II. — EFFORTS TRANCHANTS

fa) Efforts tranchants de charge permanente. — La fig. .301 donne l'épure des efforts tranchants ; afin de disposer de la place voulue nous avons adopté, pour les forces, l'échelle de lmm par tonne, c'est-à-dire une échelle moitié de celle adoptée pour l'épure des moments. Nous traçons d'abord l'oblique de charge permanente WO. . . ; sa moitié inférieure a été retournée symétriquement en OW par rapport à la base Alî, à cause du manque de place et, aussi, parce que les efforts tranchants négatifs devront être, suivant l'usage, retournés autour de AB comme charnière.

Cette oblique intercepte sur les verticales d'origine et d'extrémité des longueurs A\V et BW' égales à la moitié de la charge permanente, soit 51', 373.

(6) Curseurs des efforts tranchants initiaux. — Cherchons les positions initiales C0, D0, E,, — S0 des curseurs d'efforts tranchants de chaque essieu.

Conventions. — Nous nommons ainsi les extrémités des ordonnées représentatives des efforts tranchants développés au-desous de chaque essieu. L'indice zéro indique que l'essieu appartient au convoi dans sa position initiale. Les indices s, r,q,....n, m — indiqueront que l'effort tranchant est pris au moment où l'essieu S, ou B, ou Q.... est sur le point de se dégager.

Enfin, un acecent indiquera qu'il s'agit de l'effort tranchant de droite de l'essieu.

Exemple. — 1° Cp (fig. I) est le curseur de l'effort tranchant gauche de l'essieu C à l'instant où l'essieu P est arrivé sur l'extrémité B de la poutre.

2°L'</ (fig. II) est le curseur de l'effort tranchant droite de l'essieu L a l'instant où l'essieu Q est en dégagement.

Le signe — qui précède ce dernier indique que ce curseur aurait dû être placé au-dessous de Al!, c'est-à-dire dans la région négative, et que c'est un retournement qui nous l'a donné.

Cela posé : cherchons l'effort tranchant C0 sous le premier essieu. Si la charge permanente n'existait pas il serait égal à la réaction \VX0 du convoi sur l'appui A. Le funiculaire île la fig. 298 nous donne cette réaction.

Réaction de l'appui d'origine.

Eu effet, s'il nous était possible de prolonger sur cette figure 29S le cùté initial AT du funiculaire jusqu'à sa rencontre avec la verticale milieu il intercepterait sur cette verticale une longueur précisément égale à la réaction cherchée (v. n° 43), il faudiait ensuite en prendre la moitié pour la ramener à l'échelle de la fig. 301. Par conséquent, traçons en T'f (fig. 298) une verticale située au quart ( 1 / 4 Z ; de la portée et elle interceptera une longueur TT' qui, à l'échelle des forces de la fig. 301, sera égale à la réaction cherchée.

Positions initiales des curseurs. — Dès lors, pour avoir le curseur C0, nous portons la longueur précédente de C" en C0, à partir de l'oblique de charge permanente.

Faisons cette opération à l'aide d'une bande de papier, sur laquelle le point C sera marqué comme un point de repère que nous ferons, tout à l'heure, glisser sur les obliques de charge permanente WO et OW'.

Pour avoir l'effort tranchant de droite C'„ et ensuite tous les efforts tranchants tant de gauche (D0, E0 ) que de droite (D'0, E'0 ), portons sur

cette bande de papier les poids successifs des essieux dans l'ordre C (141) l) (141) E (I4t) F (14') G (12t), etc... Plaçons alors le repère C" successivement en d", e", {".-.. et, en rétrogradant chaque fois d'une charge d'essieu,

nous marquerons les points DgD'o — E0E'n — F0F'0, etc qui seront

les positions initiales cherchées.

Lorsque nous arriverons à l'essieu L, c'est-à-dire en /' , puis ensuite en m' n" , nous nous repérerons sur l'oblique retournée OW et nous retournerons aussi notre bande de papier; ccia nous donnera (fig. II) les curseurs négatifs — L0L'o, — M0M'0) — N0N'o etc

On sait (v. n» 282-i>) que les curseurs décrivent des obliques dont la penie diminue au fur et à mesure que les essieux se dégagent. Nous avons cherché (fig. III) les directions successives de ces obliques et, à cet effet, nous conformant à ce qui a été démoutré plus haut (v. n" 282), nous avons opéré comme suit:

1» (fig. III) on a porté à ta suite les unes des autres, à partir de \V, la moitié de chacune des charges des essieux, ce qui a donné les poiuts C, D, E....S sur la verticale d'origine.

2° On a joint les poiuts ainsi obtenus au point 0, centre de la poutre, ce qui a donné les directions des obliques de charges partielles.

