Lignes d'influencs dans une poutre droite

[a) Définitions. — Une charge unitaire P se déplace sur une pièce ; elle y produit des effets qui, pour une section déterminée B, dont les coordonnées sont xi, yx se traduisent : 1° par un moment fléchissant 31 ; 2° par un effort transversal T (effort tranchant); et 3' par un effort longitudinal N (effort normal).

Chacune de ces quantités M, T et N, spéciales à la section B, varie avec la position de la charge, c'est-à-dire avec l'abscisse x, de cette charge ; elles sont donc des

THÉORIE DES ARCS

fonctions de cette abscisse qui. est variable si la charge est mobile.

« On nomme lignes d'influence d'une section les représen- « tatives des moments fléchissants, des efforts tranchants et « des efforts normaux qu'une charge unitaire, en circulant « sur la pièce, développe dans celte section ; les abscisses « de ces représentatives étant les mêmes que celles de la « charge mobile. » Il y a pour chaque section, telle que B, une ligne d'influence pour le moment déchissaut, une ligne d'influence pour l'effort tranchant, une ligne d'influence pour l'effort normal.

Il pourrait y avoir des lignes d'influence pour tout autre effet à étudier dans une section, par exemple pour la tension unitaire maxima développée dans cette section.

La construction graphique des lignes d'influence d'une section revient à calculer les valeurs de M, N ou T qui, pour cette section, répondent à chacune des positions de la charge P et à porter ces valeurs sur l'ordonnée correspondante de cette charge.

Au point de vue de la géométrie analytique cela revient à trouver l'équation qui lie M, T ou N à l'abscisse x de la charge mobile P et à construire cette équation.

(b) Lignes d'influence des moments fléchissants. — Soit A (fig. 423-1) la position de la charge mobile P; x son abscisse et soit B la section d'abcisse .i\ dont on cherche la ligne d'influence de moments. Si la charge est à gauche de B, elle donne une réaction d'origine, positive, qui a pour valeur PX|(L — x) : I,], et un moment en B quia pour valeur

M = P — — X Xi — PxiX ou, en simplifiant :

k ^ f pour x = 0, M = 0, (1) M = P — 1 x pour x ^ M = P>ri î^i.

Cette équation du premier degré en M et en x représente une droite telle que OB' à pente positive, passant par l'origine.

Lorsque la charge passe à droite de B, alors la réaction d'origine intervient seule pour le moment et l'on a

( pour x = L, M' = 0,

W M' = -PTX' + H pour = M' = P*,-^;

cette équation représente la droite à pente négative B D.

On sait (v. n° 273) que le moment fléchissant sous charge est donné pour chaque position de la charge par l'ordonnée de la parabole OA'B'D qui aurait pour hauteur 1/4P/. Il en résulte que la ligne d'influence de moments pour la section B est précisément la ligne brisée formée par l'ensemble des deux cordes OB' et B'D de cette parabole.

Nota. — Les deux points a et p où les cordes OB' et

A'D recoupent les verticales AA' et BB' sont à la même hauteur.

charge est en A (fig. 423-11), à gauche de la section, l'effort tranchant est la somme algébrique de la réaction à l'origine (positive) et de la charge P (négative) ; on aura donc

Fis 423

Cette équation représente la droite à pente négative OD', allant de l'origine au point D' situé à la hauteur — P sur l'ordonnée d'extrémité ; il ne faut en prendre que le segment Ob' .Si la charge est à droite de la section l'effort tranchant provient de la seule réaclion à l'origine et l'on a

P'l; x) [ pour x = 0, T = -+-P,

1 — Li 1 | pour x = L, T = 0,

qui représente le segment bB delà droite O'D, parallèle à la précédente.

On reconnaît dans les droites OD' et O'D (v. n° 280) les représentatives des efforts tranchants produits directement sous la charge.

En résumé, la ligne d'influence des efforts tranchants développés dans la section B est la ligne brisée discontinue Ob' — b]} ; quand la charge atteint la section B, l'effort tranchant saute brusquement de la valeur négative Bb' à la valeur positive Bb et la différence algébrique entre les deux est précisément égale à la charge P.

Quant aux efforts normaux ils sont toujours nuls dans une poutre droite, lorsque la charge est perpendiculaire à sa fibre neutre ; il n'y a donc pas lieu d'étudier leurs lignes d'influence.

Voyons maintenant quelles sont les lignes d'influence dans un arc à deux rotules.

424. Lignes d'influence des moments fléchissants dans un arc à deux rotules.

[a) Expression des moments fléchissants. — Soit (fig. 424) A la position de la charge et C la section pour laquelle on veut construire la ligne d'influence dos mo-

LIGNES D'INFLUENCE

ments. Nous supposons que la charge unitaire circulante est P = 20 tonnes.

