I.ougueurs
Espaceme n t des fermes. .
Tirant (traction)
Poinçon id.
Charge par »i2.
Arbalétriers (1) ( compression)
Charge par
Contre-fiches (compression )
(1) Daus leur partie inférieure seulement.
353. Résistance d'un assemblage à tenon et mortaise. {a) Définitions. — Les points faibles des charpentes en bois sont les assemblages. Le plus fréquemment employé est l'assemblage à tenon et mortaise, avec embrèvement. La mortaise est pratiquée dans la pièce tirée tandis que le tenon termine la pièce comprimée (fig. 331). Rappelons que l'embrèvement ADL est une entaille pratiquée sur toute la largeur a de la pièce mortaisée. AD se nomme Vabout et DL se nomme le pas de l'embrèvement.
DE se nomme Vabout et DL se nomme la racine du tenon ; EE est le bout et EL le dessous du tenon.
Le talon de la pièce mortaisée est la partie d'extrémité qui se trouve au-delà de la mortaise ; le tenon presse sur le talon et c'est par l'intermédiaire de la section XX', que nous nommerons section d'about, que cette pression se transforme en traction sur le tirant.
Le bout EE du tenon ne porte pas sur le fond de la mortaise ; il y a toujours un certain jeu.
(b) Répartition des efforts. — La compression f de l'arbalétrier ne se transmet au tirant que par l'intermédiaire, d'une part, des abouts AD et DE de l'embrèvement et du tenon, et, d'autre part, du pas DL de l'embrèvement.
Si l'on décompose (fig. I) la compression de l'arbalétrier en deux composantes qui sont ff, normale au plan des abouts et of , normale au pas, on reconnaît que les abouts subissent un effort ff qui est un peu plus grand que l'effort horizontal ff" que donnait l'épure de la figure 330 pour le tirant ; néanmoins la différence ff est peu considérable et presque négligeable.
Nous admettrons donc que nous calculons l'assemblage d'après la tension du tirant ff" que l'épure de statique graphique a fait connaître.
Cette tension du tirant se traduit, sur la section d'about XX' (ûg. 331-11), par une compression exercée sur le talon, laquelle doit se répartir sur la surface p marquée de hachures mixtes sur la figure III. Il faut donc, tout d'abord, que cette surface d'about p ne s'écrase pas sous la charge.
Cette surface d'about p est rattachée au corps du tirant
par les surfaces et y (ïu' se nomment les jouées de la mortaise, et par la surface inférieure V, qui avec les jouées y et y complète la section d'about de la mortaise.
Fig. 331
(c) Calcul approximatif de la mortaise. — Admettons que la partie inférieure V de la section XX' ne prenne, pour son compte, presque rien de la traction du tirant.
Si nous admettons, en outre, que la résistance de sécurité du bois est la même à la traction et à la compression (ce qui n'est pas exact, elle est plus grande à la traction qu'à la compression), nous déduirons de cette analyse sommaire :
1° Que la surface de section, y+Yj des jouées de la mortaise doit être égale à la surface p des abouts du tenon et de l'embrèvement ;
2° Que l'une quelconque de ces surfaces, soit p, soit son égale y + Ti doit être telle qu'en la multipliant parla résistance de sécurité (600 000k par exemple) on obtienne la tension trouvée pour le tirant.
(d) Equation de tracé. — Pour qu'il en soit ainsi l'assemblage doit, tout d'abord, satisfaire à certaines conditions de tracé que nous allons traduire par une équation.
Soient a la largeur et b la hauteur d'équarrissage du tirant. Soient Kb la hauteur de l'embrèvement et K'a la largeur du tenon. (K et K' seront deux coefficients arbitraires qui entreront dans l'équation que nous cherchons). Admettons enfin que, selon l'usage, le tenon a pour hauteur 1 /2. b, c'est-à-dire la moitié de la hauteur du tirant.
Ecrivons que la surface p est égale à la surface y~+~Y> c'est-à-dire au quart de la section a x à du tirant, nous obtenons Y équation de tracé.
qui devient, en simplifiant :
Si l'on fait dans cette équation K = 1/6, c'est-à-dire si l'embrèvement a comme hauteur d'about le sixième de la hauteur de la pièce, on aura
STAB. 37
•290 FERMES EN BOIS
K = et K' = - ,
ce qui veut dire que l'épaisseur du tenon devra être le quart
de celle de la pièce. Ce sont là des proportions très souvent
adoptées parles charpentiers.
