TuÉORIE DES POLAIRES RÉCIPROQUES

319. Polaire d'un point. — (a) Définitions. — Etant donnés, dans un plan (flg. 305), un point M et une conique (ellipse, cercle, hyperbole, parabole), on appelle polaire du point M par rapport à la conique le lieu des points de rencontre F ou F' des tangentes CF et DF ou G'F' et D'F' menées à la courbe aux points C et D ou C et D', où elle est coupée par une transversale quelconque, MCD ou MC'D', menée par le point M. On démontre que ce lieu est est une droite FF'. (V. Complément.)

Si le point M est extérieur à la courbe sa polaire FF' passe par les points de contact T et T' des tangentes menées de ce point à la courbe.

Inversement le point M est le pôle de la droite FF'. Si l'on se donnait, a priori, la droite FF', pour obtenir son pôle M, il suffirait : 1°, de prendre sur cette droite deux points quelconques F, ou F'; 2° de mener par ces points deux tangentes FC et FD, ou F'C et F'D' ; 3° de tracer les cordes de contact CD et CD'. Le pôle serait à la rencontre, M, de ces cordes de contact.

(b) Equation de la polaire d'un point. — Supposons que la courbe soit une ellipse rapportée à ses axes ; a et J étant les demi-axes, l'équation de l'ellipse est

Soient X et Y les coordonnées du point M, l'équationde la polaire FF' est

/9\ ^ + — == I. {Polaire)

Sil'on mène le diamètre MO, la polaire est parallèle au diamètre conjugué de cette ligne MO ; c'est-à-dire est parallèle aux tangentes menées aux extrémités de ce diamètre.

Tout ce qui vient d'être dit s'applique aussi bien à un point intérieur qu'à un point extérieur. (V. Complément.)

[d) Antipolaires et antipoles. — Si l'on prend le point M, symétrique du point M par rapport au centre O, sa polaire, F,, F', se nommera Y antipolaire du point M, de même que le point Mt symétrique de M sera Yantipole de la droite FF' et que le point M sera l'antipole de la droit FjFV

Fig. 305 Fig- 306

X et Y étant les coordonnées du point M celles du point Mt sont —X et —Y; en substituant ces valeurs dans l'équation (2) ci-dessus on aura l'équation de l'antipolaire du point M

x\ vY

(3) -L. + ii = — 1. (Antipolaire)

320. Courbes polaires réciproques. — Supposons (ûg. 306) que le point M soit mobile, et qu'on lui fasse décrire une certaine courbe C ; à chaque position M du point mobile répondra une polaire particulière ff et quand le