BIELLE PAR ARBALÉTRIER

ainsi, fd, compression de l'arbalétrier, et af, traction du tirant, sont plus grandes sur la fig. IV que les quantités analogues sur la fig. III.

Nota. — Cas d'une surcharge de neige. — Si l'on ne tient compte que d'une surcharge de neige, la résultante de toutes les charges du comble étant verticale, les réactions sont verticales dans tous les cas, que les appuis soient à rotule fixe, à rotule roulante ou à frottement.

(b) Les deux appuis sont à frottement. — Tout d'abord il est évident que, même si le système éprouve des défigurations intérieures, il faudra que la résultante générale de toutes les forces appliquées sur le comble fasse avec la verticale un angle inférieur à l'angle de frottement, car s'il en était autrement le système tout entier glisserait sur les deux surfaces horizontales d'appui, exactement comme ferait un système indéformable. Il faut, en outre, pour la même raison, que la réaction de chaque appui, laquelle est égale et contraire à l'action de l'extrémité de la ferme sur lui, soit aussi comprise dans l'angle de frottement.

Je dis que ces considérations vont nous autoriser à admettre, sans erreur sensible, que les deux réactions X et Y (fig. 351-1 J peuvent être prises parallèles à la résultante R des forces obliques qui agissent directement sur la ferme.

Digression. — Avant de justifier cette assertion, montrons d'abord comment nous pourrions déterminer ces deux équilibrantes parallèles X et Y de la résultante R.

Pour cela (fig. 351-1), joignons DB et considérons le triangle ADB comme un funiculaire dont nous construi-

rions le dynamique à côté (fig. II). Sur ce dynamique, MN est la résultante ; les rayons polaires 1 et 3 sont parallèles respectivement à AD et à DB; le rayon moyen ne 2 est OP parallèle à AB (fig. 351 -II); les réactions sont donc: Y = N[S et X = ?M. Cela posé, revenons à la question.

1° Si les appuis étaient à rotule fixe, le problème ne pourrait être résolu par la statique pure; il serait indé-

Fip. 351

terminé, et en joignant un point quelconque I de la droite OP aux points M et N, nous aurions un système NI et IM de deux réactions possibles des appuis A et B.

Nous ne pourrions déterminer ces réactions qu'en faisant intervenir les défigurations élastiques de la ferme.

Si nous admettions que la ferme est indéfigurable, nous pourrions, puisque la distance AB des nœuds est supposée invariable, assimiler la ferme à une pièce indéfigurable posée sur deux appuis fixes (voir théorème n° 367-c) et considérer les deux réactions comme parallèles à la résultante.

2° Si les appuis sont à simple frottement, le problème est encore indéterminé, mais nous pouvons limiter les solutions possibles. 11 ne faut pas, en effet, que les nœuds A et B se déplacent et, pour cela, les réactions ne doivent pas faire avec la verticale un angle supérieur à l'angle de frottement <p.

Dans les fermes en bois, les nœuds extrêmes reposant directement sur les murs, o est l'angle de frottement de bois sur pierre égal à 20° environ; dans les fermes en fer, on interpose ordinairement entre les abouts des arbalétriers et la maçonnerie une semelle en fer ou en fonte et l'on doit prendre o = 10° correspondant au frottement de deux métaux h sec.

Dès lors, construisons sur le dynamique (fig. 351-11) les angles aMP et (3NQ égaux à l'angle de frottement <p; les réactions devront être comprises dans ces angles, ce qui ne sera possible que si, tout d'abord, la résultante générale R fait avec la verticale un angle inférieur à l'angle de frottement; il en sera ainsi en général, sinon tout s'effondrera.

Les réactions ne pourront donc pas sortir du parallélogramme MaNp; les valeurs extrêmes à admettre sont : X = a M et y = Na ou bien X = J3M et Y = Np.

Cela prouve donc que, en supposant les réactions diri-

FERMES MÉTALLIQUES

gées suivant MN, nous prenons, en quelque sorte, des moyennes peu différentes des valeurs possibles de ces réactions; et nous ne commettrons ainsi dans le calcul des tensions des différentes barres que des erreurs assez faibles.

3° Si nous supposons que Ton fixe d'une manière invariable l'un des nœuds, B par exemple, par une rotule fixe, l'autre A restant à simple frottement, les réactions ne devront pas sortir du quadrilatère PMaN, et l'erreur commise en prenant MN comme direction des réactions sera, encore, relativement faible.

4° Si l'on veut faire intervenir l'action de la température, on remarquera qu'une élévation de température tend à produire un allongement de AB, ce qui fait que les nœuds A et B poussent horizontalement sur leurs appuis; les réactions s'obtiendront donc en composant avec X et Y des poussées horizontales telles que AT et BT' (ûg. 1).