Construisons la parabole OA'C'D, dont l'ordonnée maxima mesurée à l'échelle des moments est 1/4P/ (mesurée à l'échelle des forces elle est égale à 1/2P, parce que la distance polaire d = 1/2L). Si C est le point de cette parabole situé au-dessus de la section C, on a vu que les lignes d'influence de moments pour la section C, sont, en supposant que la pièce soit une poutre, les deux cordes OC' et CD, et que le moment Mp, développé en C par la charge P quand elle est en A, est mesuré à l'échelle des forces par l'ordonnée ad de la corde de la parabole.

Mais la pièce étant un arc la charge P, quand elle est en A, donne lieu à une poussée t qui a pour expression (v. n°422)

Dans laquelle y" est l'ordonnée en A de la courbe de poussée, c'est-à-dire de l'élastique des hauteurs, résultant d'une poussée unitaire G, et À" est l'écart de sommier produit par la même poussée.

Nous avons reproduit (fig. II) cette courbe de poussée ainsi que cet écart desommiersetnous avons graduécedernier comme si c'était une échelle. Nous avons également gradué la distance polaire d (fig. I).

Cette poussée produit sur le point C un moment qui a pour expression tXy, y étant l'ordonnée de la section C.

Nota. — Pour que cette expression puisse être représentée graphiquement, et soit mesurable à l'échelle des forces comme tous les autres moments de l'épure, il faut la diviser par la distance polaire d, afin qu'en la multipliant par don aitréellement le moment tX%- Le moment de poussée sera donc figuré à l'échelle des forces par la longueur

(1) Px7xfï = pX»Xn',

en posant n = y : d et n' = y" : ),". Telle est l'expression qu'il faut construire.

Ces deux rapports numériques n et n' s'apprécient facilement sur l'épure de la manière 'suivante : On prend la longueur y au compas ; on porte l'ouverture de compas sur l'échelle d et on en déduit immédiatement n; on fait de mêmepour ri en mesurant y" à l'échelle de À".

Exemple : Dans le cas actuel on a :

n = 0,71 | n'=0,2o | nn'=0,17 | P = 20' | PX'îX«'=3',400.

C'est cette longueur M : d = 3l,4()0 que l'on porte sur l'ordonnée A, de c' en cl ce qui donne en ct le point définitif delà ligne d'influence des moments pour la section C lorsque la charge est en A.

(h) Tracé des lignes d'influence. — Pratiquement nous conseillons d'opérer comme suit :

1° On prend un certain nombre de points sur l'arc et pour chacun d'eux on mesure les rapports n = y: d et

ri = y" : X".

2° On prépare un tableau ayant autant de colonnes verticales et autant de lignes horizontales que l'on a pris de

Fie. 4"24

points sur l'arc. Les colonnes A, B, C, E répondent aux sec tions dont on cherche la ligne d'influence. Les lignes A', B', C, E' répondent aux positions de la charge mobile P.

Sections (n = y : d)

= 20 Tonnes)

nri — M : d =

o,noo

nri - M : d

Posil harge

un — M : d —

nri — M : d =

3° En tête des colonnes on inscrit le rapport n = y : d, et au niveau des lignes on inscrit le rapport n' — y' : / ' .

4° On fait le produit n X et on l'inscrit au croisement de la ligne et de la colonne correspondantes.

5° On fait le produit PXnX»'; et c'est ce dernier nombre qui donne M : d ; c'est lui que l'on porte, à l'échelle des forces, en déduction des moments de poutre droite.

Exemple : Pour avoir la ligne d'influence de la section C, on a pris les nombres de tonnes trouvés dans la colonne C, et on les a portés (en gros traits pleins) le premier (3\400) sur l'ordonnée A de c' en cl: le second (ol,766) sur l'ordonnée B de c' en Ci, etc Le lieu des points c^..,

est la ligne d'influence des moments pour la section G.

(c) Remarques. I. — On voit (fig. III) l'aspect des lignes d'influence des quatre sections A, B, C, E de l'arc. Si on les compare aux lignes brisées (fig. I) qui donneraient les lignes d'influence si la pièce était une poutre on voit, d'une part, que les moments de l'arc sont plus petits et, d'autre part, qu'ils passent par des valeurs négatives, tandis que ceux de la poutre sont tous positifs.

II. Si l'on veut connaître les moments dangereux pour une section, C, par exemple, il suffira de mener des tangentes horizontales à la courbe Occ.D ; les ordonnées des points de tangence donneront les valeurs des moments maxima dangereux, et aussi la position de la charge mobile qui y répond.

423. Lignes d'influence des efforts tranchants et des efforts normaux dans un arc à deux rotules.

(a) Expression des efforts tranchants et des efforts normaux. — Supposons, la pièce étant encore à l'état de poutre courbe, que nous connaissions pour une section B

Fig. 425

(fig. 425) la résultante T' qui proviendrait du transport, au point B, de toutes les forces situées à sa droite, c'est-à-dire du côté où s'exercera la poussée. Cette résultante T' serait précisément l'effort tranchant de la poutre droite, qui aurait pour fibre neutre la corde de l'arc : et nous avons appris à le déterminer.