On adopte encore quelquefois K = - d'où l'on déduit
en vertu de l'équation (1) K' = - Dans l'un comme dans
l'autre cas [3 = 2-y = 1/4 ab, ce qui veut dire qu'il sera prudent de considérer la traction du tirant comme étant à répartir sur ;le quart seulement de sa section. Autrement dit, on devra calculer le tirant, et plus généralement toutes les pièces de bois tirées, en comptant sur la section entière mais en admettant pour résistance de sécurité le quart de la résistance usuelle, soit 150 000k au lieu de 600 000k par m2.
(e) Calcul plus exact. — En agissant ainsi, on trouvera peut-être que nous sommes d'une prudence exagérée et que nous ne tenons pas compte de la résistance de la partie V de la section du tirant qui est située au-dessous des jouées de la mortaise. Pour faire le calcul en en tenant compte, il faudrait (fig. 332) : 1° chercher le centre de gravité G de la surface d'about p du tenon et de son embrèvement et supposer que ce point est le centre des pressions transmises par l'arbalétrier ; 2° chercher le centre de gravité G' de la surface d'about de la mortaise, calculer sa surface £2, son moment d'inertie I et la grandeur a de son noyau central. 3° prendre la distance X des deux points G et G' et, pour avoir la tension unitaire maxima développée sur l'arête D'C, appliquer la formule (1) du n° 329 ; voici cette formule :
p(max)=â(l +,-)• Adoptons le premier tracé de mortaise (hauteur d'em-
l <jt >
Fig. 33:!
brèvement 1/6 b, largeur de tenon 1/4 et) ; on reconnaît facilement que le centre de gravité G de la surface p des abouts tombe alors sur la ligne D'C, c'est-à-dire précisément
. sur l'arête de la section d'about de mortaise qui doit transmettre au corps du tirant l'effort horizontal ff trouvé cidessus.
Or, en négligeant le vide occupé par l'about du tenon cette section d'about il est rectangulaire et nous savons que, si le centre de pression est situé sur son arête, la tension unitaire développée sur cette arête est le quadruple de ce qu'elle serait si le centre de pression tombait au centre de gravité.
Ainsi : 1° la composante ff sur les abouts (fig. 331-1) est plus grande que la tension ff" donnée par- l'épure de statique graphique ; 2° la section de transmission (2y + V) est les 3/4 de la section entière du tirant, ce qui rendrait déjà la tension unitaire égale aux 4/3 de ce qu'elle serait sur section entière ; 3°, par le fait de l'excentricité du centre de pression G, la tension unitaire est encore rendue 4 fois plus grande sur l'arête dangereuse.
Elle est donc en réalité 4 fois les 4/3, soit les 16/3, soit plus de 5 fois ce qu'elle serait sur section entière.
Pour toutes ces raisons, nous croyons pouvoir formuler la règle suivante :
(/") Règle pour la mortaise. — « La résistance d'assem- « blage de toute pièce de bois qui sera tirée par le fait d'un « assemblage à tenon et mortaise avec embrèvement sera « calculée à la traction, sur section entière, mais en pre- « nant pour résistance de sécurité pratique le quart et, « mieux encore, le cinquième de la résistance ordinaire de « sécurité théorique; la section dangereuse de la pièce sera « la section d'about de la mortaise. »
(g) Pièces à la fois tirées et fléchies. — Si, comme nous le verrons plus loin, le tirant supportait en outre un plancher il travaillerait alors, avec section dangereuse en son milieu, comme pièce à la fois fléchie et tirée. Nous établirons une formule et un abaque pour en faire le calcul. Dans la formule que nous établirons entrera la résistance de sécurité, mais ce sera la résistance entière et non plus la résistance réduite comme pour le calcul de la mortaise.
Par conséquent, dans ce cas, on calculera d'abord la pièce en tant que pièce mortaisée, c'est-à-dire à section entière mais avec résistance de sécurité réduite au cinquième; on la calculera une seconde fois comme pièce à la fois tirée et fléchie, mais avec résistance entière de sécurité et l'on choisira le plus fort des deux équarrissages ainsi trouvés.