Si la température s'abaisse la distance AB tend à diminuer, et les nœuds A et B tirent horizontalement sur leurs appuis; les réactions s'obtiendront en composant avec les réactions X et Y des forces horizontales ATi et BT'i de sens contraire à AT et BT'.

Dans les deux cas, les réactions se rencontreront sur la résultante et ne devront pas sortir du parallélogramme Ma, N[i.

En résumé, ainsi que nous l'avons affirmé, en prenant les deux réactions des appuis parallèles à la résultante des forces extérieures, nous ne serons peut-être pas dans les conditions exactes de la réalité, mais nous nous écarterons très peu des valeurs de ces réactions compatibles avec l'équilibre général de la ferme et avec l'équilibre partiel de chacun de ses appuis. C.Q.F.D.

370. Calcul des tensions des barres. — (a) Réactions des appuis (fig. 352). — Construisons (fig. II) le dynamique mpqrstvxyn des forces appliquées sur les pannes de la ferme ; la résultante générale est rnn; nous appuyant sur ce qui précède, faisons l'hypothèse que les réactions sont parallèles à cette résultante et construisons (fig. I) un funiculaire *p en prenant un pôle quelconque 0.

Menons par le pôle 0, sur le dynamique, une parallèle à la base a$ de ce funiculaire jusqu'à sa rencontre au point a avec la résultante mn; les deux réactions sont :

X = am = 5750% Y = na == 5000k.

(b) Charges sur chaque nœud. — Nous avons dit que nous supposions l'arbalétrier coupé au droit de chaque nœud; alors chaque portion d'arbalétrier détermine sur ses nœuds d'appui des réactions parallèles à la résultante des charges qu'elle supporte; nous allons, sur le dynamique lui-même, trouver les charges qui incombent à chaque nœud. A cet effet, considérons la portion 1,2, de l'arbalé-

trier de gauche; elle supporte deux charges obliques de 1550k. Le dynamique de ces deux forces est mpq. Les réactions lf et 23 aux points 1 et 2 s'obtiendront en menant sur le dynamique une parallèle 06 à la base du funiculaire partiel obtenu en composant les deux forces de 1550k.

bm — 1250k est la charge reportée sur le nœud n° 1, bq est la charge reportée sur le nœud n° 2. Si nous opérons de même pour le tronçon 2 4, d'arbalétrier, nous trouverons sur le nœud 2 une charge donnée par la longueur qe du dynamique ; cette charge jointe à celle qui -provient du tronçon 1, 2, donne bq -+- qe = 3775k. Sur le nœud 4, la charge provenant de l'égout de gauche est et.

Le tronçon 4.5 d'arbalétrier de droite donne sur le nœud 4 une charge verticale tg, qui représente ce que le faîtage reçoit de l'égout de droite. En composant les deux forces et et tg sur le dynamique, nous i avons en eg la charge oblique du faîtage, laquelle est de 3050 k.

Enfin on obtient la charge sur le nœud 5, qui est de 2100k. et la charge sur le nœud 7, de 640 k.

(c) Séparation des espaces. — Nous désignerons, comme pour les fermes en bois, les différents espaces par les lettres A, B, C, D, etc., en remarquant que le triangle 3, 4, 6 ne constitue qu'un seul espace, attendu que l'aiguille verticale ne sert qu'à soutenir le tirant horizontal pour l'empêcher de fléchir en son milieu ; elle n'intervient pas dans l'épure des tensions.

(d) Nœud n° 1. — Le nœud n» 1 est soumis à la réaction X = am = 5750 k. et à la force oblique mb = 1250 k.; la résultante de ces deux forces est ab = 4525 k.

Ce nœud jonctionne les trois espaces A, B, et C; son dynamique est abc, obtenu en menant par le point a la parallèle ac à la barre A.C et par le point b la parallèle bc à B.C. En cheminant dans le sens amorcé par la réaction ab, nous voyons que bc = 13950 k., poussant sur le nœud n° 1, l'arbalétrier est comprimé; tandis que ca — 12850 k. tire sur le n° 1 ; le tirant C,\ est donc tiré.

(e) Nœud n° 2. — Ace nœud aboutissent quatre forces savoir : CB, connue par l'épure précédente, BE, charge sur le nœud, égale à 3775 k.; ED, et DC inconnues mais dont les directions nous sont données.

Le dynamique bcdc de ce nœud est donc facile à construire en menant ed parallèle à ED, et cd parallèle à CD, ce qui détermine le sommet d.

Le cheminement se fait dans le sens amorcé par la force be, qui, en tant que charge, doit être parcourue de haut en bas, c'est-à-dire de b vers e. Nous avons alors sur l'arbalétrier la compresssion ed — 12375 k. et sur la bielle la compression de = 3600 k.