DES ARCS

Supposons que T' soit positif, c'est-à-dire, en imaginant que le tronçon de gauche soit conservé et que celui de droite soit enlevé, que T' tende à faire descendre ce dernier par rapport au premier.

Cette résultante T' décomposée donnera pour effort tranchant T,„ et pour effort normal N;j, et l'on aura : Tp = -+- T' cos e et Np = + T' sin e.

La poussée t, agissant de droite à gauche, donnera comme effort tranchant Tf, et comme effort normal N*, et l'on aura: T, = — t sin e et Ni = H- t cos e.

L'effort tranchant définitif T et l'effort normal définitif N ont donc pour expressions :

( l) T = T' cos £ t sin e [effort tranchant.)

(-) N — T' sin £+ t cos £ (effort normal.)

T, effort tranchant de la poutre droite correspondante, est connu (V. n" 423-c). Quant à t, l'ordonnée y" de la courbe de poussée le fait connaître et l'on a (V. no 422) (=PX {y" : X9) .

(b) Tracé des lignes d'influence. — Le tracé des lignes d'influence d'efforts tranchants revient à construire, point par point, la valeur ci-dessus de T. Expliquons le tracé pour la section A (ûg. 426).

Si la pièce était une poutre droite, la ligne d'influence serait la ligne brisée discontinue, composée de l'oblique négative OA', ressautant brusquement en A pour donner l'oblique positive AiD. (Sur l'épure ces obliques sont en trait mixte.) Les ordonnées de ces droites donnent les valeurs T' de la formule (I).

Au lieu de la poutre droite considérons la poutre courbe, mais pas encore l'arc. Le fait d'être courbe introduit le coefficient cos s, par lequel il faut multiplier les valeurs précédentes de T' ; e étant l'angle que fait avec l'horizontale la tangente de la fibre neutre, à la section A.

Pour obtenir T' cos £ nous menons a'a perpendiculaire à la tangente en A et par le point Aj une perpendiculaire sur cette tangente. On a évidemment a'a = a1 Ai cos e ; et on porte cette longueur a'a de a' en A2, ce qui donne en a'Aa la valeur de T' cos e pour le point A. On a réduit de même, de a' en A'2 l'ordonnée négative et, dès lors, les lignes, d'influence d'effort tranchant pour la section A de la poutre courbe, seraient la ligne droite négative OA'2, ressautant brusquement suivant la droite positive A2D.

Pour ne pas compliquer l'épure ces lignes d'influence de la poutre courbe n'ont pas été tracées.

Transformons maintenant ia poutre courbe en un arc et faisons intervenir la poussée t avec son terme de correction — t sin e. Or t a pour valeur : t = P(y" : X9). y" étant, au droit de la section A, l'ordonnée de la courbe de poussée produite par une poussée unitaire 8 et X° étant l'écart de sommier que produit cette même poussée.

LIGNES D'INFLUENCE

Nous avons reproduit (ûg. II) en O.V'B'D" cette courbe de (P = 20 tonnes). Dans ces conditions, les ordonnées A A",

poussée en l'empruntant à la ûg. 422, mais en l'amplifiant BB", . . . donnent directement les valeurs de l, en les mesu-

de telle sorte que l'écart l" soit représenté (ûg. 426-III) rant à l'échelle des forces.

par la même longueur que celle qui représente la charge Pour réaliser l'expression — fsins nous avons mené

Fig. 426

(ûg. II) par le pied A de l'ordonnée une parallèle AaJ à la tangente à la fibre neutre; nous avons abaissé k"a'[ perpen-

diculaire sur cette ligne et nous avons \at = t sin s, que nous portons négativement de A en A';, afin d'avoir

STAB. 49

— / sin c. La même construction s'exécutera pour les autres sections en remarquant que, à droite de la verticale milieu, s étant négatif, sin s est aussi négatif ce qui rend l'expression positive.

Cela fait (ûg. I) nous descendons les points A2 et A'2 en A3 et A'3 de toute la hauteur trouvée en AA"0 sur la fig. II.

Finalement la ligne d'influence des efforts tranchants pour la section A est l'oblique négative 0A'3 ressautant brusquement sur l'oblique positive A3D.

On a construit de même les autres lignes d'influence.

DES ARCS

N = T' sin s -+- 1 cos e.

Or la figure 426 nous donne

(fig. I) A,a = T' sin s et (fig. II) ÂVi' = t cos e.

On les obtiendrait donc exactement de la même manière et elles se composeraient de lignes brisées ressautant également au droit des sections.

§5. — Calcul de l'équilibre général d'un arc