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Fig. 416

D'où ce lemme :

Lemme : « En chaque point l'infléchissement G est égal « à l'aire élémentaire delà courbe à cheval (ou courbe V). »

(c) Défigurations totales. — 1° Déviation angulaire totale. — Nous avons vu que l'infléchissement ainsi produit dans le biplateau de A se répercutait en vraie grandeur en B et donnait à la section, aussi bien qu'à la fibre neutre en B, une déviation angulaire élémentaire égale aussi à 8.

De sorte que, si nous totalisons toutes les déviations angulaires élémentaires produites sur la section B par le fait des infléchissements de chacune des sections qui la précèdent, ce total sera égal à l'aire de la courbe à cheval comptée entre l'ordonnée d'origine et l'ordonnée du point B, c'est-à-dire à V", en employant les mêmes notations sym-

STAB. 47

THÉORIE DES ARCS

boliqucs que pour les poutres droites (v. n° 177-tf). Si de plus le sommier a pris une déviation angulaire initiale a0, très petite, nousaurons, en appelant a la déviation angulaire totale de la fibre neutre au point B,

( formule des déviations ) (A) a = a0 H- V'' , . ,

t angulaires totales. )

2P Déplacement vertical total, et déplacement horizontal total. — La formule (2), des déplacements élémentaires verticaux,

A.'/ = 0 — x )AS,

signifie que \y est le moment, par rapport au point B, de l'aire élémentaire w, considérée comme une force fictive qui agirait verticalement, et positivement, c'est-à-dire de bas en baut dans le sens des y positifs. Si les moments étaient négatifs la force fictive w devrait agir négativement, c'està-dire de baut en bas, comme un poids.

Appelons b le déplacement vertical total du point B, et a son déplacement horizontal total.

Soit G' le centre de gravité de l'aire sectionnée V", y' l'abscisse de son centre de gravité et S' son ordonnée. — Le déplacement vertical total b sera égal à la somme des moments partiels et par suite égal à "V" X {x — -f').

Faisons pivoter, autour de A, la force w qui représente le poids de l'élément de surface aa! et amenons w en w' parallèle à la ligne des appuis, en la dirigeantpositivement, c'est-à-dire dans le sens OX. La formule (3) des déplacements élémentaires horizontaux

(3) = --(y-j/jAS,

signifie que A,r est le moment, avec le signe voulu, de cette force horizontale w! par rapport au point B.

Nous disons « avec le signe voulu » parce que dans la formule (3) il faut prendre M avec le signe — . Or en dirigeant la force w dans le sens OX, des abscisses positives, le moment fléchissant fictif qu'elle donne en B tend à faire ouvrir le biplateau B à sa partie supérieure et, par conséquent, d'après nos convenions, est négatif comme l'exige la formule (3).

Si le moment eût été négatif il 'eût fallu diriger la force fictive w' dans le sens des x négatifs, c'est-à-dire de droite à gauche.

S'il existe, en outre, une déviation angulaire initiale oc0 prise par le sommier d'origine, toujours très petite, elle imposera au point B deux déplacements, savoir :

1° Un déplacement vertical qui aura pour valeur -+- <*0x

2° Un déplacement horizontal qui aura pour valeur — x0y. Cela s'établirait comme on l'a fait pour les déplacements dus à l'infléchissement en A. On aura donc finalement

! formule des déplacements \

(B) b = -+- a0.x -+- \°(x — Y) ] verticaux ou déplace- (

\ ments en hauteur. )

! formule des déplacements \

' céments en largeur. )

(d) Effets de la dilatation calorifique. — Toute ligure homogène qui se dilate librement sous l'influence de la chaleur reste semblable à elle-même ; ainsi (fig. 417) un cercle reste un cercle, une ellipse reste une ellipse. De plus, si un point 0 de la figure reste fixe ainsi que l'orientation de la figure en ce point, la figure dilatée est homothétique de la figure primitive et le point fixe 0 est le centre d'homothétie.

Supposons que x soit l'allongement par mètre linéaire sous l'influence d'un écart de température déterminé ;

Fi?. 417

tous les rayons vecteurs tels que OA, OB, OC, etc. deviendront OA', OB', OC, etc. et l'on aura

OA' = txOA, OC' = -XOC, etc.

Par conséquent pour un point B, de coordonnées x et y, les choses se passeront comme si son abscisse 06 se dilatait d'une quantité

bb' = x.r

et son ordonnée Bb, d'une quantité b"B' = ry.

Nota. — Pour le fer, une augmentation de température de 23° centigrades représente une dilatation de 0,00035 par mètre puisque lecoefficientdedilatationest S = 0,0000122; donc en admettant cet écart de température, on aura t = 0,00035.

Enfin remarquons, qu'après dilatation, la section en B, qui était normale à la fibre neutre, reste normale en B', à cause de l'homothétie des figures OAB, OA'B'.

(e) Formules des défigurations totales. — En ajoutant aux déplacements dûs aux moments fléchissants et à une déviation initiale, ceux qui sont relatifs à l'accroissement de température, nous obtiendrons les formules générales suivantes donnant les déplacements totaux d'un point B de la fibre neutre et la déviation angulaire de la section en ce point.

DÉF1GUKAT10N DES PIECES COURBES

(A') * = «o "+" Déviation angulaire,

(B') b = ~.y -\- a0a? -t- VS(j? — y') Déplacement vertical,

avec t = 0,00033 pour le fer et l'acier.