Classification des arcs

(a) Définitions. — On nomme sommier d'un arc (fig. 409) le point A, ou le point B (lig. 408) de sa fibre neutre qui coïncide avec un appui. En réalité, le sommier n'est pas un point; c'est la section MN normale à la fibre neutre en ce point. On a un sommier encastré (fig. 409-1, représenté schémaliquement sur la fig. IV) lorsque la fibre neutre est obligée de garder en ce point une direction fixe. Au lieu d'encastrer réellement la pièce en la noyant dans un massif de maçonnerie, ce qui serait la vraie solution, mais très difficile à bien réaliser, c'est la section MN que l'on cale fortement par des coins f, f, . . . . contre une portée en fonte solidement scellée sur le mur. Cela revient à peu près au même ; néanmoins lorsqu'un couple se produit dans le sens de la flèche les coins situés en haut, du coté de M, tendent à se desserrer et s'ils n'ont pas été chassés très fortement ils peuvent ne plus porter. Un sommier encastré est caractérisé par ce fait que la pièce y subit un moment fléchissant dit : moment oV encastrement .

On a un sommier à rotule (fig. II, représenté schématiquement sur la fig. V), lorsque l'arc repose sur la pile par l'intermédiaire d'un tourillon, ordinairement en acier A, permettant au sommier de prendre au-dessus de lui toute espèce de direction. Le moment fléchissant y est nul.

DES ARCS

Sur sa longueur, c'est-à-dire entre les deux sommiers, l'arc peut être coupé et les deux parties G et H (fig. III et VI) peuvent être arc-boutées entre elles par l'intermédiaire d'un tourillon C, que nous nommerons, dans ce cas,

Fig. 400

une charnière. Au point C le moment fléchissant est nul et cette disposition d'arc à charnière est très utilisée depuis quelque temps; nous en étudierons les avantages.

(b) Différentes espèces d'arcs. — On distingue les arcs continus (fig. 410-1, II et III), c'est-à-dire d'une seule pièce entre leurs sommiers et les arcs discontinus dits encore arcs à charnières (fig. IV à VIII), formés de plusieurs pièces.

Les arcs continus peuvent comporter :

1° Deux sommiers à rotule (fig. I);

2° Un sommier encastré et un sommier à rotule (fig. II) ;

3° Deux sommiers encastrés (fig. III).

Les arcs discontinus peuvent comporter :

4» Deux sommiers à rotule et une charnière (fig. V) ;

5° Un sommier à rotule, un sommier encastré et une charnière (fig. VI) ;

6° Deux sommiers encastrés et une charnière (fig. VII) ;

7° Deux sommiers encastrés et deux charnières (fig. IV) ;

8<> Deux sommiers à rotule et deux charnières (fig. VIII) ; mais ce dernier type, réalisé à la gare de Silésie, du chemin de fer métropolitain de Berlin, exige qu'un tirant Cm relie la seconde charnière C à un point m du premier tronçon de l'arc ; de sorte que, en réalité, la partie AmEC, malgré sa charnière E, constitue une première portion d*arc, tandis que la seconde est CB, et ce type VIII rentre dans le type V.

Le type I est réalisé aux célèbres ponts du Douro et de Garabit.

Le type III était le plus souvent adopté avant ces vingt dernières années ; il l'est encore, surtout pour les arcs de faible portée.

GÉNÉRALITÉS

Le type V est celui qui a été choisi pour la galerie des machines à l'exposition de 1889 à Paris, et pour celle des arts libéraux à l'exposition de Chicago. Ses principaux avantages sont : 1° que l'on peut déterminer la poussée par la statique pure, ce qui veut dire qu'elle est in-

dépendante des défigurations élastiques delà pièce ; 2° que les variations de température modifient très peu les efforts intérieurs ; 3° que de légers tassements des appuis sont également sans danger sérieux. Nous justifierons ces propriétés plus loin (v. 412-rf).

Le type IV, en admettant que les encastrements A et B puissent être très bien réalisés, peut être considéré comme un cas particulier du type I dans lequel les piliers seraient prolongés par deux consoles AG et BD ; la portion d'arc CD exerce sur ses charnières C et D une poussée qui nécessite, pour son calcul, la connaissance des défigurations élastiques non seulement de l'arc CD mais encore des deux consoles AC et BD.

