Conséquences de l'invariabilité des sommiers

(a) Application, aux sommiers, des formules générales. — Les formules générales qui précèdent s'appliquent à une pièce courbe quelconque ; nous allons maintenant supposer que cette pièce est un arc, c'est-à-dire une pièce courbe dont les sommiers sont fixes, avec ou sans encastrement, et nous allons voir à quelles conditions doivent alors satisfaire la déviation initiale «0, la déviation finale ai ainsi que la courbe totale V.

Nous n'aurons, pour cela, qu'à exprimer que les déplacements en hauteur et en largeur, du sommier d'extrémité, sont nuls.

Si les deux sommiers sont à rotule, nous ne ferons aucune hypothèse sur les déviations angulaires a0 et a, des sommiers et nos formules nous permettront de trouver ces déviations; elles seront, avec la poussée t, les trois inconnues du problème.

Si le sommier d'origine est encastré nous ferons «0 = 0 et les inconnues seront la poussée t, le moment d'encastrement M0 et la déviation angulaire à l'extrémité a,. Si le sommier d'extrémité est encastré nous ferons a, = O ; les inconnues seront t, Mi et a0.

Nota. — Nous commencerons par ne pas tenir compte de la température, c'est-à-dire que dans les formules générales (A'), (B') et (C) nous ferons t = O.

Les formules de défiguration (A'), (B') et (C) sont générales et sont, par suite, applicables au sommier d'extrémité D, pour lequel on a :

x = L et y = 0 ; soit :

V (sans indices), l'aire totale de la courbe à cheval des moments déformés-eïfiés ; G, son centre de gravité ; Y, l'abscisse de ce centre de gravité ; S, l'ordonnée de ce même centre de gravité ; Kt, la déviation angulaire totale de la fibre neutre au sommier D, ou déviation finale.

Nos formules deviennent, en faisant 6 = 0, a = 0 et x — L, y = 0, [ y' = y et S' = o,

La seconde formule exprime, comme elle le faisait pour les poutres droites, que a0 est la réaction sur l'appui d'origine de l'aire totale V (voir n° 178).

Il en résulte, grâce à la première formule, que a, pris en signe contraire, c'est-à-dire — a,, est la réaction sur l'appui d'extrémité D de l'aire totale V.

Nota. — Le théorème aurait un caractère d'énoncé plus général s'il ne demandait pas que al5 déviation angulaire d'extrémité, fût prise en signe contraire. On y arivera en adoptant les conventions suivantes analogues à celles que nous avons admises déjà pour les poutres continues.

Soit (fig. 418) en OAD la primitive et en OA'D l'élastique ; soient OT et OT' leurs tangentes, à l'origine ; DF' et DF leurs tangentes à l'extrémité D.

La déviation initiale a0 sera l'angle TOT' dont il faut faire tourner la tangente de la primitive pour qu'elle devienne la tangente de l'élastique; quant à la déviation finale a, ce sera l'angle F'DF dont il faut faire tourner la tan-

Fig. 418

gente de l'élastique pour qu'elle redevienne la tangente de la primitive, et non pas l'angle FDF' dont il faut faire tourner la tangente à la primitive pour l'amener tangente à l'élastique. Avec cette dernière convention, «j doit être pris en signe contraire de celui admis dans les formules précédentes.

(b) Ecart ou déplacement du sommier. — Quant à la troisième formule elle exprime que le déplacement horizontal a du sommier D est nul. Mais considérons un instant la pièce comme poutre courbe, sans poussée, c'est-à-dire avec rotule glissante en D ; autrement dit laissons le sommier D prendre l'écart ou déplacement horizontal, X, qu'il voudra ; nous aurons %

Vo = X et non plus Vo = O.

Cette formule est importante surtout parce qu'elle nous permet de résoudre le problème suivant :

Problème. — Un arc, pour des raisons quelconques, a ses sommiers qui se sont écartés (écart positif, signe -t-) ou rapprochés (écart négatif, signe — ) de la longueur X, mais sans quitter la ligne d'appui ; comment faire pour ramener ces sommiers dans leurs positions primitives ?

Il faudra développer des moments fléchissants auxiliaires qui soient combinés de telle sorte que la courbe à cheval qui en sera la conséquence, ait son aire V! et l'ordonnée o, de son centre de gravité satisfaisant à l'équation

parce qu'alors ces moments auxiliaires détruiront l'écart pris par les sommiers.

THÉORIE DES ARCS

On pourrait arriver par les moyens suivants à créer ces moments auxiliaires :

1° En modifiant les charges ; mais ce serait modifier aussi les conditions imposées à l'arc ; cela n'est pas possible ;

2° Par des encastrements qui développeraient des moments d'encastrement convenables. Cette solution serait difûcile à réaliser pratiquement ;

3° En exerçant une poussée convenable ; ce dernier procédé est le seul pratique ; c'est pourquoi nous apprendrons à déterminer Y écart, ou déplacement horizontal, A, qu'une poussée déterminée produit sur le sommier d'extrémité d'une pièce courbe, afin d'en déduire quelle serait la poussée capable de détruire tel ou tel écart pris par le même sommier. Cette question sera particulièrement utile pour corriger ou pour apprécier les effets de la température ; ainsi que nous le verrons plus loin.