EFFETS PRODUITS SUR UNE SEULE TRAVEE CHARGÉE
la droite représentative des moments de correction dus à la charge uniformément répartie appliquée sur la travée considérée, toutes les autres étant vides ;
5° En donnant pour base à la parabole primitive la ligne de correction M0M,, on obtient en MonCWM, la représentative finale. Elle recoupe l'axe des x aux points n et n' qui sont les points d'inflexion.
(c bis) Efforts tranchants. — La représentative primitive était l'oblique x0M', qui détache sur les verticales d'appui des longueurs égales à -h ïhlpl et — Ifôpl. La ligne de correction M0M, ayant ici une pente positive, il faut construire en o'o" = e sa pente vraie, comme il a été dit ci-dessus, et surélever, de la quantité t, la représentative primitive qui devient ainsi la droite X0X,.
Etudions maintenant les effets d'une charge uniforme, mais partiellement engagée.
308. Digression. — Poutre posée sur deux appuis et soumise à une charge uniforme partiellement répartie.
— Ce cas est surtout important à étudier en vue des efforts tranchants les plus dangereux.
(a) Moments fléchissants. — Je dis tout d'abord que la représentative des moments fléchissants est la même parabole que pour la charge totalement répartie, avec cette restriction que l'on n'en prend qu'un segment, prolongé, à gauche et à droite, par ses tangentes.
En effet, soit AcB (fig. 290) la parabole réprésentative en supposant que la charge règne sur toute la poutre. Ne prenons de D en E qu'une partie de cette charge. Menons les ordonnées Dd et Ee des extrémités de la charge et traçons les tangentes dg et eg aux points d et e de la parabole ; prolongeons ces tangentes jusqu'en A' et B' sur les verticales d'appui et menons la ligne de fermeture A'B'. Nous savons que la résultante delà charge partielle DE passerait par le point g où se coupent les tangentes, et que si cette charge partielle était concentrée en son propre centre de gravité G, la représentative des moments fléchissants, auxquels elle donnerait lieu, serait l'aire triangulaire A'^B'. De A' en d la ligne droite A'd est à conserver, parce que les moments ne proviennent que de la réaction, positive, de l'appui A. Mais à partir de d, il faut retrancher les moments dus à la charge proprement dite. Par exemple, sur la section N, il faut retrancher les moments, par rapport au point N, de la portion de charge DN et nous savons, d'après le théorème sur les funiculaires représentatifs des moments de transport (v. n° 34), que ce moment est représenté par l'ordonnée extérieure nri de la parabole ; par conséquent, la représentative définitive sera :
1° La ligne droite A'd ;
2° L'arc dne de parabole qui lui est tangent ; 3° La tangente eB' à ce même arc de parabole.
Nota. — Les ordonnées sont à mesurer à partir de l'oblique A'B' prise comme base. Si l'on voulait les mesurer à partir de l'axe des x, il suffirait de descendre le point A' en A et le point B' en B, en entraînant toute la représen-
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tative, ce qui reviendrait à retrancher analytiquement la droite A'B' du contour mixtiligne A'dneB'. Cette représentative est figurée au-dessous en Aldl7ileiBi.
(b) Efforts tranchants. — Si la charge était totale, l'effort tranchant serait représenté par la ligne oblique X0X, qui intercepte des longueurs égales à -h\/2pl et — sur les ordonnées d'appui.
Mais à cause de la soustraction algébrique précédente, il faut remonter cette représentative d'une quantité s égale à la petite-vraie de la ligne A'B', obtenue comme il est dit ci-dessus. (On a remonté parce que la pente s est positive).
La nouvelle représentative des efforts tranchants serait donc la ligne Y0Yt ; mais elle n'est à conserver qu'entre les points d" et e", c'est-à-dire aux limites de la charge partielle ; en deçà et au-delà, elle est horizontale, puisque la représentative des moments fléchissants y possède une pente constante, comme étant une ligne droite.
En définitive, la représentative des efforts tranchants est la ligne brisée a"d"e"b".
Nota. — On voit que dans la région négative les efforts tranchants sont plus petits, en valeur absolue, que ceux qui seraient dus à la charge totale ; mais dans la région positive, sur une partie du moins, de C en D, ils sont plus grands; d'où il résulte que pour certaines sections une charge partielle peut donner des efforts tranchants plus grands en valeur absolue et, par suite, plus dangereux qu'une charge totale.
Cet effet d'aggravation sera d'autant plus prononcé que la pente de la ligne A'B' sera plus grande, ce qui aura lieu
POUTRE CONTINUE. - SURCHARGES DÉFAVORABLES
lorsque la charge partielle s'étendra à partir d'un appui, ainsi que nous allons le montrer. Supposons maintenant que la poutre soit continue.
309. Effets d'une charge partiellement engagée sur une travée de poutre continue. — (a) ii.oments limites. —
Soit (fig. 291) une charge uniforme de p, par mètre courant, engagée depuis l'origine A jusqu'en un point D sur une longueur l'=Kl, c'est-à-dire sur une fraction K de la longueur totale de la travée. (Sur l'épure fig. 291, on a K = 3/5).
AC'B étant la parabole qui représenterait les moments pour la charge totalement répartie, l'arc de parabole AGd, continué par sa tangente dB', est la représentative relative à la charge partielle , et elle a été obtenue comme il vient d'être dit au numéro précédent.
Cherchons d'abord les moments limites m' et m" sur la pile B et sur la pile A. Par définition, ce sont les moments qui, agissant seuls, donneraient sur l'appui opposé la même pente d'élastique que la charge ; et comme les pentes sur un appui sont les réactions d'aire de moments sur cet appui, les équations qui donneront m' et m" s'obtiendront en écrivant que le moment par rapport à B de l'aire du triangle ABwi' et que le moment par rapport à A du triangle Am"B sont égaux aux moments, par rapport à B et par rapport à A, de l'aire AGdW des moments de charge. Evaluons chacun de ces moments.
Le triangle ABm' a pour aire m' X 1/2/; son centre de gravité est au second tiers de la portée ; son moment par rapport à B est donc :
m'I l ml2
TX3 = -1T
Le triangle Am"B a pour aire m"Xl/2/; et son moment par rapport à A est
~G~ ' • L'aire mixtiligne Ac'C'B' s'obtiendrait en retranchant du
grand triangle AA'B' le petit triangle AA'rf et en y rajoutant
le segment parabolique kc'd.
La flèche ce' du petit segment de parabole est à la flèche
CC du grand segment comme le carré des largeurs ; on a
donc
et comme CC' = 1/8^/-, on a ce' = 1/8 K2pl2.
La sous-tangente ce" est le double de l'ordonnée ce'; et
de plus AA' = 2cc"; par conséquent
— ; — K2pl2 AA' = 4. ce' = — ■
Evaluons les surfaces. 1° Le petit segment de parabole a pour surface les 2/3 du parallélogramme enveloppant, ce qui donne pour expression de cette surface : 2 , —, K3»/3
son centre de gravité est à la distance 1/2 Kl du point A et à la distance (/ — 1/2KZ) du point B. 2° Le grand triangle AA'B' a pour surface :
