée autant qu'elle pourra jamais l'être, tant sous l'influence de son poids propre que de la surcharge maxima qu'elle pourra subir, toutes les autres travées étant vides, tous les appuis étant en ligne droite, la section étant constante ou variable, les culées étant libres ou encastrées, pourvu que ce soit horizontalement, ce qui veut dire que les pentes d'encastrement y sont nulles, cette travée pourra se diviser en cinq zones, savoir (Suivre sur la fig. 284) :

La zone extrême, de gauche, dite zone a, comprise entre la pile d'origine et le premier point d'inflexion ;

La zone intermédiaire, de gauche, dite zone p, comprise entre le premier point d'inflexion et le premier point focal;

La zone moyenne, dite zone y, comprise entre les deux points focaux ;

La zone intermédiaire de droite, dite zone o, comprise entre le second point focal et le second point d'inflexion ;

La zone extrême de droite, dite zone s, comprise entre le second point d'inflexion et la pile d'extrémité.

Les surcharges produiront des effets très différents sur chacune de ces zones, ainsi que nous le verrons plus loin.

§2. — Effets produits sur une seule travée chargée

306. Détermination des moments limites et des moments focaux pour une poutre à section variable. — 1° On

prend un moment unitaire quelconque \x (fig. 286-1). On en déduit (v. n° 196) le rectangle unitaire eïfié de la travée et le funiculaire qui, on le sait, est toujours un trapèze. On complète en AA'B'B le rectangle sur ce funiculaire et la diagonale AB' de ce rectangle fait connaître la pente <p de l'élastique que le moment fx, appliqué sur un seul des appuis, aurait fait prendre à la fibre neutre sur l'autre appui. Le tout est fait en employant des coefficients d'échelle d, d' et d" .

2° On connaît la représentative AMB (fig. II) des moments sur la travée supposée libre ; on en déduit en A — M : El — B la représentative de ces mêmes moments eïfiés; on construit un funiculaire sur l'aire de ces moments eïfiés et on en déduit, avec les mêmes coefficients d'échelle d, d' et d" que ci-dessus, la pente a0 de l'élastique de charge, sur un des appuis, celui de gauche par exemple.

Cela fait, il est évident que le moment-limite M' est au moment unitaire comme la pente «0 qu'il a pour fonction de détruire est à la pente tp que le moment n peut produire; d'où la construction suivante :

3° On mène en SS' une sécante \i, c'est-à-dire une vertiticale sS (fig. I) interceptant la longueur \x entre les deux côtés de l'angle ©; on prolonge cette sécante (fig. II) jusque dans l'angle a0 et la longueur S'm' qu'elle y intercepte représente le moment-limite cherché M'.

Pour obtenir le moment focal de gauche, on porte en BM' (fig. II), sur la verticale d'extrémité, la longueur S'm' ainsi trouvée ; on joint M' au point d'origine A et la rencontre avec la focale donne en f¥ le moment focal de gauche.

On opère de même pour obtenir le moment-limite de gauche M", duquel on déduit ensuite le moment focal de droite f'F'.

Connaissant les moments focaux fF et /'F', on joint les points F et F', ce qui donne en M0 et en Mi les moments

de correction sur pile. La droite M0M, est la représentative des moments de correction.

On ajoute analytiquement cette droite et la première

pr Funiculaire fL§ \

Cb "S

ta

Cj

fJUJJ

<TJ Cj

(II)

cS

Fig. 286

courbe, AMB, des moments, ce qui donne en M^JVL la représentative des moments pour la travée considérée, en la supposant seule chargée. Sa rencontre en n et en n' avec la base donne les points d'inflexion de la travée.

307. Même question pour une poutre à section constante. — (a) La charge est quelconque. — La construction