{h) Résistance du tenon. — Le tenon et son embrèvement pourraient périr par écrasement de leurs abouts : mais si, par les conditions précédentes, l'écrasement de l'about de la mortaise est évité, il en sera de même pour le tenon ; de sorte que l'arbalétrier et, plus généralement, toute pièce comprimée sera surtout dangereuse en tant que pièce aboutée; c'est comme telles que seront déterminées ses dimensions. Néanmoins, au point de vue de l'écrasement du tenon ou plutôt de l'about de l'embrèvement, car c'est
FERME DE x MÈTRES DE PORTÉE
lui qui doit supporter presque tout l'effort, nous conseillons d'employer les embrèvements à abouts multiples (fig. 333, I et II). Le tracé de la figure II nous semble le meilleur ; il
Fig. 333
répartit les tensions sur la plus grande partie des sections aussi bien sur l'arbalétrier que sur le tirant ; il réduit au minimum les effets de l'excentricité.
3S4. Calcul des pièces de la ferme. — (a) Marche à suivre. — Nous conseillons de commencer le calcul des bois par l'arbalétrier. C'est lui qui supporte le plus grand effort et cet effort est une compression. Il sera donc calculé comme pièce aboutée, à section carrée, car il ne doit subir aucune autre flexion que celle due à son propre poids et qui est négligeable. Soit a son côté d'équarrissage.
Pour des raisons de stéréotomie pure et de tracé d'assemblage, le tirant et le poinçon ne pourront pas avoir une épaisseur inférieure à a ; ce qui déterminera un des deux côtés de leur rectangle d'équarrissage ; leur second côté sera calculé d'après l'effort de traction qu'ils doivent supporter.
Les contreûches (comprimées) seront calculées comme pièces aboutéesà section carrée, sans qu'il y ait lieu de faire coïncider leur équarrissage avec celui des pièces qu'elles réunissent, car il sera toujours plus petit.
(b) Pièces comprimées. — 1° Arbalétrier. — Compression N = 3125k, longueur / = 2m,40. Nous en avons indiqué le calcul au n° 342-5 comme application de l'abaque n9 8 relatif aux bois de charpente, et nous avons trouvé pour son équarrissage carré
a = 5 = 12cm.
2° Contre fiche. — Compression N — 1092, longueur / = 2,30, d'où l2 = 5,29. Nous formons le rapport N = K72 avec K' = 12 (v. n» 340, tableau n° 5, col. 5, type A) et l'on a par conséquent :
Wî2 "
Sur l'abaque n° 8, des bois de charpente (v. n° 342), nous prenons la radiante marquée 17 et son point d'intersection avec la courbe de Rankine, qui est ici la plus défavorable, nous donne, par son abscisse, la résistance de sécurité à adopter
R' = 16k,2 par cm2 .
Le module d se calcule en faisant m = 1,0 par la for-
mule
d = = VïiTi = 8cm'24^
mR' V 16, 2 on prendra donc, en forçant légèrement, a = b
9cm.
(c) Pièces tirées. — 1° Tirant. — Traction T = 2610". A cause de la mortaise nous le calculons à section entière, mais avec le cinquième de la résistance entière de sécurité (v. n° 353-/"), c'est-à-dire à 60 : 5 soit à 12kde résistance par centimètre carré.
Soit a et b les côtés de son rectangle d'équarrissage-. On a déjà a = 12cm puisque le tirant doit avoir la même largeur que l'arbalétrier. Nous aurons donc l'équation
aX hX 12k = 261 0\
= 18cm.
d'où
2° Poinçon. — Traction T = 1050k. Le poinçon est, avant tout, une pièce d'assemblage. A sa partie supérieure (fig. 334) il est percé de quatre mortaises, savoir : une pour chacun des arbalétriers R, R et une pour chacune des pannes faîtières C. Heureusement ces dernières mortaises ne sont pas placées au même niveau que les premières. En
Fig. 334
réalité le point faible du poinçon est la section horizontale des abouts XX'. La section résistante y, y y est aussi le quart environ de la section entière, de sorte qu'il conviendrait de vérifier la section du poinçon en divisant sa tension (ici 1050k) parle quart (soit 15k) de la résistance entière 'de sécurité.