Mais on pourrait faire la partie supérieure CD avec une charnière de plus (fig. IV), ce qui lui donnerait l'aspect C'E'D' et, dans ce cas, la statique pure suffirait à déterminer toutes les réactions, y compris les poussées en C et D aussi bien qu'en A et en B. Dans ce cas le type IV ne serait qu'un cas particulier du type V.

412. Avantages de la poussée. — Avant d'aborder la recherche mathématique de la poussée, nous allons faire voir les avantages de cette poussée et, en comparant un arc avec une poutre qui aurait la même portée que lui, montrer pourquoi l'arc l'emporte sur la poutre.

(a) Définitions. — Nous appellerons fibre neutre primitive, ou simplement primitive, la fibre neutre d'un arc qui serait posé à plat sur le sol, et qui ne subirait aucun effort. C'est l'arc avant le montage. Une fois mis en place, son propre poids ainsi que les charges qui lui seront appliquées le déformeront ; sa fibre neutre changera de figure et nous la nommerons la fibre neutre élastique ou simplement l'élastique.

{b) Rôle de la poussée. — Supposons (fig. 411-1) que le sommier d'origine A soit à rotule fixe et que l'autre sommier D soit à rotule glissante, et que nous réunissions les deux sommiers par un tirant AD, muni en I d'un tendeur à vis de manière à pouvoir, à volonté, en exerçant une traction de plus en plus grande, rapprocher de plus en plus les deux sommiers.

Au début, laissons l'arc s'ouvrir sous l'influence de son poids et des charges qu'il supporte, et prendre la figure AC'D' ; ne donnons aucune traction au tirant. Dans cette défiguration de l'arc un point quelconque B de la primitive prend la position B'. L'arc supporte alors les mêmes moments fléchissants qu'une poutre droite de même portée qui serait chargée de la même manière que lui. Soit oM" (fig. II) la représentative de ces moments de charge, qui, on le sait, sont positifs; car ils tendent à ouvrir la pièce à la partie inférieure.

Maintenant, rapprochons les deux sommiers, c'est-à-dire modifions l'Ecart, soit en chassant des cales entre eux et la pile d'appui, qui se nomme alors une Culée, soit en tendant le tirant.

Celte tension du tirant, ou poussée provisoire t" , amènera la première élastique CD' à la position AC'D". Un point quelconque B de la primitive, qui occupait la position B' sur la première élastique, occupe maintenant la position B" ; son ordonnée est y" = B"j3" (fig. I).

Cette poussée provisoire t" développe un moment fléchissant négatif qui a pour valeur — t"y" ; la représentative de ces moments de poussée provisoire sera (fig. II) une courbe o&"d" obtenue par une dilation (réduction ou amplification) de l'élastique provisoire OC"D". Si l'élastique provisoire OC"D" est un arc de cercle la représentative o&"d" des moments de poussée provisoire sera un arc d'ellipse; si elle est une parabole, elle sera aussi une parabole.

Nota. — Nous devrions dessiner cette représentative des moments de poussée en dessous de la ligne d'appui, puisqu'elle répond à des moments négatifs : Dessinons-la au contraire en dessus et prenons la différence b"b\ entre les ordonnées des moments de charge et celles des moments de poussée provisoire ; cette différence nous donnera le véritable moment en chaque point. On voit qu'il est plus petit que sous la seule influence des charges.

THÉORIE DES ARCS

Continuons à rapprocher les sommiers, en augmentant la poussée provisoire; la représentative des moments de poussée se dilatera encore en se rapprochant de plus en plus de celle des moments de charge. Lorsque le sommier d'extrémité aura repris sa position initiale D, alors la poussée

Primitive

provisoire sera devenue la poussée définitive (ou plus simplement la. poussée) et l'arc sera dans sa position définitive.

La représentative des moments de poussée sera une dilation de la fibre neutre, telle qu'elle est à cet instant, c'està-dire de l'élastique définitive OBtD.

Remarque. — L'élastique définitive OBiD différera toujours très peu de la primitive OBD de sorte que, sans erreur sensible, si nous connaissions la poussée définitive t, en dilatant la primitive dans le rapport t, c'est-à-dire en construisant la courbe dont les ordonnées seraient IX y nous aurions en obji la représentative des moments de poussée.