3° On a placé (v. en haut de l'épure) en S' , II' Q', P' .... C les essieux dans l'ordre de dégagement, c'est-à-dire « Tète en queue », et, par ces points S' M' , on a mené des verticales.

4° Partant alors du curseur C0, on a tracé CC8 (fig. 1) parallèle à l'oblique OS (fig. III) jusqu'à sa rencontre avec la verticale S', ce qui a donné le curseur Cs. — On a tracé Cs — C,. parallèle à l'oblique OR (fig. III) jusqu'à sa rencontre avec la verticale B' et ainsi de suite, de proche en proche, ce qui

a donné la trajectoire du premier curseur C0 — Cs — Cr Ci — C/t

Cf — Ce — Cd — Ce. Telle est la trajectoire-type. Nous la piquons sur une feuille de papier fort et nous la découpons afin de nous en servir comme patron pour les autres curseurs.

(d) Remarques. — 1° La place nous faisant défaut, nous avons dû reporter ailleurs (fig. IV) la partie, inférieure de droite de notre épure totale.

2» La dernière position Ce du curseur doit se confondre avec le point W (fig. IV) qui forme l'extrémité inférieure de l'oblique de charge permanente. En effet, comme à cet instant il n'y a plus de convoi sur le pont, on ne doit plus trouver comme effort tranchant que celui qui est dû à la charge permanente. Cela fournit une vérification précieuse du tracé.

3° En y regardant de près, on voit que cette trajectoire-type n'est autre chose qu'un funiculaire qui, avec la distance polaire d = 1/2/ = AO, serait construit sur les demi-charges des essieux. Par conséquent, ou pourrait avantageusement le déduire du grand funiculaire de la fig. 298.

Ou reconnaîtra facilement que les ordonnées R"Cr — Q'Cq — P'Cp. . . etc. de cette trajectoire, comptées à partir de la corde C0W', sont égales au quart des ordonnées du grand funiculaire de la fig. 298 ; en prenant ce dernier « tète en queue». Ce coefficient un quart provient : l°de ce que l'échelle des forces est la moitié de celle de la fig. 298, et 2° de ce que les forces du funiculaire qui constitue cette trajectoire-type sont moitié aussi de celles du grand funiculaire do la fig. 298, taudis que la distance polaire est la même.

En résumé, on voit que le tracé (fig. III) des obliques de charges partielles e.4 inutile, et qu'il suffit de prendre à partir de C0W' (fig. 301) des ordonnées égales au quart des ordonnées du funiculaire initial ACD. . .DSB de la fig. 298, mais en comptant ces dernières à partir de la base BC (1).

(e) Trajectoires des autres curseurs. — Il résulte de la théorie exposée aux nos 281 et 2S2, que les autres curseurs décriront des trajectoires de même patron que celle du curseur C0. Par conséquent, on n'aura, pour les obtenir, qu'à placer le point C0 du patron' découpé, indiqué ci-dessus, successivement eu C0' — D0elD'o — E0 et E'o etc. On l'orientera convenablement, ce qui sera facile en traçant des verticales et des horizontales de repère, aussi bien sur l'épure que sur le patron. En suivant alors, avec un crayon, le contour du patron, ou aura toutes les trajectoires.

{[) Diagramme définitif. — 1° Nous n'avons pas tracé les trajectoires lorsqu'il était évident qu'elles restaient à l'intérieur de la trajectoire-type ; nous n'avons fait que les amorcer.

2' Lorsque nous sommes arrivés aux curseurs L0 et L'„, nous avons dû retourner le patron.

3" 11 est à remarquer que, sur notre épure, tandis que pour les efforts positifs (fig. I) c'est la trajectoire de gauche de l'essieu de tête C qui l'emporte sur l»s autres, pour les efforts négatifs ifig. III), c'est la trajectoire de droite L'„ — L's — L'r du 4e essieu de la 2e machine, qui se trouve eu dehors et que même, vers l'extrémité, à partir du point S, c'est la trajectoire île l'essieu N (2° essieu du 2e tender) qui l'emporte à son tour.

4» Néanmoins, en retournant la figure autour de la verticale milieu OO', on reconnaît que ce sont les efforts tranchants de gauche C„ — Cs — C.q... . du 1er essieu de la 1'" machine qui sont les plus importants et que ces efforts sont positifs.

Ce sont eux qui imposeront les dimensions de l'âme de la poutre, si celleci est pleine, ou celles de ses barres, si elle est évidée, c'est-à-dire à croisillons, à triangles ou en treillis. .

(1) M. Bertrand de Fontciolant a donné une démonstration directe, fort élégante, de ce tracé. (Société des Ingénieurs civils. Séance du 19 février 1892).