Mais, pratiquement, la tension du poinçon est toujours inférieure à celle du tirant; de plus le poinçon, pour des raisons de stéréotomie pure, ne saurait avoir des dimensions moindres que celles de l'arbalétrier et du tirant ; pour toutes ces causes on donnera au poinçon la même largeur qu'au tirant et, presque toujours, sa résistance sera ainsi bien suffisante.
FERMES EN BOIS
L'équarrissage du poinçon sera donc
355. Calcul des pannes. — Le calcul des pannes sera basé sur le théorème suivant, qui donne la loi de résistance des pièces rectangulaires déversées :
(a) Théorème des pièces déversées. — « Lorsqu'une
« pièce, à section droite rectangulaire, est soumise à un « couple (ou moment) fléchissant dont le plan a pour trace « sur la section droite une droite ON, ne se confondant pas « avec un des axes principaux d'inertie, l'effort unitaire « maximum p. c'est-à-dire celui qui est supporté par la « fibre extrême située au sommet G du rectangle de section « droite, est inversement proportionnel au segment of—~k « intercepté par cette trace dans le losange qui constitue le « noyau central du rectangle.
« Cet effort unitaire a pour expression, M étant le mo- « ment fléchissant, a et b étant les côtés du rectangle,
V ~ aXbX*
Soient OX et OY (fig. 335-1) les axes principaux d'inertie, et ]x et ly les moments d'inertie principaux du rectangle; on a :
ab3 ba:>
I, = — et I„ :
Soit ON la trace du plan du couple fléchissant M et a l'angle qu'elle fait avec l'axe OX. L'axe représentatif de ce couple sera OM perpendiculaire sur ON.
Cet axe du couple peut se décomposer en deux autres Mx et My dirigés suivant les axes d'inertie et l'on a :
M sin a
et
M COS a.
Le premier couple produit un infléchissement autour de OX, et cet infléchissement donne naissance, sur la fibre du sommet C du rectangle, à un effort unitaire p' donné par la formule connue, dite de l'effort extrême :
M, - - M sin a, et fai-
En remplaçant I par IT, M par sant v = 1 /2ô, il vient
Mr b 6M sin a
Le second couple My produit sur la même fibre C un effort unitaire p" et l'on a, en raisonnant de même,
6M COS a
ba2 '
L'effort unitaire total p supporté en G est donc
6M / sin a cos a'\ ab \ b a
gueur Of — À qui soit inversement proportionnelle à p et telle que l'on ait
Cela posé; portons sur la trace ON du couple une Ion-
>. = ix
d'où
P= rX
En substituant dans l'équation (1) elle devient 6X cos a GX sin a
Fig. 335
Si nous appelons x' et y' les coordonnées du point f et si nous posons a' = 1/6 a et 'b' =1/6 6, cette équation s'écrit, en remarquant que x' = X cos a et y' = X sin at
Ce qui prouve (v. C, n° 37-c) que le lieu des points tels que f est la droite BD qui détache sur chacun des axes une longueur égale au sixième du côté correspondant du rectangle ; c'est donc bien l'un des côtés du losange de noyau central. C.O-F.D.
Le côté BD du noyau central est donc, en quelque sorte, la représentative de la résistance de la pièce, puisque cette
résistance est inversement proportionnelle à l'effort libraire de la fibre extrême C.
Au lieu de la représentative BD on peut prendre la droite B'D' qui joint les milieux des côtés, mais alors on aura
P ~ ÔT x al
au heu de P^X-^
Plus commodément peut-être, supposons (fig. 335-11) que la panne ACEG soit placée sur l'arbalétrier; par l'angle inférieur E menons la verticale ; elle rencontre en J la diagonale, qui est opposée à cet angle inférieur. Soit 8 la longueur EJ ; il est facile de voir que EJ, de la fig. II, est le double de OF, de la fig. I.
