AUTRES PROCÉDÉS DE QUADRATURE

est donc approchée par excès.

Considérons maintenant la surface AB6a comme égale à la somme des trapèzes tels que ACca. Si nous substituons à

Aoç

la courbe AC sa corde, l'aire obtenue par le trapèze ACca sera approchée par défaut, de sorte que l'expression

(2)--lx(y°-\yi I Vl + ]lî ' Vi + '-h ' ' ■'■

sera, pour son compte, approchée par défaut.

Chassons le dénominateur 2, elle devient (3) 22 - A.r [y0 + 2?/l -t- 2?/2 -H 2ys •••-+- 2y5 + y,}.

Mais si l'on fait la somme des expressions (1) et (3) les erreurs se compenseront en partie et l'on aura, après simplification :

Telle est la formule de Thomas Simpson. On peut l'écrire plus simplement en lui donnant une forme symbolique.

Supposons qu'après avoir partagé par des ordonnées la surface à évaluer en un nombre pair de trapèzes mixtilignes ayant même base Aa?, on désigne (fig. 35) par ya ]a première ordonnée, par yin la dernière, par S, la somme des ordonnées d'indice impair et par S2 celle des ordonnées d'indice pair, non compris la première et la dernière ; la formule de Simpson est alors

Nota. — 11 serait facile de prouver que si l'on appliquait, à la courbe ci-dessus la méthode de M. Collignon (n° 61) et si l'on en traduisait algébriquement le tracé on retrouverait la f'ormulede Simpson. De sorte que, géométriquement parlant, cette formule revient à substituer des arcs de parabole aux arcs véritables de la courbe donnée.

G3. Planimètre d'Amsler. — M. Amsler, ingénieur à Schaffouse, a imaginé un appareil destiné à mesurer les surfaces planes. Cet appareil connu sous le nom de plunimètre est composé ainsi qu'il suit :

Deux règles CE et CF, disposées horizontalement, sont articulées en J ; l'extrémité E de l'une est munie d'une pointe sèche qu'on fixe en un point voisin de la surface à

Fig. 37

mesurer et en dehors de celle-ci; CE est la règle pivotante; l'extrémité F de l'autre règle qui se nomme la règle trarunte est munie d'un traçoir F, lequel est destiné à suivre le contour de la surface à évaluer; enfin la règle traçante porte en D une roulette dont l'axe est dans la direction DF. Cette roulette est graduée, de sorte qu'à l'aide d'un compteur de tours et d'un vernier, on peut apprécier les chemins

qu elle a parcourus en tournant, à ^qqq0 ^e t°ur près.

Il suffit, pour déterminer avec cetinstrument l'aire d'une surface limitée par un contour polygonal quelconque, de suivre ce contour avec le traçoir F de l'appareil et, lorsque

l'on est revenu au point de départ, une simple lecture du chemin parcouru par la roulette fait connaître la grandeur de la surface donnée ; l'approximation de cet appareil esl

environ de 1ÔW(1)

(1) Voici comment on peut expliquer les résultats ohteuus avec le planimètre d'Amsler :

Soit MCCj. .. (lig. 3S) la surface qu'il s'agit d'évaluer. (V. page suivante).

Fixons d'abord en A la pointe sèche du pivot de l'instrument ; puis, avec le traçoir C, suivons dans le sens des aiguilles d'une montre le contour de la surface S ; pendant cette opération le point H décrit un arc de cercle autour du point A comme ceulre, de sorte que la surface balayée par la droite BC

PROBLÈMES SUR LES AIRES

pendant ce mouvement est limitée : 1° par l'arc de cercle dont A est le centre, 2° par les posilions extrêmes de la droite BC vers la droite et vers la gauche, enfin, 3° par le coulour de la surface à évaluer.

Mais si nous convenons d'affecter du signe r-j- la surface balayée de droite à gauche et du signe — celle balayée de gauche à droite, nous voyous que lorsque le Iraçoir, parti, par exemple, du point M du contour y sera revenu,

Fig 38

la surface totale (c'est-à-dire la somme des surfaces positives diminuée de celle des surfaces négatives), sur laquelle aura passé la droite BC sera précisément la surface à évaluer S puisque toule la partie comprise entre son contour inférieur et l'arc de cercle BE sera annulée comme ayant été affectée successivement des signes -)- et — .

Donc, en définitif la surface S est égale à la somme des surfaces balayées par la droite BC pendant que son extrémité C parcourt le contour proposé.

Voyons maintenant comment on peut l'évaluer. Considérons deux positions extrêmement voisines du traçoir, soient C et C2 ces positions.

La surface engendrée parla droite BC pendant ce déplacement élémentaire est BBjCjC ; la somme des surfaces telles que celles-là, appliquée aux déplacements du traçoir sur le contour entier, donnera la valeur de S.

Nous pouvons décomposer BB,CjC en deux parties par une parallèle lï , C , à BC menée par B,, nous aurons donc

BB.CjC = BB,C,C -+- B,C2C,.

Soient l la longueur BC, h la distance des deux parallèles B,Cj et BC et 0 l'angle C2B,C,.

Nous pouvons remarquer que puisque Cj et C2 sont extrêmement voisins l'angle 0 est toujours très voisin de la valeur zéro et la différence des longueurs C2lï, et C,B, est absolument négligeable par rapport à l ; par conséquent la figure CBBjC, pourra être considérée comme un parallélogramme ; on pourra aussi prendre pour hauteur du triangle B,C2C! la portion de l'arc CsCj. Nous pourrons donc écrire :

surf. (BB,C2C) = J/i -f — •

Pour avoir la surface totale S nous ferons la somme de toutes les surfaces élémentaires, nous aurons donc :

S = EWl H — ; et comme l est constant : S = JI/t + — l'J ,

or, = 0, puisque les positions initiale et finale de BC sont les mêmes. Nous voyons donc que la surface S est égale à la somme des éléments tels que Ut.

S = lïh.

Or dans le planimètrc l est constant ; de plus la roulette dont est munie la règle BC ayant son axe dirigé parallèlement à celui de cette règle indique seulement les chemins parcourus par cette règle perpendiculairement à sa direction, c'est-à-dire les longueurs successives telles que //. ; la somme des surfaces telles que Ih sera donc égale au produit de la longueur l de la règle BC par le chemin qu'indiquera la roulette, c'est-à-dire que, en définitive, l'aire à mesurer sera proportionnelle au nombre de tours de la roulette. C. Q. F.D.