TIRANT PORTANT PLANCHER

Ferme de 8m de portée. Equarrissage des pièces.

Calculé

Pratique

Désignation des pièces

§4. — Ferme de 8 mètres, avec tirant portant plancher

356. Calcul des pièces tirées et fléchies. — Le tirant de la ferme que nous allonsétudier subira une traction, comme en supportait le tirant de la ferme précédente ; mais, de plus, il sera fléchi par le fait du plancher qu'il doit soutenir. Dans ce cas, les fibres inférieures de ce tirant subiront une double traction. C'est un problème analogue à celui des pièces aboutées, avec cette différence que, pour ces dernières, la flèche prise tendait à augmenter avec la compression, ce qui produisait le flambage, tandis que, dans le cas actuel, la traction générale de la pièce tendrait plutôt à réduire la flèche prise.

(a) Equation d'équarrissage complexe. — Soit N la traction générale, M le moment fléchissant maximum, v la distance à l'axe neutre de la fibre la plus éloignée, dans la section dangereuse, (celle pour laquelle le moment est M), 1 le moment d'inertie de cette section, £2 sa surface :

La traction générale N développe dans cette fibre un effort unitaire égal à N : <>. Le moment fléchissant M développe dans la même fibre un effort unitaire égal à Mo : I.

Ces deux efforts s'ajouteront et, pour la solution la plus économique, leur total devra être égal à la résistance de sécurité R ; on aura donc Y équation d'équarrissage complexe:

N Mv

Supposons qu'il s'agisse de pièces de boisa section rectangulaire ayant pour côtés a et b. On a :

I ab2

il = ab et - =

En substituant dans l'équation (1) elle devient ab ab1

On peut se servir de cette formule soit pour vérifier une pièce de bois soit pour en déterminer les dimensions. Dans le premier cas, on connaît a, b, N et M ; par conséquent on calcule la valeur du second membre et l'on doit trouver, si la pièce est satisfaisante, un nombre inférieur ou, au plus, égal à R.

Le second problème est plus intéressant. On connaît N, M et R; il faut calculera et b. La solution est indéterminée ; mais elle ne l'est plus si l'on se donne soit l'une des deux dimensions (a ou b) soit la proportion du rectangle d'équarrissage, c'est-à-dire le rapport n — a:b.

(b) 1er Problème. — On connaît la hauteur b, calculer la largeur a.

L'équation (2) nous donne

N 6M a ~Rb + RÎ?'

a est la somme de deux termes ; le premier a' = N : Rb serait la largeur de la pièce si elle n'était soumise qu'à la traction générale N ; le second, a" = 6M : Rb2, serait la largeur de la pièce si elle n'était soumise qu'au moment M.

Application. — N = 20000k. M = 1500km et b — 0m,38; on en déduit, en adoptant R = 600000\ 20000

(c) 2e Problème. — On connaît la largeur a, calculer la hauteur b.

Ce problème est celui qui se présentera le plus souvent pour les tirants de ferme, puisque la largeur a du tirant est, en quelque sorte, imposée par celle de l'arbalétrier et que nous conseillons de calculer l'arbalétrier en premier.

L'équation (2), ordonnée par rapport à b, devient :

En posant b' — N : ail, on remarquera que b' serait la hauteur à donner à la pièce si elle n'était soumise qu'à la traction N.

En posant b"2 = 6M : «R, on remarquera que b" serait la hauteur à lui donner si elle n'était soumise qu'au moment M.

FERMES EN BOIS

L'équation (3) s'écrira donc avec ces notations (3) p — b'b -b"* = 0,

d'où

Application : N = 5850k, M = 2400km et a = 0,18 ; on aura

b'2-hU"2 = 0,5624

= 0,054, d'où b'2 = 0,0291, = 0,1333, d'où 4ô"2 = 0,5333,

et

«R nR

5 = - 1 0,0291 + 0,7500^) = 0,389 , soit 0m39 .

(rf) 3e Problème. — On connaît la proportion du rectangle d'équarrissage, c'est-à-dire le rapport n = a : b de la largeur à la hauteur.

En faisant dans l'équation (3), a = nb elle devient, après simplifications,

Elle est du troisième degré en b et de la forme b3 — pb + q ; on la résoudra au moyen de l'abaque n° 6 (v. n» 262).

Application. N = 5850, M = 2400 et n = a : b = 0,461 . C'est la proportion de la pièce calculée à l'exemple précédent ; cela nous donnera une vérification. Les coefficients de l'équation du troisième degré sont

Dès lors sur l'abaque n° 6, nous faisons passer le trait sur transparent par le point marqué à gauche p — 0,021 et par celui marqué à droite q — 0,052, (On prend 0,52 et non 0,052 comme il est dit dans l'explication de l'abaque.) Ce trait rencontre la solutive de gauche au point marqué b = 0m,39. Nous retrouvons la même dimension que cidessus.

Étudions maintenant la ferme de 8m de portée dont le schéma est indiqué figure 340.