LES CHEVRONS

Nous composons un fer comme suit (fig. 365-V) :

Ame de 0,280X 0,006 0,001680

4 cornières 4 X (0,080 + 0,042) X 0,008. . 0,003904

Vérification.

Surface totale Q = 0,005584

Calculons, très exactement cette fois, les moments de résistance par rapport aux deux axes :

îx 0,160 X 0,2803 — 0,144 X 0,2043 — 0,016 X 0,4803

ly 0,180 X 0,0063 + 0,084 X 0,0223 + 0,010 x 0,1663 v ~ 6 X 0,166

Sur une nouvelle figure (fig. 365-111) nous portons en OV et 0'[i[, à une échelle quelconque, ces valeurs de I : v. Cela nous donne ce que nous avons nommé le noyau central amplifié ; nous joignons a' et p'; nous recoupons par la verticale Oy et nous obtenons une longueur interceptée 0'/" = )., =0,000120; d'où

au lieu de 10000000; le fer est donc très acceptable.

Aota. — Si nous divisons par la surface Q les I : v précédents, nous obtiendrons les dimensions du noyau central vrai.

Nous avions pris pour le noyau central d'essai

p' = 0,0933 et a' = 0,013 75.

On voit que ce noyau d'essai différait très peu du noyau vrai, ce qui justifie notre manière de procéder.

379. Calcul des chevrons. — Les chevrons supportent, par l'intermédiaire des lattes et des voliges, le poids de la couverture proprement dite et celui de la surcharge, neige ou vent. Ils sont donc dans les conditions d'une pièce oblique recevant des charges égales entre elles et également espacées dans le cas des lattes, et une charge uniformément répartie dans le cas des voliges. L'écartement des lattes est assez faible pour que l'on puisse, dans chacun de ces deux cas, considérer la charge comme uniformément répartie.

Le chevron est fixé sur les pannes, et, par suite, on peut le supposer coupé au droit de chacune d'elles, chaque tronçon étant indépendant des tronçons voisins et pouvant être considéré comme une pièce reposant sur deux appuis à rotules fixes.

(a) Tensions en chaque point. — Soit AB (fig. 366-1) un tronçon de chevron compris entre deux pannes; nous pouvons le supposer chargé par des forces élémentaires p non indiquées sur le croquis , égales et également espacées , dont la somme est égale à la charge totale P. Chacune de ces forces p peut être décomposée en une force n normale au chevron, et en une force langentielle q.

Si l'on décompose, de même, la force totale P en une force normale N et en une force tangentielle Q, ces composantes seront égales respectivement aux sommes des forces n et q.

Les forces normales n produiront une flexion, et les forces langentielles q donneront lieu à une tension longitudinale.

En doublant indéfiniment le nombre des forces p, nous obtiendrons à la limite la charge uniformément répartie.

En résumé, le chevron est dans les conditions d'une pièce qui serait à la fois chargée uniformément par des forces normales et comprimée par des forces longitudinales allant en croissant uniformément depuis le haut jusqu'au bas.

Evaluons les efforts libraires.

. 1° Tensions dues aux forces normales. — Les forces normales déterminent en chaque point un moment fléchissant dont la représentative est la parabole indiquée courbes des M sur la figure 366-1, et l'effort unitaire p, développé par ce moment fléchissant sur la fibre extrême de chaque section a pour valeur

Pt =

La représentative de cet effort unitaire pi serait une dilatation de la parabole précédente, c'est-à-dire une autre parabole marquée courbe des Mv : 1 sur la même figure, et dessinée en trait mixte.

Une seconde parabole, symétrique de la précédente, sera dessinée en dessous et représentera les efforts de compression en admettant que la précédente représente les efforts de traction.

2° Tension due aux forces longitudinales. — Il résulte du théorème du n°367-c, que le chevron étant fixé à ses deux extrémités sur les pannes, les réactions des appuis A et B sont égales entre elles, de signe contraire et ont pour valeur absolue I/2Q.

