Cas où les trapèzes ont la même largeur. — Lorsque

(1) Mémoire de M. Collignon, Annales des Ponts et Chaussées, janvier

les trapèzes ont la même largeur de base, le tracé se simplifie. Le retournement bout pour bout place toujours le point d'équivalence partiel sur une des ordonnées, soit médiane, soit ordinaire.

Dans ces conditions, le polygone IJJglJ, (fig. 31), que

Fig. 31

nous nommerons le polygone quadrateur, est très facile à tracer ; voici comment on procède :

(a) . On mène d'abord les ordonnées des sommets, puis celles des milieux.

(b) . On joint le premier milieu I, au deuxième et l'on prend l'intersection I2 avec la verticale qui suit celle de I,.

(c) . On joint I2 au milieu du troisième côté et l'on prend l'intersection I3 avec la verticale qui suit celle de I2, et ainsi de suite.

57. Méthode arithmétique. — Si l'on voulait opérer arithmétiquement, on obtiendrait dans ce cas l'ordonnée du point final d'équivalence L en faisant la somme des ordonnées des trapèzes et en divisant cette somme par leur nombre.

En effet, soit B la base totale MN (fig. 31) et n le nombre

des petits trapèzes, la base de chacun d'eux est —• Soit S la

somme des ordonnées moyennes, on aura

Q = - , S = Bh ;

donc h = —

La méthode arithmétique est presque toujours la plus expéditive, il y a donc lieu de lui donner la préférence toutes les fois que la seule question à résoudre sera la recherche numérique de la surface. Si, en outre, il fallait trouver soit le centre de gravité, soit le moment d'inertie, la méthode graphique serait à employer.

§ 2. — Quadrature des surfaces planes limitées par des lignes courbes

58. Aire de la parabole. — Avant d'entamer l'étude des I nécessaire de considérer d'abord le cas où la ligne courbe surfaces limitées par des lignes courbes quelconques, il est | est une parabole.

PROBLÈMES SUR LES AIRES

Soit AC(/B (fig. 32) une parabole dont l'axe est vertical. Si nous considérons un segment compris entre la corde BG et la courbe, en menant parallèlement à cette corde une tangente à la parabole, nous obtiendrons entre ces parallèles et les ordonnées Bb et Ce un parallélogramme BbCc et le point de contact d se trouve sur Y ordonnée milieu, c'est-à-dire sur l'ordonnée qui est placée à égale distance des points extrêmes B et C.

On démontre par le calcul (v. Ct, 2e partie, ch. VII) que la surface du segment de parabole indiqué par les lettres BtfCD est les 2 3 de la surface du parallélogramme B/>Cc.

Fig. 32

De sorte que si, parallèlement à BG (Dg. 32) nous menons une droite aux 2/3 de la distance De?, nous formerons un nouveau parallélogramme BMNC de surface équivalente au segment proposé.

La droite MN sera la base d'équivalence du segment parabolique et le point I, situé aux deux tiers de la corde Drf, sera son point d'équivalence.

Il est à remarquer que cette base d'équivalence MN coupe la parabole de telle sorte que le segment parabolique arfp, laissé au-dessus de la ligne d'équivalence, a la même surface que le total des portions BMa et CNfî du parallélogramme laissées au-dessous de cette ligne, extérieurement à la courbe.

Nota. Ce que nous venons de dire s'applique aussi à un segment parabolique oblique (fig. 33). Le point d'équivalence I est aux deux tiers de la flèche oblique Bd.

59. Trapèze équivalent. — Si nous avons (fig. 34) dévaluer la surface d'un trapèze mixtiligne terminé par un arc de parabole, nous pourrons le décomposer en un trapèze, ABBab, et en un segment de parabole, AtfBA, (fig. 33).

Pour le trapèze, le point d'équivalence est en D sur l'ordonnée moyenne, et pour le segment de parabole, il est en dt , aux 2/3 de T)d ; par conséquent, le point d'équivalence du trapèze mixtiligne total est le point dr