Les différences, telles que bbu entre les ordonnées de la courbe des moments de poussée et celles des moments de charge donneront les moments définitifs en chaque point.

On doit, pour les signes, compter ces différences à partir de la courbe des moments de poussée. Si cette dernière est au-dessous de l'autre, le moment définitif est positif; si elle est en dessus, c'est le contraire.

Si les deux courbes se rencontrent en un point w le moment définitif au point correspondant 9. est nul. Nous pourrions, à la rigueur, couper la pièce en ce point Q et réunir les deux tronçons par une charnière sans rien 'changer à l'équilibre général. Il est évident que les conditions de résistance de l'arc se sont améliorées par le fait de la poussée, et tout le talent du constructeur consiste à imaginer pour la fibre neutre primitive, aussi bien que pour la section de l'arc, des figures qui fassent que la poussée améliore le plus possible les conditions de résistance.

Il est évident, à priori, que si la courbe des moments de poussée obid pouvait se confondre avec la courbe des moments de charge oMd, alors, en tous les points de l'arc, le moment définitif serait nul et la pièce ne subirait partout que des efforts de compression ; nous serions dans les meilleures conditions possibles. Nous verrons plus loin (v. d) comment on peut réaliser cela.

(c) Rôle des encastrements. — Il pourrait se faire, si la poussée était faible, que la courbe de poussée se tienne très en dessous de la courbe des charges ; alors, nous aurons intérêt, par des encastrements, à développer sur les sommiers des moments M0 et Mj qui seront généralement négatifs, car ils auront pour effet de détruire, pour les ramener à être nuls, les infléchissements positifs pris par les sommiers quand ils étaient à rotule.

La représentative de ces moments d'encastrement (fig. III) sera la droite négative M0Mi. Elle aura pour premier effet de faire descendre la courbe des moments de charge dans la position M0MM,, en la faisant passer par les points M0 et Mi, et, comme second effet, de modifier complètement les étendues respectives des zones où les moments sont positifs et de celles où ils sont négatifs. Il se peut que l'arc soit ainsi dans de meilleures conditions, de même que le contraire peut arriver.

(d) Rôle des rotules et des charnières. — Sur une rotule aussi bien que sur une charnière, le moment fléchissant est nul ; cela signifie, d'après ce qui précède, que la représentative des moments de poussée y rencontre celle des moments de charge. Par conséquent, se donner une rotule ou se donner une charnière, revient à se donner un point de la courbe de poussée. Précisons cela.

Si les deux sommiers sont à rotule (fig. 411-1 et II), la courbe des moments de poussée a son origine o et son extrémité d précisément aux sommiers. Elle n'est pas déterminée pour cela: elle est une dilatation de la fibre neutre, mais il reste à trouver le coefficient de dilatation, c'est-à-

GÉNÉRALITÉS

dire la poussée. On ne peut le faire qu'en tenant compte des défiguralions élastiques.

Si, de plus, on se donne une charnière (lig. 412) placée en un point quelconque N de la fibre neutre, cela revient à se donner en n, sur la courbe des moments de charge, un troisième point de la courbe des moments de poussée; cette courbe est donc par cela même déterminée ; et si y' est l'ordonnée de la fibre neutre en ce point de charnière N, si M' est le moment de charge correspondant, on aura, en appelant t la poussée,

ty' = M', d'où t=W: y'.

On voit, ainsi que nous l'avions annoncé plus haut, que dans un arc du type V, à deux rotules et une charnière, la poussée est déterminée presque a priori, sans faire intervenir les défigurations élastiques.

Un changement de température aura pour effet de modifier très peu l'ordonnée y1 et par conséquent, sur un tel arc, de modifier très peu, également, la poussée ainsi que toutes les conditions de résistance qui en sont une conséquence.

Un léger tassement d'un appui aura le même effet et, par suite, aura les mêmes conséquences, non dangereuses. Au contraire, pour les arcs dont la poussée est une conséquence des défigurations élastiques, attendu que les changements de figure dus soit à la chaleur, soit à un tassement, sont tout à fait de même ordre de grandeur que ces défigurations, il en résulte que les variations de température, aussi bien que les tassements, peuvent modifier considérablement la poussée et par suite toutes les conditions de résistance. C'est ce qui explique, pour les très grands arcs, l'emploi de plus en plus fréquent du type V à deux rotules et une charnière.

