FUNICULAIRES D'APRÈS LA METHODE DE M. COLLIGNON
la
tranchants sont donnés par les longueurs IV, 1Y,' — l'A' -, etc., ces longueurs sont donc bien les pentes des rayons polaires Ox' — 0/",' - 0/V-.- et aussi celles des côtés MA, AB, BC... du funiculaire, puisque ces côtés sont parallèles aux rayons polaires.
Cette pente est positive si la ligne s'élève à droite (ex. : MA, AB, BG) et négative si elle s'élève à gauche (ex. : CD, DN).
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant très important :
40 bis. Théorème de l'effort tranchant. — L'effort tranchant est donné en chaque point par la pente des côtés du funiculaire unifié (I).
Nota. — Si le funiculaire n'est pas unifié et si la distance polaire est d, au lieu d'être égale à l'unité, les pentes des ' rayons sont d fois plus petites que celles du funiculaire unifié ; par conséquent, pour avoir l'effort tranchant dans ce cas, il faudra multiplier par la distance polaire d la pente
(1) Quand on traite ces questions par l'analyse mathématique, ce théorème s'énonce ainsi : L'effort tranchant est la dérivée, par rapport à l'abscisse, du moment fléchissant.
des côtés. Ceci suppose que la ligne de fermeture MN est horizontale.
41. Résumé sur les funiculaires. — Ce qui précède montre tout le parti que nous pourrons tirer des funiculaires ; ils nous permettront de composer ou d'équilibrer des forces en nombre quelconque; de trouver les réactions d'appuis ou les tensions intérieures des barres; de déterminer les moments des couples dus au transport des forces en un point déterminé; et, comme application, de déterminer les moments fléchissants d'organes soumis à des forces verticales.
Nous verrons bientôt qu'ils peuvent également être utilisés pour déterminer les centres de gravité, les moments d'inertie et les courbes élastiques (1).
En somme, les funiculaires permettent d'exécuter graphi quement des intégrations souvent compliquées; c'est à leur emploi que nous devrons de pouvoir traiter élémentairement les questions du cours, sans faire usage du calcul différentiel ni du calcul intégral.
(1) Oa nomme ainsi les courbes affectées par les lîhres neutres des organes (poutres, arcs,...) une fois qu'ils sont soumis aux forces qui les déforment.
§3. — Funiculaires d'après la métuode de M. Collignon
42. Funiculaire obtenu sans dynamique. — Lorsque les forces considérées sont verticales, l'emploi de la méthode suivante, proposée par M. E. Collignon, Inspecteur général des ponts et chaussées, permet d'éviter la construction du dynamique et de tracer le funiculaire en cherchant les points où ses côtés prolongés viendraient couper les verticales des appuis, ou, en d'autres termes, en déterminant, pour chacun des côtés de ce funiculaire, les ordonnées d'origine et les ordonnées d'extrémité.
Nous allons expliquer le tracé des funiculaires de M. Collignon (fig. 22).
A cet effet construisons, mais simplement pour la démonstration, un dynamique ayant pour pôle un point choisi de telle sorte qu'il donne, pour ligne de fermeture du funiculaire, la droite des appuis MN; soit d la distance polaire OP.
Prenons un côté quelconque du funiculaire, le deuxième AB, par exemple, et soit mî le point où il coupe la verticale d'origine.
Prenons le côté BC, qui vient ensuite, c'est-à-dire le troisième et soit m3 le point où il coupe aussi la verticale d'origine ; proposons-nous de calculer la distance wyra3.
Soit x, l'abscisse du point B. Le triangle m2Bm3 du funiculaire est semblable au triangle polaire //0/V du dynamique, et l'on déduit de la similitude l'équation :
ou, comme /'//y c'est la force f2,
De cette relation M. Collignon déduit la construction suivante :
(a). A droite de l'origine, prenons sur la poutre un point I,
Fig. 22
situé à la distance polaire d de l'origine (M. Collignon
COUPLES liKSlLTAM DU TRANSPORT DES FORCES
recommande de prendre I au milieu de la portée, c'est-àdire de prendre d — il, l étant la portée de la poutre).
(b). Sur la verticale d'origine projetons la force f.2 en f2 et joignons le point 1 à l'extrémité de f2; cette droite intercepte sur la force f2 deux segments, l'un bG contigu à la poutre MN et l'autre Gf2 non contigu tracé d'un trait plus gros. Je dis que ce dernier est. précisément égal à m2m3.
En effet on a :
Vf* x2
et comme
II' = h
ce qui est précisément la formule (1), donc Gf.2 = m2m3. C. Q.F. D.
