Aire approchée d'un trapèze curvilique quelconque

— Dans le cas où le trapèze est terminé par une courbe quelconque, on peut, avec une grande approximation, assimiler cette courbe à une parabole ; on opère alors comme nous venons de le faire et l'on peut appliquer la méthode de quadrature de M. Collignon, ainsi que nous allons le montrer.

61. Quadrature d'une courbe quelconque. — Soit ABab (fig. 35) l'aire à évaluer; on procédera comme suit :

(a) . Diviser la base en parties égales par les ordonnées m, n, p, et tracer les cordes AM, MN, NP, PB.

(b) . Mener Ce, Bd, Ee, Yf par les milieux des segments de la base ab et prendre en 1, 2, 3, 4, sur ces ordonnées, les points situés aux 2/3 des flèches des points, C, D, E, F. Ce sont les points d'équivalence des trapèzes élémentaires.

Si par ces points on menait des parallèles aux cordes ou même des parallèles à la base, on aurait des trapèzes, ou des rectangles, dont la surface totale serait équivalente à l'aire limitée par la courbe proposée. On se trouve donc ramené à la détermination de l'aire d'une série de trapèzes ou de rectangles contigus, problème que nous avons résolu parla méthode de M. Collignon (v. n° 56). Sur la fig. 35 on voit en Ij I2 I3IV le polygone quadrateur ; I, est le point final d'équivalence; et, si h est sa hauteur, l'aire de la courbe a pour expression : a = ab X h.

| 3. - Autres procédés de quadrature

62. Formule de Simpson. — Soit ABab (fig. 36) une surface dont il s'agit d'évaluer l'aire. Nous pouvons la diviser par des ordonnées telles que y2, y,t en un certain nombre de trapèzes mixtilignes ayant même base, puis mener par le milieu de chacune de ces bases les ordonnées moyennes Vii Î/3J Vs rencontrent la courbe aux points C, E, G. Soit A.r l'intervalle entre deux ordonnées voisines. Si les

trapèzes avaient tous leurs côtés rectilignes, les points ainsi obtenus C, E, G en seraient les points d'équivalence. Mais puisque le contour AB est courbe en prenant comme points d'équivalence C, E, G, on commet une erreur positive lorsque le contour AB est convexe, négative dans le cas contraire.

Dans le cas de la fig. 35, la courbe étant convexe, l'expression