(e) Arc sans flexion. — Il résulte de cette étude première que l'arc le meilleur serait un arc du type V, dont la fibre neutre serait une dilatation de la représentative des moments de charge. Pour un tel arc, la courbe de poussée se confondrait avec celle des moments et nous n'aurions de flexion en aucun point.

Si les charges étaient uniformément réparties, la représentative des moments de charge serait une parabole et l'arc sans flexion devrait avoir également pour fibre neutre une parabole.

413. Equilibre moléculaire dans une section quelconque. — (a) Transport des forces. — Considérons (fig. 413) un arc dont un fragment de la fibre neutre est représenté en GGt. Soit AB, A'B' un bi-plateau séparant l'arc en deux tronçons, l'un à gauche et l'autre à droite. Comme il a été dit au n° 113, nous gardons le tronçon de droite et nous enlevons celui de gauche, à la condition de le remplacer partoutes les forces qui agissent sur lui. Ces forces comprennent :

1° La réaction au sommier de gauche, réaction dont fait implicitement partie la poussée et dont nous supposons connues la grandeur et la direction; le point d'application de cette poussée, ainsi que celui des composantes verticales des réactions, est toujours le centre de gravité du sommier;

2° Le couple d'encastrement AI0 s'il y a encastrement;

3° Toutes les forces directement appliquées sur ce tronçon et comprenant le poids propre, les charges et les surcharges.

Nous transportons toutes ces forces et ce couple sur le plateau de gauche AB. Les forces sont transportées au centre de gravité G de ce plateau et le transport de chacune d'elles donne naissance à un couple. Le couple d'encastrement se transporte intégralement.

Toutes les forces appliquées en G ont une résultante unique P, et tous les couples donnent lieu à un couple ré-

Fig. 413

sultant unique ; et comme nous supposons que toutes les forces sont contenues dans le plan vertical de la fibre neu-

THÉORIE DES ARCS

tre, ou sont symétriques par rapport à ce plan, il s'ensuit que la résultante de transport P est aussi dans ce plan et que le couple de transport a son plan parallèle à ce plan. Cela fait :

(b) Notations et conventions sur les signes. — Désignons par :

As, la distance GG' des plateaux ; cette distance est comptée sur la fibre neutre, de gauche à droite, c'est-à-dire de G vers G'; c'est l'épaisseur, infiniment petite, du bi-plateau;

£2, la surface de chacun des deux plateaux;

G et G', leurs centres de gravité;

I, le moment d'inertie du plateau AB par rapport à l'axe

qui serait projeté en entier en G; v et v', les distances à cet axe des fibres qui en sont les

plus éloignées, w, situé au-dessus, aura le signe H- et

v' le signe — ; z, la distance à cet axe d'une fibre quelconque MM,, z sera

positif au-dessus de G et négatif au-dessous ; p, l'effort unitaire que supportera cette fibre, p aura le

signe -i- si c'est une compression et le signe — si

c'est une traction ; E, le module d'élasticité de la matière, supposée homogène;

R, la résistance de sécurité. Nota : Si la matière est à résistance dissymétrique (telle est la fonte), on désignera par R' la résistance à la compression et par R" celle à la traction. Mais en général on aura R' = R" = R;

M, le moment fléchissant : Positif s'il tend à comprimer les fibres supérieures du bi-plateau et négatif dansle cas contraire;

N, la composante, ou effort normal au plateau, c'est-à-dire tangente à la fibre neutre; N est positif si il tend à produire une compression, et négatif si il tend à produire une traction;

T, l'effort tranchant, positif s'il tend à soulever le tronçon de gauche par rapport à celui de droite, négatif dans le cas contraire;

0, l'infléchissement, c'est-à-dire l'angle infiniment petit dont le bi-plateau s'ouvrira sous l'influence du couple M. 6 est positif ou négatif dans les mêmes conditions que M. On confondra l'angle 6, qui est infiniment petit, avec sa tangente trigonométrique.

