Poussée unitaire etconstantes de poussée (fig

(a) Construction des funiculaires. — Appliquons une poussée unitaire 0 dirigée suivant la ligne d'appui, de D vers 0, et développant des moments négatifs. La représentative de ces moments sera ou bien la fibre neutre renversée OABD (fig. 422-III) pour une valeur convenable de 0 (voir plus loin, nota) ou bien une dilatation de cette fibre neutre obtenue en multipliant ses ordonnées par 6.

Nota. Pour éviter un dessin à faire on prend, en général, la fibre neutre pour représentative des moments de la poussée unitaire 0. Mais alors quelle doit être la valeur de 0 ?

Pour le savoir on mesure une ordonnée, Iw par exemple (f.V) à l'échelle des moments naturels (on trouve ici Iw = M = 58 tonnemètres). On la mesure une seconde fois à l'échelle des longueurs(on trouve ici Iw = h = 5œ,80); ondoitdoncavoir 9X/i - M, d'où 8 = M : h = 58m : 5,8 = 10 tonnes.

Ceci étant admis, nous déformons la fibre neutre dans le rapport 1 : cos s, et ensuite nous eïfions cette courbe, ce qui donne en OA'B'D la courbe des moments déformés-eïfiésde poussée unitaire

Cette courbe OA'B'D est décomposée en trapèzes (au nombre de 4) et les forces fictives qui les équivalent seraient égales à la moitié des ordonnées de rang impair. Nous les appliquons (fig. I) en 1, 3, 5 et 7 sur la fibre neutre; la courbe à cheval qui en serait la conséquence est inutile à figurer.

Sur les forces fictives fu f3, f.., /'. nous construisons (fig. III) un funiculaire des hauteurs, en opérant exactement comme nous l'avons fait pour le rectangle et pour les triangles unitaires au n" précédent, c'est-à-dire (fig. IV) en doublant en Ft, F2, F3, ... les forces fictives fu f\, f3, . . ., mais en prenant pour pôle l'extrémité D de la corde.

Nous traçons ensuite (fig. VI) le funiculaire des largeurs, orthogonal du précédent, et finalement nous obtenons les cinq constantes de poussée, savoir :

(b) Constantes de poussée. — La pente initiale, ag et la pente finale a,8 (fig. III),

Les coordonnées y" et o8 du centre de gravité de la courbe à cheval de poussée (fig. I) et L'Ecart des sommiers X° (fig. VIj,

Le funiculaire des hauteurs (fig. III) jouit de propriétés particulières qui vont résulter du § 4, qui suit :

(1) Celte double opération se fait ainsi :

1° On reproduit eu p.0;ii l'horizontale qui est la représentative des moments naturels p. de la fig. 421, ainsi que sa courbe déforinée-eïfiée, p-'oP-'i-

2° On fait en sorte que les moments déformés-eifiés b'W et b"b' soient entre eux dans le même rapport que les moments naturels 6"B et b"b, ce qui se réalise par des lignes proportionnelles, comme l'indique la ligure V pour le I point 1>.

THÉORIE DES ABCS

§ 4. — Lignes d'influence (1)

422. Poussée due à une charge mobile dans un arc à deux rotules.

{a) Théorème. — « Si un poids mobile unique parcourt « un arc. à deux rotules, la poussée que ce poids, arrivé en )

« un point donné, détermine dans l'arc est représentée, à « un facteur constant près, par l'ordonnée du point corres- « pondant de V élastique- hauteur de poussée, c'est-à-dire « par l'ordonnée de la représentative des déplacements en

« hauteur qu'une poussée unitaire 6 produirait sur la Qbre « neutre de la pièce considérée comme poutre courbe avec « sommiers à rotules (2). »

Rappelons tout d'abord que l'écart des sommiers produit par des moments fléchissants, quelconques, est égal au mo-

(1) En réalité le § 4 a rapport aux charges mobiles. Néanmoins nous le plaçons ici parce qu'il découle directement de l'étude de la poussée. Le lecteur pourrait à la rigueur en ajourner la lecture.

(2) Ce théorème est un corollaire du Théorème général dit de réciprocité démontré par M. Bertrand de Fontvioland.

ment, pris par rapport à la corde de l'arc, de la courbe à cheval de ces moments, c'est-à-dire à la somme des moments partiels des poids fictifs qui représentent les aires partielles de cette courbe à cheval ; ces poids Actifs étant supposés appliqués sur la fibre neutre.

Un poids P (même fig. 422-1) qui roulerait sur la pièce, supposée poutre courbe, développera, arrivé en un certain point A' (d'abscisse X) un ensemble de moments dont la

LIGNES D'INFLUENCE

représentative est le triangle OAD (fig. Il) et l'on sait que, si P se déplace, le point A décrit une parabole dont l'ordonnée maxima a pour valeur 1/4PL. Les deux réactions de P sur les appuis sont :

à l'origine

à l'extrémité

PX

Cherchons l'écart de sommiers X'' produit par ces moments. Pour cela prenons (fig. II) en 6B, à la distance x de l'origine, un élément de largeur infiniment petite àx ; le moment Bb en ce point est positif et il est dû à la seule réaction d'origine, on aura donc

P(L— X)ar

sa surface est

X Ax.

Nous la déformons et nous l'eïfions, ce qui donne (ÏB : El cos s)Ax ; après quoi cette quantité est considérée comme une force fictive élémentaire, appliquée au point B' de la fibre neutre, c'est-à-dire à la distance y de la corde, y étant l'ordonnée de ce point B'. Pour avoir l'élément AÀ? de l'écart de sommier que cette force fictive produit pour son compte, il faut la rendre parallèle à la corde et en prendre le moment par rapport à cette corde, c'est-à-dire la multiplier par y ; on aura donc