Cas. Forces parallèles. — Moments fléchissants

— Le théorème précédent s'applique aussi aux forces parallèles. Nous ne le démontrerons pas à nouveau. Mais souvent, dans la pratique, on cherche, non pas le moment de toutes les forces transportées en un point K (fig. 20), mais seulement le moment des forces situées d'un seul côté de la section qu'on suppose passer par ce point, en y comprenant, bien entendu, les forces d'action /",, /',, f3, elles réactions telles que X.

Ainsi, par exemple, dans l'étude des poutres droites reposant sur deux appuis de niveau, après avoir trouvé la résultante F de toutes les forces d'action ainsi que les réactions X et Y, développées par les appuis (v. n° 29), nous considérerons une section transversale de la poutre, située on K par exemple (fig. 20), entre f3 et /",, et nous chercherons quelle est en ce point la valeur du moment du couple résultant du transport en K des forces X, f{, f2 et f3 qui sont

Echelles

Hg. 20 Fig. 20 6is

situées à gauche. Le moment du couple ainsi obtenu est désigné sous le nom de moment fléchissant.

Si nous voulions connaître l'effet des forces situées à droite de K, nous obtiendrions un moment fléchissant de même valeur, mais de signe contraire.

37. Théorème des moments fléchissants (pour pièce chargée verticalement). — Dans toute pièce, soumise à des efforts verticaux et reposant sur deux appuis libres, le moment fléch issant en un point quelconque est le produit de V ordon-

née (I) du polygone funiculaire en ce point par la dislance polaire du dynamique qui répond à ce funiculaire .

En effet, considérons les forces X, ft, f, et f3 situées à gauche de la section Iv ; leur résultante R' est indiquée sur le dynamique (fig. 20 bis) pour la force y'f3, et cette résultante est verticale ; le côté initial qui lui correspond flans le funiculaire est MN, tandis que le côté final est CD. Par conséquent, d'après le théorème précédent (voir n» 3I>, le moment fléchissant dû aux forces X, fr /', el f3 est ïîm X d. C. Q. F. D.

38. Autre démonstration. — On peut démontrer directement ce théorème de la manière suivante :

La résultante partielle des forces X, /',, f2 et f3 est mesurée par y'f3 (fig. 20 bis). A cette résultante correspondent dans le dynamique les rayons polaires oy' et r' ; le premier est le rayon initial, relativement au système de ces quatre forces ; l'autre en est le rayon final. Dans le funiculaire les côtés parallèles à ces rayons sont ml et MI ; la résultante passe donc par le point 1 ; elle serait IR égale à R' du dynamique. .

En considérant les triangles mnl, dans le funiculaire, et Oy'fJ, dans le dynamique, nous remarquons que ces triangles sont semblables comme ayant leurs angles égaux, on a donc :

mn y'f3' k d' d

d'où mn X d = y'f3' X d' ;

mais y'fl X d' , c'est le moment de la résultante partielle R par rapport au point K. il en est donc de même de mn X d. C. Q. F. D.

Si nous avions pris la distance polaire égale à l'unité, le moment fléchissant aurait été mesuré par l'ordonnée du point K sur le funiculaire. Dans ce cas, on dit que le funiculaire est unifié.

Echelles : Sur les figures 20 et 20 bis on mesure mn à l'échelle des forces et l'on trouve (fig. 20) mn = 1050k.

On mesure d à l'échelle des longueurs et l'on trouve (fig. 20 bis) d = 2lm. On a donc pour le moment M = 1030 X 21 = 22050 Km.

(1) Il est bien convenu que par ordonnée du funiculaire nous entendons la portion de verticale mn comprise entre le funiculaire MABCDN et sa ligne de fermeture MN.