Stabilité d'un arc

(a) Formules de stabilité. — Les formules ci-dessus s'écrivent, en faisant la convention précédente pour le signe de la déviation finale at,

Et, en ne tenant pas compte de la dilatation calorifique,

Ou bien, en tenant compte de la dilatation calorifique (C",) -L + ¥2 = 0, avec i = 0,00035.

(b) Leur signification. — Ces formules ont la signification suivante :

1° « Les déviations angulaires, a0 et at de la fibre neu- « tre au-dessus des sommiers sont les réactions, sur ces « sommiers, de l'aire de la courbe à cheval des moments « dilatés eï/iés (Courbe V) considérée comme chargeant « une poutre droite de même portée L que l'arc.»

Cet énoncé est une conséquence des équations (A") et (B").

2° « La courbe à cheval des moments dilatés-éïfiés (Courbe « V) doit avoir son centre de gravité sur la ligne d'appui.

Ce second énoncé est une conséquence de l'équation (C"), dans laquelle il n'est pas tenu compte de la dilatation calorifique . car cette équation signifie, si V n'est pas nul, que o — 0.

Si l'on tient compte de la dilatation calorifique, alors

c'est l'équation C"i qui convient; elle peut s'écrire

/* *L\ tL V(o-+- — 1=0, qui entraîne o = — — ,

et comme l'on a : V = — (a0 + a,) il en résulte

o = . ce qui signifie

3° « Dans le cas où l'on tient compte de la dilatation « calorifique, la courbe à cheval doit avoir son centre de

« gravité situé à une distance de la ligne d'appui égale à la « dilatation tL que prendrait cette ligne d'appui divisée par « la somme des déviations initiale et finale de l'élastique. «• En tous cas, les formules A", B" et C" ont la signification suivante.

« l'on applique: 1° aux sommiers, des forces fictives, « parallèles entre elles et égales aux déviations angulaires « a0 et <xj de la fibre neutre sur les sommiers ; 2° au centre « de gravité de la courbe à cheval des moments déformés- « eïfiés, une force fictive égale à l'aire V de cette courbe.

« Ces trois forces fictives sont en équilibre quelle que « soit la direction qui leur sera donnée ; autrement dit : « le point d'application de l'une d'elles sera le centre « des deux autres. »

En effet : L'équation A" signifie que la somme des projections de ces forces fictives sur un axe quelconque est nulle.

L'équation B" signifie que la somme de leurs moments par rapport à la verticale d'extrémité est nulle.

L'équation C" signifie que la somme de leurs moments par rapport à la ligne d'appui, lorsqu'on les rend parallèles à cette ligne d'appui, sans changer leurs points d'application, est nulle. Le théorème est donc démontré.

417. L'Elastique d'une pièce courbe. — Les formules générales de la défiguration sont, en ne tenant pas compte des effets de la température,

(A) a = a0 -4- Vo,

(B) b = cvr + V&r — f),

Elles permettront de calculer arithmétiquement les déplacements a et b pour chaque point de la fibre neutre et, par conséquent, de trouver, point par point, l'élastique. Nous allons montrer que l'on peut aussi faire cette recherche graphiquement.

(a) Funiculaire des hauteurs ou déplacements verticaux. — Si l'on compare les formules (A) et (B) à celles du n° 177-rf établies pour les poutres droites on reconnaît qu'elles sont identiques et par conséquent nous pouvons énoncer ce théorème :

Poutre droite correspondante à tare et théorème des déplacements verticaux. — « Si l'on imagine une poutre droite « ayant, pour fibre neutre la corde de l'arc, qui aurait les « mêmes sections répondant aux mêmes asbeisses et qui « subirait en chacune de ces sections les moments-défor- « més (M :cose) : 1° L'élastique de cette poutre aurait « pour pente, en chaque point, la déviation angulaire du « point correspondant de l'élastique de l'arc.

« 2° Les ordonnées de l'élastique de la poutre seraient