Formules générales

(a) Convention préalable. — Au point de vue des efforts moléculaires produits dans une section, le couple de flexion M, l'effort normal N et l'effort tranchant T ont une égale importance pour faire travailler les fibres ; mais au point de vue des défigurations générales de la pièce, les effets des couples de flexion l'emportent de beaucoup sur les autres ; c'est pourquoi nous pourrons ne tenir compte, dans l'étude des défigurations, que de celles qui sont dues à la flexion. Nous arriverons ainsi à établir une méthode qui, tout en n'étant qu'approximative, donne des résultats suffisants pour les besoins de la pratique.

(b) Formules des défigurations élémentaires. — Nous procéderonscomme pour les poutres droites (v. n°177). Soit OABD (fig. 415bis)la fibre neutre primitive d'un arc. Le sommier de gauche O est pris pour origine des coordonnées; l'axe des y est parallèle aux charges, c'est-à-dire vertical ;

tr~

*-ac'-**-

— (ac-JS'J- —

Fig. 415 bis

l'axe des x est horizontal. — Le sommier de gauche est D et, pourplus de généralité nous pourrions supposer qu'il n'est pas à la même hauteur que l'autre (fig. 415 bis). Ses coordonnées seraient alors ■

L, ouverture ou portée de l'arc;

H, dénivellation des sommiers.

Mais, pour ne pas compliquer nos explications, plaçons-

nous dans les conditions ordinaires et supposons (fig. 416-1 que les sommiers sont au même niveau ; (H = 0).

Nous admettons que l'on connaît pour chaque point de l'arc :

1° Lemoment fléchissant, M. (Quanta l'effort tranchant T) et à l'effort normal N, ils sont inutiles dans le cas présent, d'après la convention précédente.)

2° La section, c'est-à-dire son moment d'inertie I et le coefficient d'élasticité E.

Nous considérons (fig. 416) un point A, dont les coordonnées sont x1 et y', et le bi-plateau AA', qui précède immédiatement ce point, et dont l'épaisseur infiniment petite est AS. Soit M le moment fléchissant en ce point 'A et I le moment d'inertie de ce plateau. Nous supposerons M positif ; les conventions relatives aux signes généraliseront, pour le cas où M serait négatif, les formules que nous allons établir.

Le couple M produit un infléchissement positif, 8, qui amène le plateau Af dans la position A/'' et l'on a :

8 = — AS (formule de l'infléchissement.)

Etudions l'effet produit par cet infléchisssement sur la portion AD de l'arc située à sa droite et, en particulier, sur une section BK, passant par le point B dont les coordonnées sont x et y.

Supposons que cette portion AD de l'arc soit complètement libre d'obéir à la rotation générale que l'infléchissement du bi-plateau produit autour de A comme charnière ; alors ABD prend la position AB'D' et le point B vient en B' en parcourant un arc de cercle décrit de A comme centre et dont l'angle au centre BAB' est égal à l'infléchissement 8. Cette rotation produit deux effets sur la section BK, savoir :

1° Un déplacement du point B, qui est la combinaison du déplacement horizontal Bb' = ±x (négatif), et du déplacement vertical b'B' = Ay (positif).-

2° Une déviation angulaire : la section occupait la position BK, elle occupe maintenant la position B'K faisant avec la première l'angle G. Et comme nous admettons que la fibre neutre est, malgré ses défigurations, toujours normale à la section, il en résulte que 8 est aussi la déviation angu-