Du reste tous les angles, soit infiniment petits soit très petits, qui résultent de déflgurations élastiques seront confondus avec leur tangente trigonométrique ou avec leur sinus; ainsi lorsque nous dirons a, ou a0 ou a,, il faudra lire indifféremment : a, lg x ou sin a..., ou a0, tg «0 ou sin a0.

(formule de l'infléchissement.)

(formule de l'effort fibraire

N Mz

complexe, voir n° 322 et 356.)

Pour les fibres extrêmes, situées aux distances v et t/, on aura les équations d'équarrissage

R=— -h— fibre comprimée j Equations

fibre tirée

d'équarrissage complexe.

v' entrera avec le signe moins dans la seconde des formules (3).

(d) Centres de pression. — Au lieu de transporter au centre de gravité du plateau AB toutes les forces appliquées au tronçon de gauche nous pourrions (fig. 414) composer d'abord toutes ces forces, en chercher la résultante R

Fig. 414

et chercher le point K où cette résultante rencontre le plateau AB. Ce point K serait le centre de pression, tel qu'il a été défini aux nos 321 et suivants. Soit X sa distance au centre de gravité G.

Au point K on décomposera R en une composante normale N' et en une composante T dirigée dans le plan du plateau, laquelle constituera l'effort tranchant de tout à l'heure.

Quant à N', comme elle ne sera probablement pas appliquée au centre de gravité G, mais à une distance X de G, alors nous l'y transporterons, ce qui fournira en N Yrffort normal de tout à l'heure et donnera naissance à un couple qui aura pour valeur M = N X X, et qui sera le moment fléchissant, le même que celui trouvé tout à l'heure.

Il résulte de là que si l'on connaît la résultante R (en grandeur et direction) et le moment fléchissant M, on peut en déduire la grandeur N de l'effort normal et aussi la distance X = M : N du centre de pression K au cen-

GÉNÉRALITÉS

tre de gravité G, c'est-à dire un point de la résultante R, et inversement. Le lieu des points K se nommera la courbe des centres de pression.

C'est pourquoi nous avons dit tout à l'heure que pour tout sommier encastré on se donnera la réaction totale, laquelle sera la résultante de la réaction verticale et de la poussée, en la supposant appliquée au centre de gravité et on y joindra le couple d'encastrement M0 ou Mu puisque de cette double connaissance résulterait la position exacte de la réaction.

En résumé nous voyons que si la poussée t était déterminée ainsi que les moments d'encastrement M0 et M, nous connaîtrions toutes les forces extérieures auxquelles l'arc est soumis et nous connaîtrions aussi l'équilibre moléculaire dans chaque section. Or, sauf pour les arcs à trois articulations, ces données dépendent des déformations élastiques de l'arc, c'est pourquoi nous allons maintenant aborder cette étude, après la digression suivante, très importante.

413 bis Digression. — Le lecteur est- prié de relire au préalable les n°s 193 à 197 relatifs à l'éification des poutres, cela fait :

(a) Déformées relatives d'une courbe. — Soit OMD, fig. 415-1, une courbe que nous nommerons une dé formatrice, et qui, dans ce qui suivra, sera la fibre neutre d'un arc. Soit M, un de ses points, ayant pour abscisse x, et soit MT la tangente en ce point faisant avec l'axe des x un angle s ; menons la normale MN.

Prenons maintenant (fig. Il) uue autre courbe, jx0'A'|Xi' rapportée aux mêmes axes ou à des axes parallèles et considérons celui de ses points A' qui répond à la mémo abscisse que M; soit y l'ordonnée de ce point. Amplifions cette ordonnée dans le rapport 1 : cos s, ce qui donnera un point A" dont l'ordounée if aura pour valeur

y' = y1 : cos s.

Le lieu des points tels que A" sera la déformée relative de la courbe, c'est-àdire la déformée obtenue en prenant pour déformatrice la courbe OMD.

L'opération se fait comme suit : ou mène A'n (tig. Il) parallèle à la normale MN (fig. I), et la longueur X'n interceptée entre le point A' et l'axe des x, donne la valeur de y".