(f) Nœud n° 3. — C'est encore un nœud à quatre forces

FERME POLONCEAU A UNE BIELLE PAR ARBALÉTRIER

Fig. 352

FERMES METALLIQUES

dont deux sont connues, tandis que les deux autres sont données en direction. Son dynamique amorcé par ac est acdf .

(g) Nœud n° 7. — Le n° 7 est comme le nœudn0 1 soumis à deux forces : la réaction Y = na — 5000 k. et la force verticale in = 640 k., dont la résultante est ia — 4350k.

Son dynamique est iaj.

Ces nœuds sont analogues

aux

(h) Nœuds 5 et 6.

nœuds 2 et 3.

Le dynamique du nœud 5 est gijh.

Celui du nœud 6 est hjaf; le côté fh doit être parallèle à FH pour que le dynamique général se ferme ; cela fournit une vérification précieuse.

(/) Nœud n° 4. — C'est un nœud à cinq forces, qui sont actuellement toutes connues ; le dynamique de ce nœud est eghfd.

371. Calcul des pièces de la ferme à simple tension. — (a) Tableau des efforts. — Les tensions des différentes barres étant connues, nous pourrons déterminer leurs dimensions; nous les calculerons pour le côté gauche de la ferme qui est le plus fatigué, et nous construirons les deux moitiés de la ferme avec les mêmes dimensions, car le vent peut souffler aussi bien sur un égout que sur l'autre.

Formons d'abord le tableau indiquant les dimensions de ces pièces ainsi que les tensions qu'elles supportent :

Désignation des Pièces

Tirants d'arbalétriers.

Tirant de ferme . . .

Nature des efforts

Traction .

Id. . .

ld. . .

Arbalétrier.

Bielle .

Pannes

(Compression \ l 2( Flexion. . .

i (Compression ' ~ \ Flexion. . .

Compression Flexion. . .

Valeurs des efforts (en kilos;

Nota. — Le moment fléchissant M sur l'arbalétrier a été déterminé par une épure (voir plus loin n° 372-è).

(b) Pièces tirées. Tirants. — Les tirants seront cylindriques. Nous calculerons leur section circulaire en admettant une résistance de sécurité de 8 k. par millimètre carré. — Ayant leur surface a, le tableau des nombres de la fin du livre donnera le diamètre.

Le tirant 1.3 supportant 12850", sa section en millimètres carrés sera

Q = 12850 : 8 = 1006. d'où d = 46mm.

Pour le tirant 3, 4, nous aurons

q, = 7600 : 8 = 950, d'où rf, = 35mm.

Pour le tirant de ferme 3, 6,

Q2 = 5825 : 8 = 728 d'où d, = 3 lmm.

L'aiguille verticale supportant ce dernier tirant en sonmilieu doit en porter la moitié soit :

La section devrait donc être

Q3 = 22,43 : 8 = 3mm2 par excès, d'où d — 2mm.

Cette dimension étant beaucoup trop faible, pratiquement, on lui donnera un diamètre de 10m/m environ, au moins.

Il sera bon, d'ailleurs, de forcer .toutes ces dimensions.

(c) Pièces comprimées. — Bielles. — Les contreflches, ou bielles, sont en fonte, à section cruciforme dans leur partie médiane (flg. 252-ôis) ; leurs extrémités sont cylindriques. Du côté de l'arbalétrier, la bielle porte sur un sabot en fonte dans lequel elle est maintenue par un boulon; à l'autre extrémité, elle porte sur une double flasque en tôle, qui sert aussi à recevoir les extrémités des tirants.

Nous admettrons pour la résistance de sécurité de la fonte à la compression R = 8.

I. Sections aux extrémités. — Nous calculerons les sections de la pièce aux extrémités, où le flambage n'est pas à craindre, par la formule ^ = N : R ; mais pour tenir

Vue latérale Vuede/àce

Fig. 352 bis

compte de l'excentricité possible du point d'application de la charge, nous prendrons seulement 0,8R comme résistance de sécurité.

FERME POLONCEAU A UNE BIELLE PAR ARBALETRIER

Nous aurons donc Q =

562, 5mm2 correspon-

0,8 X 8 dant à un diamètre de 27,nm.

Mais ce diamètre sera augmenté pour des raisons de

construction et d'ajustage.

II. Section au milieu. — Pour calculer cette section nous nous servirons de l'abaque n° 7 des pièces aboutées (page 274), après avoir calculé les modules du type adopté, s'il ne se trouve pas dans le tableau donné à la page 272.

Nous prendrons une section en croix de largeur d, avec des épaisseurs d'ailes e=l/6rf; nous avons alors obtenu :

iï=md2= 0,3055^ | /•3 = K(/2=0,0465rf2 | K'= m : K=6,4444.