43. Segment d'extrémité en supposant le point I au milieu de la portée. — Si l'on voulait le segment d'extrémité on opérerait de même : après avoir projeté f2 sur la verticale d'extrémité, en f2" on joindrait l'extrémité de f2" au point I; cette droite prolongée intercepte sur la force f2 une longueur f2G' égale au deuxième segment cherché (on aura n2w3 =/3G'); de plus la somme des deux segments
Cette méthode permet donc de trouver tous les segments successifs, à l'origine et à l'extrémité ; et en joignant deux à deux les points qui se correspondent, on obtient très exactement le polygone des moments.
Nota. — Si le point I n'était pas au milieu de la portée, après avoir déterminé les segments d'origine, on prendrait à gauche de l'extrémité N un point I" (non marqué sur la lig. 22) tel que NI" soit égal à la distance polaire, et on recommencerait avec ce point la détermination des segments d'extrémité.
En choisissant I au milieu, ce qui revient à prendre une distance polaire d égale à -§7, on a comme premier avantage que le point I sert aussi bien pour les segments d'origine que pour les segments d'extrémité.
Nous ferons un très grand usage des funiculaires Collignon ; c'est pourquoi le lecteur devra s'exercer à en faire des applications analogues à celle que nous allons traiter ci-dessous.
44. Application du funiculaire Collignon. — Dans la fig. 23, nous avons appliqué la méthode de M. Collignon au tracé du funiculaire des moments fléchissants, pour une poutre chargée verticalement.
On remarque que pour le premier et le deuxième côtés, les segments d'origine sont très petits et que ceux d'extrémité sont très grands et sortent des limites de l'épure, tandis que pour le côté moyen m3n3 les ordonnées extrêmes
sont à peu près égales. C'est pourquoi on devra commencer par le tracé du côté moyen.
Voici la marche de l'épure :
1° Prendre I au milieu de la portée MN.
2" Projeter les forces de gauche, fl et f, en /",' et f2
Moments fléchissants I SJ3
"Moments: ™oipl35k [ I I i I I I i l I I- | 1000 soo
\o.o23jivlooûh
Efforts tranchants.
Fis. 23
sur la verticale d'origine ; joindre I/'/ et \f2 et marquer d'un trait plus gros les segments extérieurs f,l et f.,2.
ITNICPLAIHES D'AI'lîKS LA MKTIIODE DE M. COLL1GNON
3" Porter le premier segment de M en m2, et à la suite le deuxième segment de m, en wt3.
(l'est fini pour la moitié de gauche. On passe alors à celle de droite.
\° Projeter les forces de droite fs, fi et fx en fs', f.' et fs' sur la verticale d'extrémité, en commençant par la plus rapprochée de cette extrémité; joindre \f.' — I/",/ et I/./ et marquer d'un trait plus gros les segments extérieurs o/'. -4/4 et 3/3.
5° Porter le dernier segment, c'est-à-dire le cinquième, de N en n6 ; à la suite le quatrième segment de n(i en n.. et à la suite encore, le troisième segment de ns en nv
C'est lini pour la moitié de droite. Le funiculaire se trace alors comme suit :
6° On joint m3n4, c'est le côté moyen du funiculaire ; il rencontre en B la deuxième force; on joint B au point m2, ce qui donne le deuxième côté du funiculaire. Cette droite rencontre en A la première force; on joint AM, ce qui donne le premier côté.
7° Passant à la moitié de droite, on opère de même : c'est ainsi que l'on joint Cn. puis D»c, et finalement EN. Le funiculaire est alors le polygone MABCDEN. 45. Réactions. — Le côté initial MA et le côté final NE, prolongés jusqu'à la verticale du point I, donnent en IX' et IY' les réactions des appuis. Cela est évident si l'on imagine par la pensée le dynamique dont nous nous sommes passé et qui aurait servi à la construction du funiculaire MABC...
On pourrait cependant le démontrer comme suit : La réaction d'un appui n'est autre chose que l'effort tranchant au-dessus de cet appui.
Mais nous savons que l'effort tranchant en un point est égal à la pente du funiculaire s'il est unifié ; s'il ne l'est pas il faut multiplier sa pente par la distance polaire. Or, audessus de l'appui M, la pente p du côté MA du funiculaire est
Il faut multiplier cette pente par la distance polaire, qui est ici MI, pour avoir l'effort tranchant, ce qui fera disparaître le dénominateur MI. Donc cet effort tranchant, c'est-à-dire la réaction X, est égal à IX', C.Q.F.D.
46. Résultante. La résultante totale des 5 forces passe en J par le point de rencontre des directions du côté initial MA et du côté final NE du funiculaire,
On ohtiendrait aussi facilement les résultantes partielles. Ainsi la résultante partielle des forces f{ et f2 passerait par le point Jj.