(b) Déformée propre. — La déformatrice de la fig. I peut se déformer elle-même et donner la courbe OM'ID (en pointillé: qui sera sa déformée propre. Si l'on connaît cette déformée propre, la déformation relative de toute autre courbe revient à amplifier les ordonnées de cette courbe dans le rapport de l'ordonnée de la déformée propre à l'ordonnée de sa déformatrice ; on aura : A "a : A'a = M'm : Mm.

Nota. Dans ce qui va suivre la fibre neutre OMD d'un arc servira de déformatrice à toute uue série d'autres ligues qui seront des représentatives soit de moments naturels soit de moments eïfiés ; ainsi :

(c) Rectangle unitaire déformé-eïûé. — Nous prendrons (fig. H) une représentative rectangulaire [jt.0ia.i de moments naturels répondant au moment unitaire ;x constant sur toute une poutre ; nous eïfierons le rectangle p.0p.i, ce qui donnera en iVu.i' (trait pointillé) le rectangle unitaire-eïfié (y. n" 196); nous déformerons ce dernier rectangle comme il vient d'être dit, ce qui donnera en [x0";x," (trait plein) le rectangle unitaire déformé-e'ifté.

(d) Triangles unitaires déformés-eïflés. — Nous décomposerons (fig. III) le rectangle unitaire naturel [i en deux triangles dont les hypoténuses On et OH seraient les représentatives qui résulteraient d'un moment unitaire appliqué séparément sur chacun des deux appuis. Nous le désignerons par jx0 lorsqu'il sera appliqué au sommier d'origine et par [J., au sommier d'extrémité. Nous eïfierons ces triangles unitaires et ensuite nous les déformerons comme il vient d'être indiqué, ce qui donnera les triangles unitaires déformés-cïliés 00"n à gauche et OH'n à droite.

Les deux opérations peuvent se faire d'un seul coup à l'aide du rectangle [i0"[Xt" et sans passer par l'éification ; il suffira eu effet, à l'aide d'une oblique auxiliaire sur laquelle on reportera en bk et &A" les longueurs aX et aA" de la fig. Il, de faire eu sorte que l'on ait

6C" : 6B = aA" : aA.

ThranarleS déformés-eïfiésf f III

Fig. 413

On voit que le rectangle unitaire déformé-eïfié servira pour l'éification et pour la déformation immédiate de n'importe quelle autre courbe.

[é] Fibre neutre déformée-eïfiée. — C'est ainsi que l'on aura eu OM"Sn (fig. I) la déformée-eïfiée de la fibre neutre elle-même et (fig. IV) en F"K"L" la déformée-eïfiée d'une représentative quelconque FKL de moments naturels.

On remarquera l'analogie de ces opérations avec celles qui ont été indiquées pour les poutres droites (v. n° 194). La seule différence consiste en ce que nous ajoutons la déformation à I'eïfication en prenant pour déformatrice la fibre neutre.

(/") Les trisectrices d'un arc et le funiculaire Q<l>. — Comme pour la poutre droite nous désignerons les aires des deux triangles unitaires déformés-éifiés par les lettres Q (à gauche) et <I> (à droite). Les verticales

qui passeraient par leurs centres de gravité seront les trisectrices (déforméeseifiées) de l'arc et elles seront désignées par les lettres 1 et J. u sera la réaction du triangle Q sur l'appui de gauche et co' sera sa réaction sur l'appui de droite ; de même o et 9' seront les réactions de droite et de gauche du triangle c|>.

En ajoutant les ordonnées des triangles Q et <J> on retrouvera les ordonnées du rectangle, que nous désignerons indifféremment sous le nom de rectangle u. ou de rectangle Q<1> pour indiquer qu'il est la somme des triangles Q et <l>.

DES ARCS

On démontrera, de même qu'au n° que tout funiculaire Ocj> tel que

CVicWD construit sur les deux aires Q et 4>, supposées concentrées sur les trisectrices, est un trapèze; ce qui entraîne ® = <i>', comme pour les poutres.

(g) Autres genres de déformation. — Au lieu de multiplier par le facteur 1 : cos s, ce qui donne une déformation que nous pourrions nommer anti-cosinusoidale, on peut prendre pour facteur de déformation cos e, ou sin s, ou tg s. . . ce qui donnerait des déformées cosinusoïdales, sinusoïdales, tangentielles, etc. . . Nous aurons a en faire usage plus loin.

S 2. — Défiguration des pièces courbes