Calculons N : K'I2 en prenant pour la longueur de sinuosité /, la longueur même de la bielle c'est-à-dire 2m> puisque nous ne supposons pas qu'il y ait encastrement aux extrémités. Nous avons, dès lors,

Sur l'abaque n° 7 dit : abaque des matériaux (page 274), menons la radiante 140 qui rencontre la courbe fonte en un point qui nous donne pour la résistance de sécurité à adopter : R' = lk,9.

Nous aurons alors

Il en résulte e = i/6d = 13mm,5.

Passons maintenant au calcul des arbalétriers, mais établisssons, d'abord, la théorie, approchée, des pièces à la fois comprimées et fléchies.

372. Méthode générale pour le calcul des pièces comprimées et fléchies. — L'arbalétrier est soumis à une compression longitudinale et à une flexion due aux charges normales agissant sur toute sa longueur. La compression tend à produire, dans le sens du plan de la ferme, un flambage d'autant plus accentué que la pièce a déjà pris une flèche sous l'influence des charges qui lui sont normales.

Le flambage, dans le sens perpendiculaire au plan de la ferme, n'est pas à redouter 1° parce que les pannes, assemblées de part et d'autre de l'arbalétrier, produisent sur lui des entretoisements qui réduisent la longueur de sinuosité à des limites où tout danger de flambage est à peu près écarté, 2° Parce que, dans ce sens, les charges normales ne produisent pas de flexion.

La tension unitaire maxima dans l'arbalétrier se composera de la somme des tensions unitaires maxima dues à la flexion et à la compression combinées.

(a) Formule dite : << d'équarrissage complexe ». — Soit / la longueur d'un tronçon de l'arbalétrier supposé coupé

au droit des nœuds : soit b sa hauteur, Q sa section, I son moment d'inertie ;

Soit M le moment fléchissant maximum auquel il est soumis, N la compression longitudinale ; calculons les tensions :

1° Tension unitaire R( due à la flexion. — Elle a pour valeur

Mb

2° Tension unitaire R2 due à la compression. — Nous la calculerons par la formule de Rankine déjà étudiée (v. n° 336.) Elle a pour valeur

* = ÏK5(1 + — )'

dans laquelle nous avons frappé la résistance de sécurité du coefficient 0,8 pour tenir compte de l'excentricité de la charge due à la flexion produite par le moment fléchissant M. (1).

On prendra pour les valeurs du coefficient K et de la résistance de sécurité R

Fer K = 0,00012 et R = 6k

Acier doux K = 0,00012 et R = 8 ou 10

Bois K = 0,00140 et R = 0\6

Comme nous supposons l'arbalétrier coupé au droit des nœuds, la longueur / de sinuosité sera égale à la longueur vraie du tronçon d'arbalétrier considéré.

La tension unitaire maxima développée dans l'arbalétrier sera la somme des deux tensions R, et R2 trouvée ci-dessus et comme elle ne devra pas dépasser la résistance vraie, R, de sécurité, nous aurons la relation : Mb N / K<>/2

Posons /

21 ' 0,8û\" ' 1 nb, cette équation se met sous la forme N / Kv.n2b^

Mb R ~ 1>T + 0,8a

Nous donnons à l'une ou à l'autre de ces deux équations le nom de formule d'équarrissage complexe parce qu'elle tient

(1) Au n° 336, nous écrivions la formule de Rankine sous la forme

qui peut s'écrire, eu chassant le dénominateur,

Je dis que c'est bien la même formule que celle que nous écrivons ici. En effet, R du n° 336 c'est la résistance vraie de sécurité, telle que nous la connaissons c'est-à-dire l'effort unitaire auquel peut être soumis réellement la fibre la plus fatiguée. R', du n" 336, c'est la résistance apparente de sécurité, obtenue en divisant la charge totale N par la surface totale il, comme si le flambage n'était pas à considérer; on a donc R' = N : <>. Enfin r du n" 336 c'est le rayon de giration et l'on a iïr- = l. En remplaçant R' et r du n° 336 par ces valeurs et ensuite en introduisant 0,8 de R au lieu de R ou retrouvera la formule ci-dessus.

Les valeurs de K el R données ci-dessous sont celles de la ligne D du tableau n» 3 de la page 270.

STAB. 40

FERMES METALLIQUES

compte à la fois de la compression avec flambage et de la flexion.

S'il fallait vérifier un arbalétrier de dimensions connues, il suffirait d'appliquer l'une de ces deux formules.

(b) Marche à suivre dans un projet. — Mais dans un projet, les dimensions sont inconnues ; pour les calculer, nous proposerons d'opérer de la manière suivante, l'arbalétrier pouvant être soit en bois soit en fer.