(b) Calcul de l'équarrissage d'une panne. — On a donc pour expression de la pression unitaire maxima (fig. 335-11)
M ' = ïxjx*
En faisant dans l'équation (1) p sécurité, il vient
R résistance de
C'est X équation d'équarrissage des pannes.
o est évidemment une fonction de a, de b et de l'angle a, c'est-à-dire de la pente du toit. Pour obtenir cette fonction, la similitude nous permet d'écrire (fig. 335-11)
EJ' AJ AT ËG ~~ Â~G ~~ ÂË'
ou bien, en supprimant le rapport intermédiaire
o COS a
<j sin a
ou, en simplifiant,
- COS a H- - «in a a b
On peut se donner une des trois longueurs a, b, ou 3 et les équations (2) et (3) permettront d'en déduire les deux autres.
Le calcul serait un peu pénible; nous proposons d'employer une courbe d'erreur, comme suit (fig. 336).
1° Assez souvent on se donne b, c'est-à-dire la distance qui sépare le lattis supérieur des arbalétriers du lattis inférieur des chevrons. On connaît donc le point A (fig. 336). Alors on fait un premier essai pour a', c'est-à-dire que Ton se donne en EG' une valeur arbitraire pour a'.
Si l'on était tombé juste sur l'équarrissage voulu, en calculant par l'équation d'équarrissage des pannes le segment vertical 8', et en le mesurant sur l'épure, on devrait trouver le même nombre ; on devrait donc avoir
(calculé) = EJ' (mesuré).
Wba
Mais cette valeur calculée sera probablement différente de la longueur mesurée EJ', interceptée sur la verticale ES
par la diagonale. Soit --' l'erreur que nous supposons commise par excès. On portera de G' en S' cette erreur b' sur une perpendiculaire à EG'.
On fera un second essai avec une autre valeur EG"= a". On calculera la valeur correspondante 8"; il est probable qu'il y aura encore une erreur s" que nous supposons commise par défaut. On la portera, de même, de G" en S", mais de l'autre côté de la ligne EG'. Cela fait, on joindra S' et S" et le point d'intersection G donnera le véritable équarrissage.
2° On peut encore se donner le rapport b : a — m, c'està-dire la proportion du rectangle d'équarrissage.
Alors un premier essai, fait avec une valeur arbitraire a' donnée à la largeur a, laquelle entraîne graphiquement la valeur de b' et de 8', fait connaître le produit a'b'o'.
Soit a'b'o'— K' ce produit, et soit K = 6M:R valeur connue. Si K' est égal à K, alors on possède l'équarrissage voulu, en vertu de l'équation (2). Sinon il faut multiplier l'équarrissage d'essai a' par le rapport des racines cubiques de K et de K' et l'on aura
(c) Equarrissage le plus économique. — Enfin on peut se poser la question suivante : (juel est l'équarrissage le plus économique ?
Ce sera celui dans lequel, pour une valeur donnée du segment 3, la surface de section, c'est-à-dire le produit aXb, sera minimum.
Si le produit ay^b est minimum, son inverse sera maximum. Il faut donc chercher le maximum du produit
ou, ce qui revient au même, du produit 1 1
- COS a X r Sin a.
Mais en vertu de l'équation (3) la somme de ces deux facteurs est constante; le maximum du produit aura donc lieu lorsque ces deux facteurs seront égaux ; ce qui donne :
-COSa=-sina ou - = tgra.
Ce qui veut dire que :
« L'équarrissage le plus économique est celui pour lequel
« la diagonale du rectangle est verticale (fig. 337-1). »
Si l'on tient compte de l'action du vent, la charge supportée par la panne sera inclinée (fig-. 337-11) suivant une direction I'G, et cette direction donnera la diagonale du rectangle, c'est-à-dire, en somme, la proportion de ce rectangle.
Dans un cas comme dans l'autre, pour en avoir les dimensions exactes : 1° on prendra une valeur d'essai a' ; 2° on en déduira, graphiquement, les valeurs correspondantes de b' et de 8' et l'on fera le produit K' = a'b'o'.
D'autre part on doit avoir pour les vraies valeurs de a, b
et 8, d'après l'équation (2)
if 6.VI „ abo = - - — K ,
d'où l'on déduira, comme ci-dessus :
Nota. — Nous conseillons, tout en appliquant ce tracé, de ne pas accepter de pannes dont la hauteur b serait trop