En B, la panne supérieure tire le chevron avec une force égale à ^Q, tandis que en A la panne inférieure le comprime avec la même intensité; et comme la charge longitudinale du chevron varie uniformément de A en B, la représentative de la tension totale due aux efforts longitudinaux serait la droite inclinée, dessinée en trait plein, allant depuis — 1/2Q au point A jusqu'à -h' 2Q au point B.

L'effort unitaire correspondant p2 s'obtiendra en divisant l'effort total par la section Q, qui est constante. Sa représentative sera une droite, dessinée en trait mixte, et allant depuis —0 : 2£2 en A, jusqu'à -+- Q : 20 en B.

FERMES MÉTALLIQUES

L'effort unitaire total p en un point quelconque sera la somme p = pl-\-p2 des efforts unitaires précédents. Sa représentative s'obtiendra en ajoutant analytiquement la parabole et la droite ; cela donnera deux paraboles (marquées en gros trait noir sur la figure); la supérieure pour

(II

Fig. 366

les efforts de traction, l'inférieure pour ceux de compression.

(b) Section dangereuse. — En menant à ces paraboles les tangentes D' et D parallèles à AB, on aura en G', à plomb du point D', la section dangereuse à la traction, et en G, aplomb du point D, celle dangereuse à la compression. Nous allons chercher la position des points G' et G, centres des sections dangereuses, et, pour cela, nous allons calculer les abscisses OG' et OG de ces points. Pour y arriver nous userons de l'artifice suivant.

Assimilons la parabole et la droite, dessinées en traits mixtes, à des représentatives de moments fléchissants que l'on aurait additionnées. A ces moments fléchissants répondent des efforts tranchants, et au point D' l'effort tranchant total doit être nul, puisque l'effort tranchant est proportionnel à la pente de la représentative des moments et que, en D', cette pente doit, elle aussi, être nulle.

L'effort tranchant répondant à la parabole trait-mixte est nul au point milieu 0. Et comme cette parabole serait due à des efforts normaux uniformément répartis, dont le total serait Nu : I, ce qui répond par mètre courant à Nw : I/, il en résulte qu'au point G', situé à une distance .i, = OG' du point 0, l'effort trancbant tu répondant à la parabole trait-mixte, aura pour valeur

A la droite trait-mixte répond un effort tranchant f2 positif, constant, égal à sa pente ; on aura donc

Ecrivons que le total / l'équation

~Ql'

t., est nul, ce qui donne

Qi II

d'où l'on tire pour l'abscisse de la section dangereuse :

N Ou

Interprétation des résultats. — Remarquons que I : Qv c'est la demi-largeur du noyau central de la section, et que Q : N c'est la pente de la force P, par rapport à la normale au chevron. Nous en concluons le tracé suivant (fig. 366-11) :

1° On prend, sur la section milieu du chevron, en S' et S, les extrémités du noyau central de cette section ;

2° Par ces points, on mène en SG et en S'G' des parallèles aux efforts P qui attaquent le chevron. Ils sontici verticaux ;

3° Les points où ces parallèles rencontrent l'axe du chevron, donnent en G, point inférieur, la section dangereuse à la compression, et en G', point supérieur, la section dangereuse à l'extension.

(c) Formule d'équarrissage du chevron. — Calculons l'effort unitaire de la fibre extrême pour une section quelconque située à la distance x du milieu 0.

En ce point milieu, le moment fléchissant dû à la force N uniformément répartie, a pour valeur 1/8N/. Pour le point situé à la distance x à droite, il faut diminuer ce moment de tout le moment qui est dû aux forces normales réparties, à partir du point 0, sur cette longueur x. Le total de ces forces est Nx : / ; le bras de levier de leur résultante est x : 2 ; par conséquent, le moment à retrancher a pour valeur Nz2

Le moment fléchissant M a donc pour valeur

Nx2 ~27

Il donne lieu à un effort unitaire extrême pt qui est

v/Nl

ils"

Nx2

Quant à l'effort longitudinal, il est nul au point 0, et à la distance x de ce point, il donne pour valeur p2 de la tension unitaire qu'il développe

l'effort unitaire total p est égal à pl -+- p-2 ; on a donc :

Qx 7û

Nu.?:2

Si dans cette formule on remplace x par la valeur x,